数学卷·2018届安徽省淮南二中高二上学期期中数学试卷（理创班） （解析版）

数学卷·2018届安徽省淮南二中高二上学期期中数学试卷（理创班） （解析版）

‎2016-2017学年安徽省淮南二中高二（上）期中数学试卷（理创班）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1． dx=（　　）‎ A．2（﹣1） B． +1 C．﹣1 D．2﹣‎ ‎2．已知复数z满足方程=i（i为虚数单位），则=（　　）‎ A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i ‎3．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（　　）‎ A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3‎ ‎4．已知复数z1=2+i，z2=1+i，则在平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的中点，则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎6．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，则m⊥l；‎ ‎②若α⊥β，则m∥l；‎ ‎③若m⊥l，则α∥β ‎④若m∥l，则α⊥β 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．函数f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a＞﹣3 B．a＞﹣2 C．a≥﹣3 D．a≥﹣2‎ ‎8．某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2，…，a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A，男生平均分：M，女生平均分：W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图里空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（　　）‎ A．T＞0？， B．T＜0？， C．T＜0？， D．T＞0？，‎ ‎9．已知p：关于x的不等式|x﹣2|+|x+2|＞m的解集是R； q：关于x的不等式x2+mx+4＞0的解集是R．则p成立是q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎10．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（　　）‎ A．增加了一项 B．增加了两项 C．增加了两项，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 ‎11．已知函数g（x）是偶函数，f（x）=g（x﹣2），且当x≠2时其导函数f（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，若1＜a＜3，则（　　）‎ A．f（4a）＜f（3）＜f（log3a） B．f（3）＜f（log3a）＜f（4a）‎ C．f（log3a）＜f（3）＜f（4a） D．f（log3a）＜f（4a）＜f（3）‎ ‎12．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B．（） C．（，1） D．（，1）‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．若异面直线a、b所成的角为60°，则过空间一点P且与a、b所成的角都为60°的直线有　　条．‎ ‎14．已知函数f（x）=x3+x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为　　．‎ ‎15．如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是　　（填出所有可能的序号）．‎ ‎16．定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：‎ ‎①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；‎ ‎②函数f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5的对称中心也是函数的一个对称中心；‎ ‎③存在三次函数h（x），方程h′（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0））为函数y=h（x）的对称中心；‎ ‎④若函数，则=﹣1007.5．‎ 其中正确命题的序号为　　（把所有正确命题的序号都填上）．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=90°，AB⊥侧面BB1CC1．‎ ‎（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；‎ ‎（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若AB=，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．‎ ‎18．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎19．设，g（x）=x3﹣x2﹣3．‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；‎ ‎（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；‎ ‎（3）如果对任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎20．已知函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求θ的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设h（x）=，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．‎ ‎21．已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．‎ ‎（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在x0，使x0∈[，]且f（x0）≤g（x0）成立，求的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省淮南二中高二（上）期中数学试卷（理创班）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1． dx=（　　）‎ A．2（﹣1） B． +1 C．﹣1 D．2﹣‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】先根据二倍角公式，化简原函数，再根据定积分的计算法则计算即可 ‎【解答】解：∵==cosx﹣sinx，‎ ‎∴dx=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=+﹣0﹣1=﹣1‎ 故选：C ‎　‎ ‎2．已知复数z满足方程=i（i为虚数单位），则=（　　）‎ A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．‎ ‎【解答】解：由=i，得z+i=zi，‎ ‎∴．‎ 则．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（　　）‎ A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】把直三棱柱ABC﹣A1B1C1分割为：B﹣APQC，B﹣C1QPA1，B﹣B1A1C1，运用体积公式求解，得出结论．