2017-2018学年湖南省三校浏阳一中、醴陵一中、南方中学高二12月联考数学（文）试题

2017-2018学年湖南省三校浏阳一中、醴陵一中、南方中学高二12月联考数学（文）试题

‎2017-2018学年湖南省三校浏阳一中、醴陵一中、南方中学高二12月联考 文科数学 总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2017年12月12日 ‎ 命题人： 审题人：‎ 一．选择题（共12小题，每题5分）‎ ‎1．已知命题p：若a＞b＞0，则a2＞b2；命题q：若x2=4，则x=2，．下列说法正确的是（　　）‎ A．“p∨q”为假命题 B．“p∧q”为假命题 C．“p”为真命题 D．“q”为假命题 ‎2．椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎3．下列命题的说法错误的是（　　）‎ A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．‎ B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．‎ C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．‎ D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．‎ ‎4．在等比数列{an}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．36‎ ‎5．已知函数f（x）=xex，则f′（2）等于（　　）‎ A．e2 B．2e2 C．3e2 D．2ln2‎ ‎6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．x±y=0 B． C． D．2x±y=0‎ ‎7．已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．a2＜ab B．|a|＜|b| C． D．‎ ‎8．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣+36x+126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（　　）‎ A．11万件 B．9万件 C．6 万件 D．7万件 ‎9．函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎12．已知定义在R上的函数f（x）=ex+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B． C． D．（1，+∞）‎ 二．填空题（共4小题，每题5分）‎ ‎13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为　 　．‎ ‎14．已知 m＞0，n＞0且n+2m=4 ，则+的最小值是　 　．‎ ‎15．如图是某算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为　 　．‎ ‎16．f（x）=ax3﹣x2+x+2，，∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a 的取值范围是　 　．‎ 三．解答题（共6小题，总共70分）‎ ‎17．已知函数f（x）=x3﹣12x．‎ ‎（1）求在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）的极值．‎ ‎18．在等差数列{an}中，a1=﹣2，a12=20．‎ ‎（Ⅰ）求通项an；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前n项和．‎ ‎19． 某家电公司销售部门共有200位销售员，每位部门对每位销售员都有1400万元的年度销售任务，已知这200位销售员去年完成销售额都在区间[2，22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组对应的区间分别为[2，6），[6，10），[10，14），[14，18），[18，22]，绘制出频率分布直方图．‎ ‎（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；‎ ‎（2）用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；‎ ‎（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2位，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2位销售员在同一组的概率．‎ ‎20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，一个焦点是F（0，1）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若倾斜角为的直线l与椭圆C交于A、B两点，且|AB|=，求直线l的方程．‎ ‎21．已知抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），A为抛物线C上第一象限的任意一点，过点A的直线l交C 于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，延长AF交曲线C于点E．过点E作直线l1平行于l，设l1与此抛物线准线交于点Q．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A、B、E的纵坐标分别为yA、yB、yE，求的值；‎ ‎（Ⅲ）求△AEQ面积的最小值．‎ ‎22．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．‎ 浏阳一中 醴陵一中 南方中学 2017下学期高二年级联考文科数学 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C B C C C C D D A D ‎12.　【解答】解：∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，‎ ‎∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0）恒成立，‎ 又∵x1+x2=1，‎ ‎∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，‎ 设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），‎ ‎∵f（x）=ex+mx2﹣m（m＞0），‎ ‎∴g（x）=ex﹣e1﹣x+m（2x﹣1），‎ 则g′（x）=ex+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，‎ ‎∴不等式g（x1）＞g（1）恒成立，∴x1＞1，故选：D．