江西省南昌市第二中学2020届高三第四次月考数学（文）试题

江西省南昌市第二中学2020届高三第四次月考数学（文）试题

南昌二中2020届高三第四次考试 文科数学试卷 一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是 A.32 34 32 B.33 45 ‎35 ‎C.34 45 32 D.33 36 35‎ ‎4．若，则 A． B． C． D．‎ ‎5．已知平面向量的夹角为，且，，则 A． B． C． D．‎ ‎6．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A． B． C． D．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是 ‎ A.或 B. C.或 D.或 ‎8. 观察下列各式：，，，，，…，‎ 则 A．322 B．‎521 ‎C．123 D．199‎ ‎9. 已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎10. 设a，b，c分别是的内角A,B,C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于 A．2 B．‎4 ‎C． D．‎ ‎11.已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为 A． B． C． D．‎ ‎12. 已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.‎ ‎14.已知为第二象限的角，，则的值为_____.‎ ‎15.设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为_____.‎ ‎16. 已知实数，满足，则的最大值是 ．‎ 三、解答题（共5小题，共60分）‎ ‎17.（12分）‎2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图。‎ ‎（I）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；‎ ‎（II）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；‎ ‎（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数。‎ ‎18.（12分）已知数列的各项均为正数，且.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）若，求数列的前项和.‎ ‎19.（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.‎ ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）若为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎20. （12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ‎（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线x=的距离为1. ‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）若P为椭圆上的一点（点P不在y轴上），过点O作OP的垂线交直线y=于点Q，求的值。‎ ‎21.（12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）设，曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若只有一个零点，求实数的取值范围．‎ 四、选做题（10分）‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求的直角坐标方程；‎ ‎（II）若与有且仅有三个公共点，求的方程.‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．‎ 高三第四次考试数学（文）试卷参考答案 一、单选题 ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.‎ ‎2．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.‎ 详解：选D.‎ ‎3．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )‎ A.32 34 32 B.33 45 ‎35 ‎C.34 45 32 D.33 36 35‎ ‎【答案】B ‎【分析】‎ 根据中位数，众数以及极差的概念以及茎叶图中的数据，求出相应的数据即可．‎ ‎【详解】‎ 从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32、34，‎ 所以这组数据的中位数为33；‎ ‎45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45；‎ 最大值是47，最小值是12，故极差是：35，‎ 故选：B．‎ ‎4．若，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 分析：由公式可得结果.‎ 详解：‎ 故选B.‎ ‎5．已知平面向量的夹角为，且，，则 A．B．C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】‎ 将进行平方运算可化为关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 即：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎6．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.‎ 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，‎ 所以，‎ 又，则 故选D.‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是 ‎ A.或B.C.或 D.或 ‎【答案】C 由题意知，该程序的功能是求函数的值域．‎ ‎①当时，在区间上单调递增，‎ ‎∴，即；‎ ‎②当时，，当且仅当，即时等号成立．‎ 综上输出的值的取值范围是或．选C．‎ ‎8.观察下列各式：，，，，，…，则（ ）‎ A．322 B．‎521 ‎C．123 D．199‎ ‎【答案】A ‎【分析】‎ 根据题中数据，归纳推理，即可得出结果.‎ 因为，，，，，…，‎ 等式右边对应的数为，‎ 所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；‎ 因此，求，即是求数列“”中的第12项，‎ 所以对应的数列为“”，即第12项为322.‎ 故选A ‎9.已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】‎ 作出函数的图象，令，设，由对数的运算性质得出，并求出的取值范围，从而得出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 令，则、、可视为直线与曲线的三个交点的横坐标，如下图所示：‎ 当时，；当时，由.‎ 由可得，得，‎ 即，所以，.‎ 结合图象可知，，，因此，的取值范围是，‎ 故选：C。‎ ‎10.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于　　‎ A．2 B．‎4 ‎C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ ‎∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈（0，π），可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,‎ 又=-=-=-===-bccosA=2.‎ 故选A.‎ ‎11.已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】‎ 根据已知中的平行关系和长度关系可确定中点为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知平面，利用勾股定理构造出关于和球的半径的方程，解方程求得，代入球的体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 取中点，连接 且 四边形为平行四边形 ‎，又 ‎ 为四边形的外接圆圆心 设为外接球的球心，由球的性质可知平面 作，垂足为 四边形为矩形，‎ 设，‎ 则，解得： ‎ 球的体积： 本题正确选项：‎ ‎12. 