江苏省2013年高三历次考试数学试题分类汇编：导数
【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编15：导数
一、填空题
．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）记定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f′(x).如果存在x0[a,b],使得f(b)-f(a)=f′(x0)(b-a)成立,则称x0为函数f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.那么函数f(x)=x3-3x在区间[-2,2]上“中值点”的个数为________.
【答案】2
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）分别在曲线与直线上各取一点与,则的最小值为_____.
【答案】
．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）曲线y=2lnx在点(e,2)处的切线与y轴交点的坐标为_____________
【答案】(0,0)
．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知点和点在曲线C:为常数上,若曲线在点和点处的切线互相平行,则______.
【答案】
．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知函数()在区间上取得最小值4,则____.
【答案】
．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）关于的不等式对任意恒成立,则实数的值为_____.
【答案】
．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）过坐标原点作函数图像的切线,则切线斜率为_____.
【答案】
．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线在点(1,f
(1))处的切线方程为________.
【答案】 答案:.
本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义.
.
在方程中,令x=0,则得.
讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别.
二、解答题
．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知函数f(x)=m(x-1)2-2x+3+lnx ,m∈R.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.
【答案】解(1)由题意知,f(x)=-2x+3+lnx,
所以f′(x)=-2+= (x>0)
由f′(x)>0得x∈(0,) .
所以函数f(x)的单调增区间为(0,)
(2)由f′(x)=mx-m-2+,得f′(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2
由题意得,关于x的方程f(x)=-x+2有且只有一个解,
即关于x的方程m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个解.
令g(x)=m(x-1)2-x+1+lnx(x>0).
则g′(x)=m(x-1)-1+==(x>0)
①当0
0得0,由g′(x)<0得11时,由g′(x)>0得01,由g′(x)<0得1不合题意.
综上,实数m的值为m=1
．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知函数.
(1)若a=1,求函数在区间的最大值;[来源:学科网]
(2)求函数的单调区间;
(3)若恒成立,求的取值范围.
【答案】解:(1)若a=1, 则.
当时, ,,
所以在上单调增,
(2)由于,.
(ⅰ)当时,则,,
令,得(负根舍去),
且当时,;当时,,
所以在上单调减,在上单调增
(ⅱ)当时,
①当时, ,
令,得(舍),
若,即, 则,所以在上单调增;
若,即, 则当时,;当时,,所以在区间上是单调减,在上单调增
②当时, ,
令,得,记,
若,即, 则,故在上单调减;
若,即,
则由得,且,
当时,;当时,;当 时,,所以在区间上是单调减,在上单调增;在上单调减
综上所述,当时,单调递减区间是 ,单调递增区间
是;
当时, 单调递减区间是,单调的递增区间是
;
当时, 单调递减区间是(0, )和,
单调的递增区间是和
(3)函数的定义域为.
由,得. *
(ⅰ)当时,,,不等式*恒成立,所以;
(ⅱ)当时,,,所以;
(ⅲ)当时,不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立.
令,则.
因为,所以,从而.
因为恒成立等价于,所以.
令,则.
再令,则在上恒成立,在上无最大值.
综上所述,满足条件的的取值范围是
．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知函数且x≠1).
(1)若函数在上为减函数,求实数a的最小值;[来源:学.科.网Z.X.X.K]
(2)若,使f(x1)≤成立,求实数a的取值范围.
【答案】解:(1)因f(x)在上为减函数,故在上恒成立
所以当时,.
又,
故当,即时,.
所以于是,故a的最小值为
(2)命题“若使成立”等价于
“当时,有”
由(1),当时,,.
问题等价于:“当时,有”
当时,由(1),在上为减函数,
则=,故
当时,由于在上为增函数,
故的值域为,即.
(i)若,即,在恒成立,故在上为增函数,
于是,=,不合
(ii)若,即,由的单调性和值域知,
唯一,使,且满足:
当时,,为减函数;当时,,为增函数;
所以,=,.
所以,,与矛盾,不合
综上,得
本题主要考查函数与导数的知识,考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.
第(2)可另解为:
命题“若使成立”等价于
“,使”.
由(1),当时,,于是.
故,使,即,使.
所以当时,.
记,则.
因,故,于是恒成立.
所以,在上为减函数,
所以,.
所以,.
．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知函数,其中ÎR.
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对任意的x1,x2Î[-1,1],都有,求实数的取值范围;
(3)求函数的零点个数.
【答案】解:(1) f ´(x)=x2-2mx-1,
由f ´(x)³0,得x£m-,或x³ m+;
故函数的单调增区间为(-∞,m-),(m+,+∞),
减区间(m-, m+) [来源:学科网]
(2) “对任意的x1,x2Î[-1,1],都有|f¢(x1)-f¢(x2)|£4”等价于“函数y=f ´(x),xÎ[-1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”.
对于f ´(x)=x2-2mx-1,对称轴x=m.
①当m<-1时, f ´(x)的最大值为f ´(1),最小值为f ´(-1),由 f ´(1)-f ´(-1)£4,即-4m£4,解得m³1,舍去;
②当-1£m£1时, f ´(x)的最大值为f ´(1)或f ´(-1),最小值为f ´(m),由 ,即,解得-1£m£1;
③当m>1时, f ´(x)的最大值为f ´(-1),最小值为f ´(1),由 f ´(-1)-f ´(1)£4,即4m£4,解得m£1,舍去;
综上,实数m的取值范围是[-1,1]
(3)由f ´(x)=0,得x2-2mx-1=0,
因为△=4m2+4>0,所以y=f(x)既有极大值也有极小值.
