上海市金山中学2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（解析版）

上海市金山中学2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（解析版）

‎2015-2016学年上海市金山中学高二（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分36分）‎ ‎1．直线x﹣（m﹣2）y+4=0的倾斜角为，则m的值是　　　　　　．‎ ‎2．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为　　　　　　．‎ ‎3．若复数z满足，则|z+1|的值为　　　　　　．‎ ‎4．已知直线5x+12y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为　　　　　　．‎ ‎5．已知方程表示椭圆，则k的取值范围为　　　　　　．‎ ‎6．若直线l经过原点，且与直线的夹角为30°，则直线l方程为　　　　　　．‎ ‎7．过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线﹣=1仅有一个交点，则实数k的值为　　　　　　．‎ ‎8．已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A（2，0）、B（0，1），O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是　　　　　　．‎ ‎9．若点O和点F分别为双曲线﹣y2=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为　　　　　　．‎ ‎10．双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为　　　　　　．‎ ‎11．若点P（﹣1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是　　　　　　．‎ ‎12．已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围为　　　　　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分12分）‎ ‎13．设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎14．与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（　　）‎ 第19页（共19页）‎ A． B． C． D．‎ ‎15．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎16．已知曲线C：﹣=1（a＞b＞0），下列叙述中正确的是（　　）‎ A．垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点 B．直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点 C．曲线C关于直线y=﹣x对称 D．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有＜0‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题满分52分）‎ ‎17．求以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程．‎ ‎18．设z1是方程x2﹣6x+25=0的一个根．‎ ‎（1）求z1；‎ ‎（2）设z2=a+i（其中i为虚数单位，a∈R），若z2的共轭复数满足，求．‎ ‎19．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．‎ ‎（1）求点Q的坐标；‎ ‎（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．‎ 第19页（共19页）‎ ‎20．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？‎ ‎21．椭圆E1： +=1和椭圆E2： +=1满足==m（m＞0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．‎ ‎（1）求经过点（2，），且与椭圆+=1相似的椭圆方程；‎ ‎（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；‎ 第19页（共19页）‎ ‎（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C1： +=1和C2： +=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为+=1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明．‎ ‎　‎ 第19页（共19页）‎ ‎2015-2016学年上海市金山中学高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分36分）‎ ‎1．直线x﹣（m﹣2）y+4=0的倾斜角为，则m的值是　3　．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由直线的倾斜角求出斜率，再由斜率列式求得m值．‎ ‎【解答】解：∵直线x﹣（m﹣2）y+4=0的倾斜角为，‎ ‎∴该直线的斜率为tan，‎ 即，解得：m=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎2．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为　6　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．‎ 将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值 由解得A（2，2）‎ ‎∴zmax=F（2，2）=2+2×2=6‎ 故答案为：6‎ 第19页（共19页）‎ ‎　‎ ‎3．若复数z满足，则|z+1|的值为　　．‎ ‎【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由已知条件求出复数z，并利用复数代数形式的除法法则化简为1﹣i，由此求得z+1的值及|z+1|的值．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足，解得 z====﹣i，‎ ‎∴z+1=1﹣i，∴|z+1|==，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎4．已知直线5x+12y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为　8或﹣18　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】写出圆的圆心坐标和半径，利用圆心到切线的距离等于圆的半径得答案．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1，‎ ‎∵直线5x+12y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，‎ ‎∴，‎ 解得：a=8或a=﹣18．‎ 故答案为：a=8或a=﹣18．‎ ‎　‎ ‎5．已知方程表示椭圆，则k的取值范围为　　．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据题意，方程表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．‎ ‎【解答】解：∵方程表示椭圆，‎ 第19页（共19页）‎ 则⇒‎ 解得 k∈‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．若直线l经过原点，且与直线的夹角为30°，则直线l方程为　x=0或y=x　．‎ ‎【考点】两直线的夹角与到角问题．‎ ‎【分析】可得已知直线的倾斜角为为60°，进而所求直线l的倾斜角为30°或90°，可得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：∵直线的斜率为，∴倾斜角为60°，‎ ‎∴所求直线l的倾斜角为30°或90°，‎ 当直线l的倾斜角为90°时，直线的方程为x=0；‎ 直线l的倾斜角为30°时，直线的方程为y=x．