‎ ‎【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，‎ ‎∵连接BA1，BC1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，‎ ‎∴四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的底面积相等 ‎∴把直三棱柱ABC﹣A1B1C1分割为：B﹣APQC，B﹣C1QPA1，B﹣B1A1C1，‎ ‎∴三棱锥的B﹣B1A1C1为V，‎ ‎∴四棱锥B﹣APQC，B﹣C1QPA1的体积之和为：V﹣V=，‎ ‎∵四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的底面积，高相等．‎ ‎∴四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的体积相等，‎ 即为，‎ ‎∴棱锥B﹣APQC，B﹣C1QPA1，B﹣B1A1C1的体积相等，为，‎ ‎∴平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为2：1，‎ 故选：A ‎　‎ ‎4．已知复数z1=2+i，z2=1+i，则在平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数，化简复数可得对应的象限．‎ ‎【解答】解：由题意可得==‎ ‎===，‎ 故对应的点的坐标为：（，）在第四象限，‎ 故选D ‎　‎ ‎5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的中点，则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】根据题意，画出几何体的三视图，求出三视图的面积之和即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 四面体A1PQD的正视图是直角梯形，如图1所示；‎ 侧视图是四边形，如图2所示；‎ 俯视图是直角梯形，如图3所示；‎ 所以三视图的面积之和为3﹣4×××1=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，则m⊥l；‎ ‎②若α⊥β，则m∥l；‎ ‎③若m⊥l，则α∥β ‎④若m∥l，则α⊥β 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．‎ ‎【解答】解：（1）中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．‎ ‎（2）中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．‎ ‎（3）中，若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．‎ ‎（4）中，若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选B．‎ ‎　‎ ‎7．函数f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a＞﹣3 B．a＞﹣2 C．a≥﹣3 D．a≥﹣2‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】根据函数的导数与单调性的关系，f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，只需f′（x）≥0在区间[2，3]上恒成立，考虑用分离参数法求解．‎ ‎【解答】解：根据函数的导数与单调性的关系，f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，只需f′（x）≥0在区间[2，3]上恒成立．‎ 由导数的运算法则，f′（x）=，移向得，，，a只需大于等于﹣x的最大值即可，由﹣x≤﹣2，∴a≥﹣2‎ 故选D ‎　‎ ‎8．某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2，…，a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A，男生平均分：M，女生平均分：W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图里空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（　　）‎ A．T＞0？， B．T＜0？， C．T＜0？， D．T＞0？，‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】根据已知中男生平均分用变量M表示，女生平均分用变量W表示，结合满足条件时，执行对M的累加，再由男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，可得条件1，再由计算总分时，W为负数（女生成绩和的相反数），可得总分表达式，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：根据已知中男生平均分用变量M表示，女生平均分用变量W表示 可得满足条件1时，表示该分数为男生分数，‎ 又由男生的成绩用正数，故条件1为T＞0‎ 统计结束后，M为正数，而W为负数（女生成绩和的相反数）‎ 故此时A=‎ 故选D ‎　‎ ‎9．已知p：关于x的不等式|x﹣2|+|x+2|＞m的解集是R； q：关于x的不等式x2+mx+4＞0的解集是R．则p成立是q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【考点】绝对值不等式；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】p成立 等价于 m＜4，q成立 等价于﹣4＜m＜4，故由p成立不能推出q成立，但由q成立能推出p成立．‎ ‎【解答】解：|x﹣2|+|x+2|表示数轴上的x 到﹣2和2的距离之和，故其最小值为4，不等式|x﹣2|+|x+2|＞m的解集是R 等价于 m＜4，即 p成立 等价于 m＜4．‎ 关于x的不等式x2+mx+4＞0的解集是R等价于 判别式小于0，即 m2﹣16＜0，即﹣4＜m＜4．‎ 故由p成立不能推出q成立，但由q成立能推出p成立，故p成立是q成立的必要不充分条件，‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎10．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（　　）‎ A．增加了一项 B．增加了两项 C．增加了两项，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“++…+＞（n＞2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎=‎ 故选C ‎　‎ ‎11．已知函数g（x）是偶函数，f（x）=g（x﹣2），且当x≠2时其导函数f（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，若1＜a＜3，则（　　）‎ A．f（4a）＜f（3）＜f（log3a） B．f（3）＜f（log3a）＜f（4a）‎ C．f（log3a）＜f（3）＜f（4a） D．f（log3a）＜f（4a）＜f（3）‎ ‎【考点】导数的运算；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，结合函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵（x﹣2）f′（x）＞0，‎ ‎∴当x＞2时，f'（x）＞0，此时函数单调递增．‎ 当x＜2时，f'（x）＜0，此时函数单调递减．‎ ‎∵g（x）是偶函数，‎ ‎∴g（x）关于y轴对称，g（x）向右平移2个单位得到g（x﹣2），此时关于x=2对称，‎ ‎∵f（x）=g（x﹣2），‎ ‎∴f（x）关于x=2对称．在f（x）=f（4﹣x）‎ ‎∵1＜a＜3，‎ ‎∴4＜4a＜64，0＜log3a＜1，‎ 则3＜4﹣log3a＜4，‎ f（log3a）=f（4﹣log3a），‎ ‎∴3＜4﹣log3a＜4a，‎ 即f（3）＜f（4﹣log3a）＜f（4a），‎ ‎∴f（3）＜f（log3a）＜f（4a），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B．