已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎13.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.‎ ‎【答案】2x+y=0，或 x-y=6=0‎ ‎【分析】‎ 可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决．‎ ‎【详解】‎ ‎：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=-2x，即2x+y=0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x-y=a，将A（-2，4）代入得，a=-6， ∴此时所求的直线方程为x-y+6=0； 即答案为2x+y=0，或 x-y=6=0.‎ ‎14.已知为第二象限的角，，则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】‎ 由为第二象限的角，，可得，由于=，再结合两角和的正弦公式展开运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为为第二象限的角，，‎ 所以，‎ 又因为==+，‎ 所以=，‎ 故答案为：.‎ ‎15.设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为_____.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象,根据交点个数列出不等式求出的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎， 是偶函数，‎ 根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示,‎ 在上有且仅有三个零点，‎ 和的图象在上只有三个交点，‎ 结合图象可得，解得，‎ 即的范围是 ‎16. 已知实数，满足，则的最大值是 ．‎ ‎【答案】15‎ 由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值；当时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故，所以，故该目标函数的最大值为.‎ ‎17.‎‎2018年8月8日 是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图。‎ ‎（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；‎ ‎（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；‎ ‎（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数。‎ ‎【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) （ⅰ）;（ⅱ）该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）（ⅰ）从6人中任选2人共有15个基本事件，至少有1人年龄不低于60岁的共有9个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）平均数．‎ 前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，‎ 则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．‎ ‎（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．‎ 则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．‎ 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：‎ ‎（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．‎ 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，‎ 故所求概率．‎ ‎（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，‎ 故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．‎ ‎18.已知数列的各项均为正数，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由得，解得或，又数列{an}的各项均为正数，可得an．（2）利用错位相减法求解即可.‎ 详解：‎ ‎（1）由得，‎ 所以或，又因为数列的各项均为正数，负值舍去 所以.‎ ‎（2）由，‎ 所以①‎ ‎②‎ 由①-②得：‎ 所以.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ 试题分析：（1）先证明，再说明，根据底面，可得，即可证出；（2）因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，可转化为求三棱锥的体积，再换顶点为Q，并利用Q是中点转化为求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：∵，∴，‎ ‎∵，∴.‎ 又∵底面，∴.‎ ‎∵，∴平面.‎ ‎（2）三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，‎ 而 .‎ 所以三棱锥的体积.‎ ‎20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线x=的距离为1. ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若P为椭圆上的一点（点P不在y轴上），过点O作OP的垂线交直线y=于点Q，求 的值。‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）设，曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）-8；（Ⅱ）‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用导数几何意义先求出切线的方程，再根据切线方程求出，然后利用二次函数的单调性求最值；（Ⅱ）先对函数求导可得，再通过分类讨论研究函数的单调性，然后根据函数的极值的情况函数零点的关系得出的取值范围即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由已知可得，，‎ ‎，‎ 所以曲线在点处的切线方程为.‎ 令，得.‎ 因为，所以在上单调递增，‎ 所以当时，.‎ ‎（Ⅱ）①若，因为或，，‎ 所以在和上单调递增，在上单调递减，‎ 所以的极小值为，极大值为.‎ 因为，若只有一个零点，则或.‎ 由，得或.又，所以.‎ 由，得.‎ 因为，所以，得，所以或.‎ ‎②若，，则在上是增函数.‎ 因为，所以只有一个零点-1.‎ ‎③若，因为或，，‎ 所以在和上单调递增，在上单调递减，‎ 所以的极小值为，极大值为.‎ 因为，，若只有一个零点，‎ 则，即.‎ 因为，所以，得.‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ 详解：（1）由，得的直角坐标方程为 ．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．‎ 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时,到所在直线的距离为,所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时,到所在直线的距离为,所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． ‎ 综上，所求的方程为．‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）①当时， ‎ ‎②当时， ‎ ‎③当时， ‎ 综上：的解集为 ‎（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知 即 又且 则，设 ‎ ‎ 同理：，‎ ‎，即 当且仅当时取得最大值 法二：由（Ⅰ）可知即 又且 当且仅当时取得最大值