‎ 故答案为：x=0或y=x．‎ ‎　‎ ‎7．过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线﹣=1仅有一个交点，则实数k的值为　0或±　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据直线的方程可知直线恒过（2，0）点，进而可推断出要使直线与双曲只有一个公共点，需直线与双曲线相切或与渐近线平行，进而根据双曲线方程求得其渐近线方程，求得k的值．‎ ‎【解答】解：依题意可知直线l恒过（2，0）点，‎ 即双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切，‎ 即垂直于x轴，即有k=0；‎ 当直线与渐近线平行，‎ 即有=±，即k=±，‎ 此时直线与双曲线仅有一个交点．‎ 故答案为：0或±．‎ ‎　‎ 第19页（共19页）‎ ‎8．已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A（2，0）、B（0，1），O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用三角函数来解答这道题，椭圆方程上 里面的自变量x，y可以表示为 x=2cosa y=sina 本题中要求第一象限，这样就应该有0＜a＜π，设P为（2cosa，sina）这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，对于三角形OAP有面积S1=sina 对于三角形OBP有面积S2=cosa 这样四边形的面积S=S1+S2=sina+cosa也就相当于求解sina+cosa的最大值，0＜a＜π，sina+cosa=sin（a+）这样其最大值就应该为，并且当且仅当a=时成立．‎ ‎【解答】解：由于点P是椭圆上的在第一象限内的点，‎ ‎ 设P为（2cosa，sina）即x=2cosa y=sina （0＜a＜π），‎ 这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，‎ 对于三角形OAP有面积S1=sina 对于三角形OBP有面积S2=cosa ‎ ‎∴四边形的面积S=S1+S2=sina+cosa ‎=sin（a+）‎ 其最大值就应该为，‎ 并且当且仅当a=时成立．所以，面积最大值．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．若点O和点F分别为双曲线﹣y2=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为　[3+2，+∞）　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线的焦点F，设出点P，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F，O的坐标表示•，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得•的取值范围．‎ ‎【解答】解：设P（m，n），由F（﹣2，0），O（0，0），‎ 则•=（m，n）•（m+2，n）=m2+2m+n2．‎ 由点P为双曲线右支上的任意一点，‎ 可得﹣n2=1（m≥），‎ 即n2=﹣1，‎ 则m2+2m+n2=m2+2m+﹣1=m2+2m﹣1=（m+）2﹣，‎ 由m≥＞﹣，‎ 第19页（共19页）‎ 可得函数在[，+∞）上单调递增，‎ 即有m2+2m+n2≥3+2，‎ 则•的取值范围为[3+2，+∞）．‎ 故答案为：[3+2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎10．双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为　1　．‎ ‎【考点】双曲线的应用．‎ ‎【分析】令|PF1|=x，|PF2|=y，根据题设条件和双曲线定义可得关于x和y的方程组，解x和y，进而可求得x2+y2，结果正好等于|F1F2|2，根据勾股定理可知△PF1F2为直角三角形，进而根据三角形面积公式求得答案．‎ ‎【解答】解：令|PF1|=x，|PF2|=y，‎ 依题意可知 解得x=+，y=﹣，‎ ‎∴x2+y2=（2+）2+（2﹣）2=4n+4‎ ‎∵|F1F2|=2‎ ‎∴|F1F2|2=4n+4‎ ‎∴x2+y2|F1F2|2‎ ‎∴△PF1F2为直角三角形 ‎∴△PF1F2的面积为xy=（2+）（﹣）=1‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎11．若点P（﹣1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是　x2+（y+1）2=2　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】直线2ax+（a+c）y+2c=0恒过定点M（1，﹣2），PQ垂直直线2ax+（a+c）y+2c=0，故△PQM为直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆．‎ ‎【解答】解：直线2ax+（a+c）y+2c=0恒过定点M（1，﹣2）‎ ‎∵点P（﹣1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q ‎∴PQ⊥直线l 故△PQM为直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆．‎ ‎∴Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2． ‎ 故答案为：x2+（y+1）2=2．‎ 第19页（共19页）‎ ‎　‎ ‎12．已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围为　　．‎ ‎【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【分析】首先由直线x+2y﹣1=0与直线x+2y+3=0是平行线，得出PQ的中点N（x0，y0）满足的直线方程；再根据y0＞x0+2对应的平面区域进一步限定M的范围；最后结合的几何意义求出其范围．‎ ‎【解答】解：根据题意作图如下 因为PQ中点为N，则点N的坐标满足方程x+2y+1=0，‎ 又y0＞x0+2，则点N在直线y=x+2的左上部，‎ 且由得 N（，），则kON=﹣，并且直线x+2y+1=0的斜率k=﹣，‎ 而可视为点N与原点O连线的斜率，‎ 故﹣＜＜﹣．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分12分）‎ 第19页（共19页）‎ ‎13．设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．‎ ‎【分析】结合纯虚数的概念，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：若复数a+bi为纯虚数，则a=0，b≠0，‎ ‎∴“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎14．与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意设出与双曲线有共同的渐近线的方程为，把点（2，2）代入求出λ，则答案可求．‎ ‎【解答】解：设所求的双曲线方程为，‎ ‎∵所求双曲线过点（2，2），则，即λ=﹣3，‎ ‎∴所求双曲线方程为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎15．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】将参数方程化为普通方程，求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，观察即可得到点的个数．‎ ‎【解答】解：曲线C的参数方程为（θ为参数），‎ 化为普通方程为圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，‎ 圆心为（2，1），半径为3．‎ 则圆心到直线的距离d==．‎ 第19页（共19页）‎ 则直线与圆相交，则由3﹣＞，‎ 故在直线x﹣3y+2=0的上方和下方各有两个，共4个．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎16．已知曲线C：﹣=1（a＞b＞0），下列叙述中正确的是（　　）‎ A．垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点 B．直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点 C．曲线C关于直线y=﹣x对称 D．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有＜0‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】对x，y的符号进行讨论，得出曲线的图象，根据椭圆与双曲线的性质进行判断．‎ ‎【解答】解：当x＞0，y＞0时，曲线C的方程为，渐近线方程为y=．‎ 当x＜0，y＞0时，曲线C方程为﹣，方程无解．‎ 当x＜0，y＜0时，曲线C方程为，渐近线方程为y=．‎ 当x＞0，y＜0时，曲线C方程为．‎ 作出曲线C的图象如图所示：‎ 显然y是关于x的函数，故A错误．‎ 由图象可知当直线y=kx+m经过点（a，0）且k＞时，直线与曲线C有三个交点．‎ ‎∵a≠b，∴曲线C不关于直线y=﹣x对称，故C错误．‎ 由图象可知y=f（x）为增函数，∴k=＞0，故D错误．‎ 综上，故选B．‎ 第19页（共19页）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题满分52分）‎ ‎17．求以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的性质和圆的标准方程即可求出．‎ ‎【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），‎ 因为圆过原点，所以半径R=1 ‎ 所以所求的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1．‎ ‎　‎ ‎18．设z1是方程x2﹣6x+25=0的一个根．‎ ‎（1）求z1；‎ ‎（2）设z2=a+i（其中i为虚数单位，a∈R），若z2的共轭复数满足，求．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；函数的零点；复数求模．‎ ‎【分析】（1）直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解；‎ ‎（2）由z2=a+i得其共轭复数，把z1及代入，整理后求解a的值，代入z2=a+i后求解．‎ ‎【解答】解 （1）∵△=62﹣4×25=﹣64，‎ ‎∴，即z1=3﹣4i或z1=3+4i； ‎ ‎（2）由z2=a+i，得．‎ 当z1=3﹣4i时，‎ 则=|（3﹣4i）3•（a﹣i）|=，得 ‎|（﹣117﹣44i）（a﹣i）|=，‎ 整理得：，∴a=±2．‎ 第19页（共19页）‎ 当z1=3+4i时，‎ 则=|（3+4i）3•（a﹣i）|=，得 ‎|（﹣117+44i）（a﹣i）|=，‎ 整理得：，∴a=±2．‎ 综上：‎ 当a=﹣2时，； ‎ 当a=2时，．‎ ‎　‎ ‎19．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．‎ ‎（1）求点Q的坐标；‎ ‎（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．‎ ‎【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标．‎ ‎（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）解方程组得或即A（﹣4，﹣2），B（8，4），‎ 从而AB的中点为M（2，1），‎ 第19页（共19页）‎ 由kAB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．‎ 令y=﹣5，得x=5，‎ ‎∴Q（5，﹣5）．‎ ‎（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x， x2﹣4）．‎ ‎∵点P到直线OQ的距离 d==．‎ ‎，∴S△OPQ=|OQ|d=‎ ‎∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，‎ ‎∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．‎ ‎∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，‎ ‎∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．‎ ‎　‎ ‎20．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？‎ ‎【考点】圆方程的综合应用．‎ ‎【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．‎ ‎【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．‎ 在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为 第19页（共19页）‎ 令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，‎ 其中r（t）=10t+60，‎ 若在t时，该城市受到台风的侵袭，‎ 则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，‎ 即，‎ 即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．‎ 答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．‎ ‎　‎ ‎21．椭圆E1： +=1和椭圆E2： +=1满足==m（m＞0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．‎ ‎（1）求经过点（2，），且与椭圆+=1相似的椭圆方程；‎ ‎（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；‎ ‎（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C1： +=1和C2： +=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为+=1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）直接根据定义得到，解得a，b，即可得到与已知椭圆相似的椭圆方程；‎ 第19页（共19页）‎ ‎（2）先对射线与y轴重合时求出结论；再对射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，仅考查A、B在第一象限的情形，联立直线与两个椭圆方程分别求出线段的长度，再结合函数的单调性即可求出的最大值和最小值；（整理过程需小心避免出错）．‎ ‎（3）分析出命题的基本条件为：椭圆、a=2，b=、m=2、等比，类比着写：①双曲线或抛物线； ②a，b或p； ③相似比为m；④等比．‎ ‎【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为+=1，‎ 则有，解得，‎ ‎∴所要求的椭圆方程为+=1； ‎ ‎（2）①当射线与y轴重合时，|OA|+=+=；‎ ‎②当射线不与y轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形．‎ 设其方程为y=kx（k≥0，x＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由解得，所以；‎ 由解得所以；‎ ‎=+，‎ 令，，‎ ‎=（）在上是增函数，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 第19页（共19页）‎ 由①②知，|OA|+的最大值为，的最小值为． ‎ ‎（3）过原点的一条射线分别与两条双曲线C1：﹣=1和C2：﹣=1（m＞0）‎ 交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等比数列，‎ 则点P的轨迹方程为﹣=1；‎ 或过原点的一条射线分别与两条抛物线C1：y2=2px（p＞0）和C2：y2=2mpx（m＞0）‎ 相交于异于原点的A、B两点，P为线段AB上的一点，‎ 若|OA|、|OP|、|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为y2=2px．‎ ‎　‎ 第19页（共19页）‎ ‎2016年5月11日 第19页（共19页）‎