（） C．（，1） D．（，1）‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】根据题目给出的定义可得f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x 在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），‎ 满足f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，‎ ‎∵f（x）=x3﹣x2+a，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣2x，‎ ‎∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．‎ 令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）‎ 则，‎ 解得；．‎ ‎∴实数a的取值范围是（，1）‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题 ‎13．若异面直线a、b所成的角为60°，则过空间一点P且与a、b所成的角都为60°的直线有　3　条．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】将异面直线a，b平移到点P，结合图形可知，当使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线为∠EPD的角平分线时存在1条满足条件，则一共有3条满足条件．‎ ‎【解答】解：先将异面直线a，b平移到点P，‎ 则∠BPE=60°，∠EPD=120°，‎ 且∠BPE的角平分线与a和b的所成角为30°，‎ 而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为60°‎ ‎∵60°＞30°，‎ ‎∴当使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线为∠EPD的角平分线时存在1条满足条件，‎ ‎∴直线与a，b所成的角相等且等于60°有且只有3条，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=x3+x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为　（﹣2，）　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意得，函数的定义域是R，‎ 且f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣f（x），‎ 所以f（x）是奇函数，‎ 又f'（x）=3x2+1＞0，所以f（x）在R上单调递增，‎ 所以f（mx﹣2）+f（x）＜0可化为：f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），‎ 由f（x）递增知：mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，‎ 则对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，‎ 等价于对任意的m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，‎ 所以，解得﹣2＜x＜，‎ 即x的取值范围是（﹣2，），‎ 故答案为：（﹣2，）．‎ ‎　‎ ‎15．如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是　①②③　（填出所有可能的序号）．‎ ‎【考点】平行投影及平行投影作图法．‎ ‎【分析】根据平行投影的特点和正方体的性质，得到分别从正方体三个不同的角度来观察正方体，得到三个不同的投影图，逐个检验，得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知光线从上向下照射，得到③，‎ 光线从前向后照射，得到①‎ 光线从左向右照射得到②‎ 故答案为：①②③‎ ‎　‎ ‎16．定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：‎ ‎①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；‎ ‎②函数f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5的对称中心也是函数的一个对称中心；‎ ‎③存在三次函数h（x），方程h′（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0））为函数y=h（x）的对称中心；‎ ‎④若函数，则=﹣1007.5．‎ 其中正确命题的序号为　②③④　（把所有正确命题的序号都填上）．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断①③；分别求出函数f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5与函数的对称中心判断②；求出函数 的对称中心，可得g（x）+g（1﹣x）=﹣1，进一步求得=﹣1007.5判断④．‎ ‎【解答】解：∵任何三次函数的二阶导数都是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故①不正确；‎ 由f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5，得f′（x）=3x2﹣6x﹣3，f″（x）=6x﹣6，由6x﹣6=0，得x=1，函数f（x）的对称中心为（1，0），‎ 又由，得x=k，k∈Z，∴f（x）的对称中心是函数的一个对称中心，故②正确；‎ ‎∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，‎ ‎∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，即③正确；‎ ‎∵，‎ ‎∴g′（x）=x2﹣x，g''（x）=2x﹣1，‎ 令g''（x）=2x﹣1=0，得x=，‎ ‎∵g（）=×（）3﹣×（）2﹣=﹣，‎ ‎∴函数的对称中心是（，﹣），‎ ‎∴g（x）+g（1﹣x）=﹣1，‎ ‎∴=﹣1007.5，故④正确．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=90°，AB⊥侧面BB1CC1．‎ ‎（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；‎ ‎（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若AB=，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角．‎ ‎【分析】（1）求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角即可．‎ ‎（2）根据点的特殊位置设出点的坐标为E（1，y，0），再利用向量的基本运算证明两个向量垂直即可证明两条直线相互垂直．‎ ‎（3）结合题意求出两个平面的法向量求出两个法向量的夹角，再转化为两个平面的二面角即可．‎ ‎【解答】解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）‎ ‎（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，‎ 平面ABC的法向量，又，‎ 设BC1与平面ABC所成角为θ ‎，则．‎ ‎（2）设E（1，y，0），A（0，0，z），则，‎ ‎∵EA⊥EB1，‎ ‎∴‎ ‎∴y=1，即E（1，1，0）所以E为CC1的中点．‎ ‎（3）∵A（0，0，），则，‎ 设平面AEB1的法向量m=（x1，y1，z1），‎ 则∴，‎ 取m=（1，1，），‎ ‎∵，‎ ‎∴BE⊥B1E，又BE⊥A1B1∴BE⊥平面A1B1E，‎ ‎∴平面A1B1E的法向量，‎ ‎∴cos＜m，＞=，‎ ‎∴二面角A﹣EB1﹣A1为45°．