设f ´(x0)=0,即x02-2mx0-1=0,
则f (x0)=x03-mx02-x0+m=-mx02-x0+m=-x0(m2+1)
所以极大值f(m-)=-(m-)(m2+1)>0,
极小值f(m+)=-(m+)(m2+1)<0,
故函数f(x)有三个零点
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知为正的常数,函数.
(1)若,求函数的单调增区间;
(2)设,求函数在区间上的最小值.
【答案】
．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
设b>0,函数,记(是函数的导函数),且当x = 1时,取得极小值2.
(1)求函数的单调增区间;
(2)证明.
【答案】【解】(1)由题.
于是,若,则,与有极小值矛盾,所以.
令,并考虑到,知仅当时,取得极小值.
所以解得
故,由,得,所以的单调增区间为. [来源:Zxxk.Com]
(2)因为,所以记
因为,
所以,故
．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）设是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每
一个,总有,则称为“阶负函数”;若对定义域内的每一个,总有,
则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).
(1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数的取值范围;
(2)对任给的“2阶不减函数”,如果存在常数,使得恒成立,试判断是
否为“2阶负函数”?并说明理由.
【答案】 解:(1)依题意,在上单调递增,
故 恒成立,得,
因为,所以
而当时,显然在恒成立,
所以
(2)①先证:
若不存在正实数,使得,则恒成立 [来源:Z_xx_k.Com]
假设存在正实数,使得,则有,
由题意,当时,,可得在上单调递增,
当时,恒成立,即恒成立,
故必存在,使得(其中为任意常数),
这与恒成立(即有上界)矛盾,故假设不成立,
所以当时,,即;
②再证无解:
假设存在正实数,使得,
则对于任意,有,即有,
这与①矛盾,故假设不成立,
所以无解,
综上得,即,
故所有满足题设的都是“2阶负函数”
．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知实数,,,函数满足,设的导函数为,满足.
(1)求的取值范围;
(2)设为常数,且,已知函数的两个极值点为,,,
,求证:直线的斜率.
【答案】
．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知,函数R)图象上相异两点处的切线分别为,
且∥.
(1)判断函数的奇偶性;并判断是否关于原点对称;
(2)若直线都与垂直,求实数的取值范围.
【答案】解:(1),
为奇函数
设且,又,
在两个相异点处的切线分别为,且∥,
,
又,, 又为奇函数,
点关于原点对称
(2)由(1)知, ,
又在A处的切线的斜率, 直线都与垂直,
,
令,即方程有非负实根,
,又 , .综上
【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布;考查换元法考查推理论证能力.
．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）设函数.
(1)求函数的单调区间;(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数的值;
(3)若方程有两个不相等的实数根,求证:.
【答案】
．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）记函数的导函数为,已知.
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)设函数,试问:是否存在正整数使得函数有且只有一个零点?若存在,请求出所有的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)若实数和(,且)满足:,试比较与的大小,并加以证明.
第二部分(加试部分)
【答案】解:(Ⅰ),由得
(Ⅱ),,
∵,令得,
当时,,是增函数;
当时,,是减函数.
∴当时,有极小值,也是最小值,,
当时,;
当时(可取体验),.
当时,,函数有两个零点;
当时,,函数有两个零点;
当时,,函数有且只有一个零点,
综上所述,存在使得函数有且只有一个零点
(Ⅲ),∵,∴,
得,
则,
当时,,设,
则(当且仅当时取等号),
∴在上是减函数,
又∵,∴,∴,∴
当时,,设,
则(当且仅当时取等号),
∴在上是增函数, [来源:Z_xx_k.Com]
又∵,∴,∴,∴.
综上所述,当时 ,当时
．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）已知函数f (x)=(m-3)x3 + 9x.
(1)若函数f (x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求m的取值范围;
(2)若函数f (x)在区间[1,2]上的最大值为4,求m的值.
【答案】【解】(1)因为(0)=9 > 0,所以f (x)在区间上只能是单调增函数
由(x)=3(m-3)x2 + 9≥0在区间(-∞,+∞)上恒成立,所以m≥3.
故m的取值范围是[3,∞)
(2)当m≥3时,f (x)在[1,2]上是增函数,所以[f (x)] max=f (2)=8(m-3)+18=4,
解得m=<3,不合题意,舍去
当m<3时,(x)=3(m-3) x2 + 9=0,得.
所以f (x)的单调区间为:单调减,单调增,单调减.
①当,即时,,所以f (x)在区间[1,2]上单调增,[f (x)] max =f(2)=8(m-3)+18=4,m=,不满足题设要求.
②当,即00,b>0.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),
求a,b的值;
(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为[],求:
(1)函数h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值M(a);
(2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a的取值范围.
【答案】
．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知函数f(x)=(x-a),a,b为常数,
(1)若a ,求证:函数f(x)存在极大值和极小值
(2)设(1)中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为,令点A ),B ),如果直线AB的斜率为,求函数f(x)和的公共递减区间的长度
(3)若对于一切 恒成立,求实数m,a,b满足的条件
2012~2013学年度第一学期期末考
【答案】(1)
有两不等 b和
f(x)存在极大值和极小值
(2)①若a=b,f(x)不存在减区间
②若a>b时由(1)知x1=b,x2=
A(b,0)B
当a
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