【推荐】2017年10月9日 非线性目标函数的最值问题-试题君之每日一题君2017-2018学年高二数学人教版x

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‎10月9日非线性目标函数的最值问题 高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★★☆‎ 典例在线 已知实数x，y满足，则 ‎（1）的最大值为________________；‎ ‎（2）的最小值为________________；‎ ‎（3）的取值范围为________________．‎ ‎【参考答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【试题解析】作出约束条件表示的可行域，如下图中阴影部分所示：‎ 可求得顶点的坐标为，，．‎ ‎（1）易知可行域内各点均在直线的上方，故，‎ 表示点到直线的距离的倍，‎ 将点代入可得z的最大值为．‎ ‎（2）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是．‎ ‎（3）表示可行域内任一点与定点连线的斜率的两倍，‎ 而，，故z的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】从历年高考题目来看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，也可能涉及非线性目标函数的最值问题，考查学生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力．对于非线性目标函数的最值问题，弄清楚它的几何意义是解题的关键．常见的有三种类型：‎ ‎（1）形如的目标函数，可化为可行域内的点与点间的距离的平方的最值问题．‎ ‎（2）形如的目标函数，由可将问题化为可行域内的点与点连线斜率的倍的范围或最值问题．‎ 特别地，表示点与原点连线的斜率．‎ ‎（3）形如的目标函数，由可将问题化为可行域内的点到直线的距离的倍的最值问题．‎ 学霸推荐 ‎1．（2016山东理）若变量x，y满足，则的最大值是 A．4 B．9‎ C．10 D．12‎ ‎2．若实数满足，则的最小值是_________________．‎ ‎3．设、满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为_________________．‎ ‎1．【答案】C ‎2．【答案】‎ ‎【解析】表示圆及其内部，易得直线与圆相离，‎ 故，当时，，‎ 如下图所示，可行域为小的弓形及其内部，目标函数，‎ 则可知当，时，．‎ 当时，，‎ 如下图所示，可行域为大的弓形及其内部，目标函数，‎ 则可知当，时，．‎ 综上所述，的最小值是3．故填3．‎ ‎3．【答案】‎ ‎ ‎