2018-2019学年新疆第二师华山中学高一上学期期中考试 数学

2018-2019学年新疆第二师华山中学高一上学期期中考试 数学

‎2018-2019学年新疆第二师华山中学高一上学期期中考试 数学 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 角的终边落在　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列四个函数中，在上为增函数的是(    )‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数，若，则a的值是　　 A. 3或 B. 或5 C. D. 3或或5‎ 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是　　 A. B. C. D. ‎ 5. 若，且为第四象限角，则的值等于　　 A. B. C. D. ‎ 6. 函数的单调递增区间是　　 A. B. C. D. ‎ 7. 在上满足的x的取值范围是　　 A. B. C. D. ‎ 8. 函数且图象一定过点    A. B. C. D. ‎ 9. 已知，则的值为　　 A. B. C. D. ‎ 10. 若角，则　　 A. B. C. D. ‎ 1. 已知，函数的零点个数为　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或3或4‎ 2. 已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是　　 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 3. 若，，则______．‎ 4. 函数的定义域为______．‎ 5. 若函数，方程有两解，则实数m的取值范围为______ ．‎ 6. 函数，的所有零点之和为______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 7. 不使用计算器，计算下列各题： ； ． ‎ 8. 已知函数，若； 求a的值；      求的值；    解不等式． ‎ ‎ ‎ 1. 已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ ‎ 2. 已知，． 的值          求的值． ‎ 3. 某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比如图，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比如图注：利润与投资额的单位均为万元 分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数； 该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？                   图1                                    图2 ‎ 1. 已知函数，其中． 若时，求函数的零点； 当时，求证：函数在内有且仅有一个零点． ‎ ‎ 2018-2019学年高一年级期中考试 数学答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. A 2. C 3. B 4. D 5. D 6. D 7. B 8. C 9. C 10. A 11. A 12. A ‎ ‎13.    14.    15.    16.   ‎ ‎17. 解：原式分 原式分  ‎ ‎18. 解：， ， 即 解锝：分 由得函数， 则分 不等式， 即为 化简不等式得分 函数在上为增函数，且的定义域为R． 分 即， 解得， 所以不等式的解集为：分  ‎ ‎19. 解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以， ， 解得：， 扇形的圆心角的弧度数是：； 设扇形的半径和弧长分别为r和l， 由题意可得， 扇形的面积． 当时S取最大值，此时 ‎， 此时圆心角为， 当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．  ‎ ‎20. 解：， ． ， ．  ‎ ‎21. 解：，， ，， ，， 设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为万元． ， 令，则， 所以当，即万元时，收益最大，万元．  ‎ ‎22. 解：当时，函数， 令，可得可得，或， 解得，或，或． 综上可得，当时，函数的零点为，或，或 证明：当时，，由函数得：， 记， 则的图象是开口朝上的抛物线， 由得： 函数在内有且仅有一个零点． 函数在上有唯一零点  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：， 角的终边落在第一象限． 故选：A． 由，即可求出角的终边落在第一象限． 本题考查了象限角、轴线角，是基础题．‎ ‎2. 【分析】 本题考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答由题意知A和D在上为减函数；B在上先减后增；C在上为增函数． 【解答】 解：在上为减函数，不正确； B.是开口向上对称轴为的抛物线，所以它在上先减后增，不正确； C.在上y随x的增大而增大，所它为增函数，C 正确； D.在上y随x的增大而减小，所以它为减函数，不正确． 故选C．‎ ‎3. 【分析】 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是确定 的表达式，体现了分类讨论思想的应用结合题意，需要对a进行分类讨论，若，则；若，则，从而可求a． 【解答】 解：若，则 舍去 若，则 综上可得，或 故选B．‎ ‎4. 【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性求解本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 【解答】 解：， ，，．故选D．‎ ‎5. 【分析】 本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力利用同角三角函数的基本关系式求出，然后求解即可． 【解答】 解：，且为第四象限角，， ． 故选D．‎ ‎6. 【分析】 本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档． 由得：，令，则，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案． 【解答】 解：由得：， 令，则， 时，为减函数； 时，为增函数； 为增函数， 故函数的单调递增区间是， 故选D．‎ ‎7. 【分析】本题考查了任意角的三角函数的定义与应用问题，是基础题目．根据余弦函数的图象和性质，即可求出结果． 【解答】 解：当时，， 又， 满足的x的取值范围是 故选：B．‎ ‎8. 【分析】本题考查指数型函数图象恒过定点问题，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题由指数式的指数等于0求解x值，进一步求得y值得答案．【解答】 解：由，得，此时． 函数且图象一定过点． 故选C．‎ ‎9. 解：， ． 则． 故选：C． 直接由三角函数的诱导公式化简得答案． 本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式，是基础题．‎ ‎10. 解：角，故和的符号相反， 则 ， 故选：A． 再利用同角三角函数的基本关系，化简所给的式子可得结果． 本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．‎ ‎11. 解：‎ 函数的零点个数， 等于函数和函数的图象的交点个数，如图所示： 数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2， 故时，函数的零点个数为2， 故选：A． 函数的零点个数等于函数和函数的图象的交点个数，结合图象得出结论． 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎12. 解：函数是定义域上的单调增函数， 可得， 解得：． 故选：A． 利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可． 本题考查分段函数的单调性的应用，指数函数以及对数函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎13. 解：，，则，且， 故答案为：． 由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．‎ ‎14. 【分析】 本题考查对数函数的图象和性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化函数的定义域为：，由此能求出结果． 【解答】 解：函数的定义域为： ‎ ‎， 解得． 故答案为．‎ ‎15. 解：如图所示． 由题意，，，，， 方程有两解， ． 故答案为：． 作出函数的图象，利用方程有两解，即可实数m的取值范围． 本题考查分段函数，考查数形结合方法的运用，正确作出函数的图象是关键．‎ ‎16. 【分析】 由题意函数，的零点，即的根；作出函数与的图象结合函数的对称性，可得答案本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题． 【解答】 解：函数，的零点，即的根； 作出函数与在上的图象，如下图所示： 由图可得：两个函数的图象有4个不同的交点， 且两两关于点对称， 故四个点横坐标之和为， 即函数，的所有零点之和为， 故答案为．‎ ‎17. 利用有理数指数幂的性质及运算法则求解． 本题考查指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质及运算法则的合理运用．‎ ‎18. 根据构造对数方程，解得a值； 根据中函数解析式，将代入可得答案； 不等式即为，化简不等式得，进而根据对数函数的单调性可得，解得不等式的解集． 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，是对数函数与二次不等式的综合应用，难度中档．‎ ‎19. 根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数． 由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得，扇形的面积，由二次函数的性质可得． 本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查了二次函数求最值的应用以及学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎20. 先利用同角三角函数间的关系把等价转化为，由此能求出的值． 先分子分母同时除以，得到，由此能求出的值． 本题考查同角三角函数间的基本关系系，是基础题解题时要认真审题，注意三角函数的符号．‎ ‎21. 由A产品的利润与投资额成正比，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系； 由的结论，我们设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为万元这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解． 函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大小化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大小是最优化问题中，最常见的思路之一．‎ ‎22. 当时，函数，令，可得函数的零点． 当时，若，由函数得：，进而可证得在上有唯一零点． 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，转化思想，二次函数的图象和性质，属于中档题．‎