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．　9　 14．　　 15．　　 16．　[﹣2，+∞）　‎ ‎16.【解答】解：g′（x）=，而x∈（0，1]，‎ 故g′（x）＞0在（0，1]恒成立，‎ 故g（x）在（0，1]递增，‎ g（x）max=g（1）=0，‎ 若∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），‎ 只需f（x）min≥g（x）max即可；‎ 故ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，‎ 即a≥在（0，1]恒成立，令h（x）=，x∈（0，1]，‎ h′（x）=＞0，h（x）在（0，1]递增，‎ 故h（x）max=h（1）=﹣2，故a≥﹣2，故答案为：[﹣2，+∞）．‎ 三． 解答题（共6小题）‎ ‎17.【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣12x，∴f（1）=﹣11，‎ f′（x）=3x2﹣12，f′（1）=﹣9，‎ 故函数f（x）在（1，﹣11）处的切线方程是：y+11=﹣9（x﹣1），‎ 即9x+y+2=0；‎ ‎（2）∵f（x）=x3﹣12x，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣12，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，‎ 令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递增，在（﹣2，2）递减，‎ ‎∴f（x）极大值=f（﹣2）=16，f（x）极小值=f（2）=﹣16．‎ ‎18.【解答】解：（Ⅰ）因为 an=﹣2+（n﹣1）d，‎ 所以 a12=﹣2+11d=20．‎ 于是 d=2，所以 an=2n﹣4．‎ ‎（Ⅱ）因为an=2n﹣4，‎ 所以 ．‎ 于是 ，‎ 令 ，则 ．‎ 显然数列{cn}是等比数列，且，公比q=3，‎ 所以数列的前n项和．‎ ‎　‎ ‎19【解答】解：（1）2a=0.25﹣（0.02+0.08+0.09），解得a=0.03，‎ 完成完成年度任务的人数200×4×（0.03+0.03）=48人，‎ ‎（2）这5组的人数比为0.02：0.08：0.09：0.03：0.03=2：8：9：3：3，‎ 故这5组分别应抽取的人数为2，8，9，3，3人 ‎（3）设第四组的4人用a，b，c表示，第5组的3人用A，B，C表示，‎ 从中随机抽取2人的所有情况如下ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15种，其中在同一组的有ab，ac，bc，AB，AC，BC共6种，‎ 故获得此奖励的2位销售员在同一组的概率=．‎ ‎20【解答】解：（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，‎ 则：①‎ 椭圆的一个焦点是F（0，1）．则a2﹣b2=1 ②‎ 由①②得：a2=4 b2=3‎ 椭圆C的方程：③‎ ‎（2）根据题意可知：设直线l的方程为：y=x+b④‎ 联立③④得： ‎ ‎ 3（x+b）2+4x2=12‎ 整理得：7x2+6bx+3b2﹣12=0‎ ‎∴ ‎ ‎∵|AB|===‎ 解方程得：b=±2 ∴ 直线l的方程为：y=x±2‎ 故答案为：（1）（2）直线l的方程为：y=x±2‎ ‎21.【解答】解：（Ⅰ）由抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），‎ 即有抛物线的方程为y2=4x；‎ ‎（Ⅱ）设，， ‎ ‎∵|AF|=|DF|∴，∴，‎ ‎∴直线AD的方程为，‎ ‎1）当 ‎2）当直线AE的方程为，‎ 由，可得∵yA=t，∴，‎ 由，可得∵yA=t∴‎ ‎∴；综上所得 ‎ ‎（Ⅲ）直线l1方程为y=﹣x﹣，‎ 令x=﹣1，可得Q（﹣1，﹣），yE=，取AE的中点G，‎ QG∥x轴，则S△AQE=|QG|•|yA﹣yE|，‎ ‎|QG|=（++2）=（+）2，即有S△AQE=（t+）3≥•（2）3=4，‎ 则S△AQE的最小值为4，当且仅当t=2取等号．‎ ‎　‎ ‎22.【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，‎ 若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，‎ 当x∈（0，）时，f′（x）＞0，‎ 当x∈（）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．‎ 所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．‎ ‎（Ⅱ）f（x）﹣=，‎ 令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），‎ g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，‎ ‎，‎ ‎①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，‎ g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，‎ ‎∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，‎ 从而f（x）﹣不符合题意．‎ ‎②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，‎ ‎∴g′（x）在（1，）上递增，‎ 从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，‎ ‎∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，‎ 从而f（x）﹣不符合题意．‎ ‎③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，‎ ‎∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，‎ 从而g（x）在[1，+∞）上递减，‎ ‎∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，‎ 综上所述，a的取值范围是[）．‎