2017-2018学年江西省奉新县第一中学高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年江西省奉新县第一中学高二上学期期末数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省奉新县第一中学高二上学期期末数学文试题（解析版）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.‎ ‎1. 直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得,故选D.‎ ‎2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得：，所以，，即焦点到准线的距离为，故选C.‎ ‎ ‎ ‎3. 圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 ‎【答案】B ‎【解析】由题得 ‎,所以两圆相交. 故选B.‎ ‎4. 已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】不等式的解是或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选 A．‎ ‎5. △ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的周长为22,则顶点C的轨迹方程是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得 所以点C的轨迹是以点A,B为焦点的椭圆（除去椭圆与x轴的两个交点），‎ 由题得 所以 所以点C的轨迹方程为，故选D.‎ ‎6. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )‎ A. 若,,,则 B. 若,,,则 C. 若,,,则 D. 若,,,则 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A, ,则两个平面内的直线不一定是垂直，所以选项A错误；对于选项B，，两个平面平行，则这两个平面内的直线不一定平行，所以选项B错误；对于选项C，两个平面内的两条直线垂直，不能得到两个平面垂直，所以选项C错误；对于选项D，可以证明.故选D.‎ ‎7. 有下列四个命题：‎ ‎①“若，则互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若，则有实根”的逆否命题；‎ ‎④“若不是等边三角形，则的三个内角相等”逆命题；‎ 其中真命题为（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】① “若, 则互为相反数”的逆命题为“若互为相反数，则”，正确；②“若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等”的否命题为“若两个三角形不全等，则两个三角形的面积不相等”，错误；③“若,则有实根”的逆否命题为“若没有实根，则”，因为没有实根，所以，可得，所以逆否命题正确；④“若不是等边三角形，则的三个内角相等”逆命题为 ‎“若的三个内角相等，则不是等边三角形”，显然错误，①③为真命题，故选C ‎8. 曲线在横坐标为的点处的切线为，则点到的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题得，x=-1时，y=-1,所以切点为（-1,-1），‎ 所以切线l的方程为 所以点（3,2）到直线l的距离为.故选A.‎ ‎9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：该几何体是棱长分别为 的长方体中的三棱锥： ，‎ 其中： ，‎ 该几何体的表面积为： .‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.‎ 视频 ‎10. 、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则=（　　）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得，故选C.‎ 点睛：本题的难点在于找方程，看到焦半径要联想到圆锥曲线的定义，优化解题，提高解题效率.‎ ‎11. 设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由(＋)·＝0，得(＋)·(－)＝0，即||2－||2＝0，所以||＝||＝c，所以△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，则PF1⊥PF2.即|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又＝||，解得|PF1|＝c，|PF2|＝c，又|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a.所以＝＝＋1＝e.‎ ‎12. 已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式得，‎ 所以在R上是减函数，因为.‎ 故选B.‎ 点睛：本题的难点在于解题的思路. 已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 已知直线与直线互相垂直，则=_______.‎ ‎【答案】0或2‎ ‎【解析】由题意得 ‎ ‎14. 若函数在R上存在极值，则实数的取值范围是___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得，由于函数f(x)在R上存在极值，‎ 所以，故填.‎ 点睛：本题的难点在于如何观察图像分析得到函数f(x)在R上存在极值的条件，这里主要是观察二次函数的判别式.‎ ‎15. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入,的值分别为,则输出的值为________‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ ‎16. 观察下面数表：‎ ‎ 1，‎ ‎ 3，5，‎ ‎ 7，9，11，13，‎ ‎ 15，17，19，21，23，25，27，29，‎ ‎………..‎ ‎ 设1027是该表第行的第个数，则等于________.‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，‎ 第一行1个数，‎ 第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1‎ 第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1‎ 第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1‎ ‎ …‎ 第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，‎ 第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m=10，n=3，‎ 所以m+n=13；‎ 故填13．