专题39 百考不厌的不等式性质问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

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文档介绍

专题39 百考不厌的不等式性质问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

‎ 考纲要求:‎ ‎1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.3.掌握不等式的性质及应用.4.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.5.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.6.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.两个实数大小的比较原理 ‎ (1)差值比较原理:设a,b∈R,则a>b⇔a-b>0,a=b⇔a-b=0,a<b⇔a-b<0.‎ ‎ (2)商值比较原理:设a,b∈R+,则a>b⇔>1,a=b⇔=1,a<b⇔<1.‎ ‎2.不等式的性质 ‎ 性质(1):a>b⇔b<a(对称性). 性质(2):a>b,b>c⇒a>c(传递性).‎ ‎ 性质(3): a>b⇔a+c>b+c. 性质(4):a>b,c>0⇒ac>bc;c<0⇒ac<bc.‎ ‎ 性质(5):a>b,c>d⇒a+c>b+d(加法法则). 性质(6):a>b>0,c>d>0⇒ac>bd(乘法法则).‎ ‎ 性质(7):a>b>0,n∈N*⇒an>bn(乘方法则). 性质(8):a>b>0,n∈N*⇒>(开方法则).‎ ‎ 性质(9):ab>0,a>b⇒<(倒数法则).‎ ‎3.不等式的倒数性质 ‎ (1)a>b,ab>0⇒<;(2)a<0b>0,0.‎ ‎ 4.一元二次不等式的解法 ‎ ‎ 设一元二次不等式为ax2+bx+c>0(a≠0),其中Δ=b2-4ac,x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)‎ 的两个根且x1<x2.‎ ‎ (1)当a>0时,若Δ>0,则不等式的解集为{x|x<x1,或x>x2};‎ ‎ 若Δ=0,则不等式的解集为;若Δ<0,则不等式的解集为R.‎ ‎(2)当a<0时,若Δ>0,则不等式的解集为{x|x1<x<x2};‎ ‎ 若Δ=0,则不等式的解集为∅; 若Δ<0,则不等式的解集为∅.‎ ‎ 5.一元二次不等式恒成立的条件 ‎ (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 ‎(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 应用举例:‎ 类型一、利用不等式性质比较两个数(式)的大小 ‎【例1】【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三上学期期中考试】已知, ,下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【例2】已知a>0,b>0,a≠b,试比较aabb与的大小.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).‎ ‎ ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).‎ ‎ (2)∵a>0,b>0,∴aabb>0,>0. ∴,‎ ‎ 若a>b>0,则a-b>0,>1, >1,‎ 若b>a>0,则a-b<0,0<<1,>1.‎ ‎ 综上所述,可知aabb>.‎ 点评:(1)作差比较法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解,有理化等方法把差式变成积式或完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.(2)作商比较法的一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④结论.用作商比较法时要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论.‎ 类型二、不等式的性质与充要条件相结合 ‎【例3】【四川省成都市龙泉第二中学2018届高三10月月考】对于实数,“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【例4】【贵州省遵义市第四中学2016届高三上学期第四次月考】.是的( )条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分又不必要 D. 充要 ‎【答案】C ‎【解析】因为时,可以 , 且 时, ,所以是的既不充分又不必要条件,故选C.‎ ‎【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件主要考查不等式的性质,属于容易题.判断充要条件应注意:首先弄清条件和结论分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试,也可以用特例法进行判断,对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题. ‎ 类型三、不等式的性质与命题真假判断相结合 ‎【例5】【2017四川省成都市高三摸底】设命题,;命题,中至少有一个不小于2,则下列命题为真命题的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,在单调递增,所以假,若都小于,则,又根据基本不等式可得,矛盾, 真, 根据真值表知为真,故选B.‎ ‎【例6】【2017广西南宁高三模拟】若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎ 点评:(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.‎ ‎ (2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数,指数函数的性质等.‎ 类型四、利用不等式的性质求范围 ‎【例7】【2017湖南衡阳八中月考】已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是__________.‎ ‎【答案】(-∞,-1).‎ ‎【解析】∵ab2>a>ab,∴a≠0,当a>0时,b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,b2<10即故A不对;‎ 对于B: ,当时, 故B不对;‎ 对于C:当 时, ,所以;当时, 成立,所以C对;‎ 对于D:当 时,符合但故D不对;‎ 故选C ‎ ‎3.【四川省宜宾市高2018届高三(上)半期】对于任意实数 以下四个命题: ; ; ; .其中正确的个数是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于,命题正确;对于,命题正确;对于, 不正确,如;对于不正确,如;综上可得,正确的个数是个,故选B.‎ ‎4.【四川省宜宾市高2018届高三(上)半期数学(理科)测试题】对于任意实数 以下四个命题: ; ; ; .其中正确的个数是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 5.【河南省中原名校2018届高三上学期第一次质量考评】若a<b<0,则下列不等关系中,不能成立的是 A. > B. > C. < D. >‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵a<b<0,‎ ‎∴a<a﹣b<0‎ 由在上单调递减知: ‎ 因此B不成立.‎ 故选:B.‎ ‎6.【江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试】下列结论正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】D ‎【解析】选项A中,当c=0时不符,所以A错。选项B中,当时,符合,不满足,B错。选项C中, ,所以C错。选项D中,因为 ,由不等式的平方法则, ,即。选D.‎ ‎7.【河南省南阳市第一中学2018届高三第一次考试】若为实数,则下列命题正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】B ‎ 8.设,则下列不等式成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:由可设,代入选项验证可知成立,故选D.‎ 考点:不等式 ‎9.设a>b>c>0,x=,y=,z=,则x,y,z的大小顺序是_________.‎ ‎【答案】z>y>x ‎【解析】∵a>b>c>0,∴y2-x2=b2+(c+a)2-a2-(b+c)2=‎2c(a-b)>0,∴y2>x2,即y>x, z2-y2=c2+(a+b)2-b2-(c+a)2=‎2a(b-c)>0,故z2>y2,即z>y,故z>y>x.‎ ‎10.已知△ABC三边长是a,b,c,且m>0.求证:+>.‎ 解析 法一:+-= ‎ ‎
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