高中数学 2章整合课时同步练习 新人教A版选修2-1

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高中数学 2章整合课时同步练习 新人教A版选修2-1

‎2章整合 ‎ (考试时间90分钟,满分120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.以-=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为(  )‎ A.+=1        B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 解析: 双曲线-=-1的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,±2),‎ 故所求椭圆的焦点在y轴上,a=4,c=2,‎ ‎∴b2=4,所求方程为+=1,故选D.‎ 答案: D ‎2.设P是椭圆+=1上一点,F1、F2是椭圆的焦点,若|PF1|等于4,则|PF2|等于(  )‎ A.22 B.21‎ C.20 D.13‎ 解析: 由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=26,‎ 又∵|PF1|=4,∴|PF2|=26-4=22.‎ 答案: A ‎3.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为(  )‎ A. B. C. D.(,0)‎ 解析: 将双曲线方程化为标准方程为x2-=1,‎ ‎∴a2=1,b2=,∴c2=a2+b2=,‎ ‎∴c=,‎ 故右焦点坐标为.‎ 答案: C ‎4.若抛物线x2=2py的焦点与椭圆+=1的下焦点重合,则p的值为(  )‎ A.4 B.2‎ C.-4 D.-2‎ 解析: 椭圆+=1的下焦点为(0,-1),‎ ‎∴=-1,即p=-2.‎ 答案: D ‎5.若k∈R,则k>3是方程-=1表示双曲线的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析: 方程-=1表示双曲线的条件是(k-3)(k+3)>0,‎ 即k>3或k<-3.故k>3是方程-=1‎ 表示双曲线的充分不必要条件.故选A.‎ 答案: A ‎6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(  )‎ A.(0,1) B. C. D. 解析: 由·=0可知点M在以线段F‎1F2为直径的圆上,要使点M总在椭圆内部,只需c1) B.x2-=1(x<-1)‎ C.x2+=1(x>0) D.x2-=1(x>1)‎ 解析: 设圆与直线PM、PN分别相切于E、F,‎ 则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|.‎ ‎∴|PM|-|PN|=|PE|+|ME|-(|PF|+|NF|)‎ ‎=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|.‎ 所以点P的轨迹是以M(-3,0),N(3,0)为焦点的双曲线的一支,且a=1,‎ ‎∴c=3,b2=8,‎ ‎∴所以双曲线方程是x2-=1(x>1).‎ 答案: A ‎10.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ 解析: 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直,因此直线l的方程为l:x=c或x=-c,代入-=1得y2=b2=,‎ ‎∴y=±,故|AB|=,依题意=‎4a,∴=2,‎ ‎∴=e2-1=2.‎ ‎∴e=.‎ 答案: B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎11.若双曲线的渐近线方程为y=±x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的标准方程是________.‎ 解析: 由双曲线的渐近线方程为y=±x,知=,‎ 它的一个焦点是(,0),知a2+b2=10,‎ 因此a=3,b=1,故双曲线的方程是-y2=1.‎ 答案: -y2=1‎ ‎12.若过椭圆+=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是________.‎ 解析: 设直线方程为y-1=k(x-2),‎ 与双曲线方程联立得(1+4k2)x2+(-16k2+8k)x+16k2-16k-12=0,‎ 设交点A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2==4,解得k=-,‎ 所以直线方程为x+2y-4=0.‎ 答案: x+2y-4=0‎ ‎13.如图,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是________.‎ 解析: ∵△POF2是面积为的正三角形,‎ ‎∴c2sin 60°=,‎ ‎∴c2=4,‎ ‎∴P(1,),‎ ‎∴解之得b2=2.‎ 答案: 2 ‎14.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y+y的最小值是________.‎ 解析: 显然x1,x2≥0,又y+y=4(x1+x2)≥8,‎ 当且仅当x1=x2=4时取等号,所以最小值为32.‎ 答案: 32‎ 三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆+=1共焦点,它们的离心率之和为,求双曲线方程.‎ 解析: 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F(0,±4),‎ 离心率e=,‎ 所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心率为2,‎ 从而c=4,a=2,b=2.‎ 所以双曲线方程为-=1.‎ ‎16.(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=.已知点P eq lc( c)(avs4alco1(0,f(3,2)))到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆的方程.‎ 解析: 设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b.‎ ‎|PM|2=x2+2=-32+4b2+3(-b≤y≤b),‎ 若b<,则当y=-b时,|PM|2最大,即2=7,‎ 则b=->,故舍去.‎ 若b≥时,则当y=-时,|PM|2最大,即4b2+3=7,‎ 解得b2=1.‎ ‎∴所求方程为+y2=1.‎ ‎17.(本小题满分12分)设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足=λ,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足=λ,求点P的轨迹方程.‎ 解析: 由=λ知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上,‎ 故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2-y0=λ(y-x2),‎ 即y0=(1+λ)x2-λy.①‎ 再设B(x1,y1),由=λ,‎ 即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),‎ 解得②‎ 将①式代入②式,消去y0,‎ 得③‎ 又点B在抛物线y=x2上,所以y1=x,‎ 再将③式代入y1=x,得 ‎(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2,‎ ‎(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2,‎ ‎2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0.‎ 因为λ>0,两边同除以λ(1+λ),得2x-y-1=0.‎ 故所求点P的轨迹方程为y=2x-1.‎ ‎18.(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为‎2a,焦点是F1(-,0)、F2(,0),点F1‎ 到直线x=-的距离为,过点F2且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点,使得|F2B|=3|F‎2A|.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求直线l的方程.‎ 解析: (1)∵F1到直线x=-的距离为,‎ ‎∴-+=.‎ ‎∴a2=4.‎ 而c=,‎ ‎∴b2=a2-c2=1.‎ ‎∵椭圆的焦点在x轴上,‎ ‎∴所求椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2).‎ ‎∵|F2B|=3|F‎2A|,‎ ‎∴ ‎∵A、B在椭圆+y2=1上,‎ ‎∴ ‎∴ ‎∴l的斜率为=.‎ ‎∴l的方程为y=(x-),‎ 即x-y-=0.‎
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