‎ 三、解答题：(本大题共6小题，17题10分,18-22题12分,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17. 已知命题，”；命题“，”，若命题“”是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意，求得都是真命题，当为真命题，根据恒成立，求得，当为真命题时，由，解得或，取交集，即可求解的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为“且”是真命题，所以为真命题，也为真命题.‎ 命题：“对任意的”，当时，，对任意成立，所以.命题:“存在”，根据二次函数性质得，，，解得或.‎ 综上，的取值范围为或.‎ ‎18. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：‎ 日 期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差x（°C）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y（个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．‎ ‎（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；‎ ‎（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想?‎ 参考公式：，‎ ‎【答案】（1）（2）（3）该小组所得线性回归方程是理想的 ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般直接利用古典概型的概率公式计算. (2)第（2）问，先计算出回归方程的基本量，再代入回归方程即可. （3）计算出x=10和x=6对应的误差，再判断.‎ 试题解析：（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的数据的情况有5种，所以．‎ ‎（2）由数据求得，由公式求得，再由．‎ 所以y关于x的线性回归方程为. ‎ ‎（3）当x=10时，；同样，当x=6时，，‎ 所以该小组所得线性回归方程是理想的．‎ ‎19. 三棱柱，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．‎ ‎（1）求证：∥平面．‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）欲证平面,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可,而连接，根据中位线定理可知， 又平面满足定理所需条件；（2）证明，即可证明平面，从而证明平面平面.‎ 试题解析：（1）连接．在中，∵，是，的中点，‎ ‎∴ ，又∵平面，∴平面．‎ ‎（）∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，∴四边形是正方形，∴，‎ ‎∴，连接，，则≌，∴，‎ ‎∵是的中点，∴，∵，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、平面与平面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎20. 已知函数的图象过点（0，3），且在和上为增函数，在上为减函数.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求在R上的极值.‎ ‎【答案】（1）（2）极大值，极小值-6‎ ‎【解析】试题分析：（1）第(1)问，一般根据已知条件得到的方程组，解方程即可. (2)第（2）问，按照求极值的步骤解答即可.‎ 试题解析：（1）的图象过点（0,3）， ‎ ‎， ‎ 又由已知得是的两个根， ‎ ‎ （2）由已知可得是的极大值点， 是的极小值点 ‎21. 已知椭圆（）的两个焦点，，点在此椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析： （1）第（1）问，根据题意列出关于a,b,c的方程组，解方程组即可. (2)先求出的表达式，再化简为定值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）依题意知：，‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（Ⅱ）∵直线AB过点M(1，0)，∴设直线AB的方程为x=my+1，再设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，消x得：（m2+3）y2+2my﹣2=0，‎ ‎∴，‎ ‎∵N（3，2），∴，‎ 为定值.‎ 点睛：本题的第（2）问的化简，这里化简主要是利用了韦达定理和直线的方程.在化简过程中同时涉及到通分，计算比较复杂，要认真计算.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）若,求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若，求函数在区间上的最大值； ‎ ‎（3）若在区间上恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间是（2）见解析（3）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用导数求函数的减区间. (2) 利用导数求函数的单调性，从而求出函数的最大值，需要分类讨论. (3)利用第(2)问的结论，即，求出a的最大值.‎ 试题解析：（1）当时，. ‎ 令. ‎ 所以 函数的单调递减区间是. ‎ ‎（2）.‎ 令，由，解得. ‎ 当，即时，在区间上，函数是减函数.‎ 所以 函数在区间上的最大值为； ‎ 当，即时，x在上变化时，的变化情况如下表 x ‎1‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎_‎ f(x)‎ 极大值 所以 函数在区间上的最大值为.‎ 综上所述：当时，函数在区间上的最大值为；‎ 当时，函数在区间上的最大值为.‎ ‎（3）由（Ⅱ）可知：当时，在区间上恒成立；‎ 当时，由于在区间上是增函数，‎ 所以 ,即在区间上存在使得.‎ 综上所述，a的最大值为1. ‎ 点睛：本题的难点在于第（2）问为什么要分类讨论，怎么分类讨论？它之所以要分类讨论，主要是因为与区间 的左端点1的大小不确定,所以要分类讨论. 分类讨论是高中数学一种重要的思想，注意分类讨论的起因、标准、过程和结果.‎