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；‎ ‎（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1﹣．‎ ‎（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣（x＞0），‎ 因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，‎ 所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），‎ 即x+y﹣2=0‎ ‎（2）由f′（x）=1﹣=，x＞0知：‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；‎ ‎②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．‎ 又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．‎ 从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；‎ 当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．‎ ‎　‎ ‎19．设，g（x）=x3﹣x2﹣3．‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；‎ ‎（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；‎ ‎（3）如果对任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，最后用直线的斜截式表示即可；‎ ‎（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值，从而求出[g（x1）﹣g（x2）]max，求出M的范围；‎ ‎（3）当时，恒成立等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，利用导数研究h（x）的最大值即可求出参数a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=2时，，，f（1）=2，f'（1）=﹣1，‎ 所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣x+3；‎ ‎（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立 等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，‎ 考察g（x）=x3﹣x2﹣3，，‎ 由上表可知：，‎ ‎，‎ 所以满足条件的最大整数M=4；‎ ‎（3）当时，恒成立 等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，‎ 记h（x）=x﹣x2lnx，h'（x）=1﹣2xlnx﹣x，h'（1）=0．‎ 记m（x）=1﹣2xlnx﹣x，m'（x）=﹣3﹣2lnx，‎ 由于，m'（x）=﹣3﹣2lnx＜0，‎ 所以m（x）=h'（x）=1﹣2xlnx﹣x在上递减，‎ 当时，h'（x）＞0，x∈（1，2]时，h'（x）＜0，‎ 即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间上递增，在区间（1，2]上递减，‎ 所以h（x）max=h（1）=1，所以a≥1．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求θ的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设h（x）=，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．‎ ‎【考点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）由题意可知．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，结合θ∈（0，π），可以得到θ的值．‎ ‎（2）由题设条件知．mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知，由此可知m的取值范围．‎ ‎（3）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），．由此入手可以得到m的取值范围是．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，≥0在[1，+∞）上恒成立，即．‎ ‎∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1﹣1≥0，‎ 即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得．‎ ‎（2）由（1），得f（x）﹣g（x）=．‎ ‎∴．‎ ‎∵f（x）﹣g（x）在其定义域内为单调函数，‎ ‎∴mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2﹣2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即，‎ 而，（）max=1，∴m≥1．mx2﹣2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即 在[1，+∞）恒成立，而∈（0，1]，m≤0．‎ 综上，m的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．‎ ‎（3）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），．‎ 当m≤0时，x∈[1，e]，，，‎ 所以在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立．‎ 当m＞0时，．‎ 因为x∈[1，e]，所以2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，‎ 所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．‎ 故F（x）在[1，e]上单调递增，，只要，‎ 解得．‎ 故m的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎21．已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．‎ ‎（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在x0，使x0∈[，]且f（x0）≤g（x0）成立，求的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（I）根据已知求出h（x）=f（x）﹣g（x）的解析式，求出其导函数，分别求出导函数为正，为负时x的取值范围，进而可得h（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）根据区间的定义可得＜，由f（x0）≤g（x0），结合（I）中函数的单调性，分类讨论，最后综合讨论结果，可得的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+a﹣xlnb ‎∴h′（x）=lnx+1﹣lnb 由h′（x）＞0得x＞，‎ ‎∴h（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增．…‎ ‎（2）由＜得＜7 …‎ ‎（i）当≤≤，即≤≤时，‎ h（x）min=h（）=﹣+a 由﹣+a≤0得≥e，‎ ‎∴e≤≤ …‎ ‎（ii）当＜时，a＞‎ ‎∴h（x）在[，]上单调递增．‎ h（x）min=h（）=（ln﹣lnb）+a≥（ln﹣lnb）+a=＞=b＞0‎ ‎∴不成立 …‎ ‎（iii）当＞，即＞时，a＜b h（x）在[，]上单调递减．‎ h（x）min=h（）=（ln﹣lnb）+a＜（lnlnb）+a=＜=＜0‎ ‎∴当＞时恒成立 …‎ 综上所述，e≤＜7 …‎ ‎　‎