专题02+“构造函数”,巧求参数范围-2019年高考数学压轴题之函数零点问题

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专题02+“构造函数”,巧求参数范围-2019年高考数学压轴题之函数零点问题

专题二 “构造函数”,巧求参数范围 函数方程思想是一种重要的数学思想方法,函数问题可以利用方程求解,方程解的情况可借助于函数 的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体,主要考查以下三个方面:(1)零点所在区间—— 零点存在性定理;(2)二次方程根的分布问题;(3)判断零点的个数问题;(4)根据零点的情况确定参数 的值或范围;(5)根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中求参数范围问 题,构造函数,例题说法,高效训练. 【典型例题】 第一招 参变分离,构造函数 例 1.【2019 届高三第一次全国大联考】若函数 恰有三个零点,则 的取值范围为( ) A. B.( ) C. D.( ) 【答案】D 【解析】 当 时, 为减函数,令 易得 ,所以只需 有两个零 点,令 则问题可转化为函数 的图象与 的图象有两个交点.求导可得 ,令 ,即 ,可解得 ;令 ,即 ,可解得 , 所以当 时,函数 单调递减;当 时,函数 单调递增,由此可知当 时,函数 取得 最小值,即 .在同一坐标系中作出函数 与 的简图如图所示, 根据图可得 故选 D. 第二招 根据方程做差,构造函数 例 2.【东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三第一次模拟】已知 函数 ( 为自然对数的底数), . (1)当 时,求函数 的极小值; (2)若当 时,关于 的方程 有且只有一个实数解,求 的取值范围. 【答案】(1)0(2) 【解析】 (1)当 时, , , 令 则 列表如下: 1 单调递减 极小值 单调递增 所以 . (2)设 , , 设 , , 由 得, , , 在 单调递增, 即 在 单调递增, , ①当 ,即 时, 时, , 在 单调递增, 又 ,故当 时,关于 的方程 有且只有一个实数解,符合题意. ②当 ,即 时,由(1)可知 , 所以 ,又 故 ,当 时, , 单调递减,又 , 故当 时, , 在 内,关于 的方程 有一个实数解 1. 又 时, , 单调递增, 且 ,令 , , ,故 在 单调递增,又 在 单调递增,故 ,故 , 又 ,由零点存在定理可知, , 故在 内,关于 的方程 有一个实数解 . 又在 内,关于 的方程 有一个实数解 1,不合题意. 综上, . 第三招 求导转化,构造函数 例 3.【山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟】已知函数 . (1)设 ,求函数 的单调区间; (2)若函数 在其定义域内有两个零点,求实数 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为 ,无单调递减区间.(2) 【解析】 (1) 函数 的定义域为 , 令 ,则 令 ,得 ;令 ,得 所以函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. 所以 所以 对任意 恒成立, 所以 的单调递增区间为 ,无单调递减区间. (2)(法一): 的定义域为 , 所以“函数 在其定义域内有两个零点”等价于“方程 在区间 内有两个不同的实数根” 即方程 在区间 内有两个不同的实数根 故上述问题可以转化为函数 与函数 的图像在 上有两个不同的交点,如图 若令过原点且与函数 图像相切的直线斜率为 ,由图可得 令切点 由 ,得 ,所以 又 ,所以 ,解得: 于是 ,所以 故实数 的取值范围是 (法二) 的定义域为 , , 当 时, , 所以 在 单调递增,所以 在 不会有两个零点,不合题意, 当 时,令 ,得 , 在 上, , 在 上单调递增, 在 上, , 在 上单调递减, 所以 , 又 时, , 时, , 要使 有两个零点,则有 即 所以 所以 ,即实数 的取值范围为 . 第四招 换元转化,构造函数 例 4.【四川省高中 2019 届高三二诊】已知 . 求 的极值; 若 有两个不同解,求实数 的取值范围. 【答案】(1)有极小值,为 ;无极大值;(2) 【解析】 的定义域是 , , 令 ,解得: , 令 ,解得: , 故 在 递减,在 递增, 故 时, ; 记 , ,则 , 故 可转化成 ,即: , 令 , , 令 ,解得: , 令 ,解得: , 故 在 递增,在 递减, 且 时, , 时, 故 , 由 , , 的性质有: , 和 有两个不同交点 , ,且 , , 各有一解,即 有 2 个不同解, , 和 仅有 1 个交点 ,且 , 有 2 个不同的解,即 有两个不同解, 取其它值时, 最多 1 个解, 综上, 的范围是 【规律与方法】 构造函数的几种常用的构造技巧: 1.通过作差构造函数:作差构造新的函数,通过研究新函数的性质从而得出结论.当然,适合用这个方法 解的题目中,构造的函数要易于求导,易于判断导数的正负. 2.利用“换元法”构造函数,换元的目的是简化函数的形式. 3.先分离参数再构造函数,将方程变形为 m=h(x),构造函数 h(x),研究 h(x)的性质来确定实数 m 的取值范 围. 4.根据导函数的结构,构造函数. 【提升训练】 1.【福建省 2019 届备考关键问题指导适应性练习(四)】已知函数 , ,若关于 的方程 在区间 内有两个实数解,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 易知当 ≤0 时,方程只有一个解, 所以 >0.令 , , 令 得 , 为函数的极小值点, 又关于 的方程 = 在区间 内有两个实数解, 所以 ,解得 , 故选 A. 2.【河北省唐山市 2019 届高三下学期第一次模拟】设函数 , 有且仅有一个零点, 则实数 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵函数 ,有且只有一个零点, ∴方程 , ,有且只有一个实数根, 令 g(x)= , 则 g′(x)= ,当 时,g′(x) 0,当 时,g′(x) 0, ∴g(x)在 上单调递增,在 上单调递减,当 x= 时,g(x)取得极大值 g( )= , 又 g(0)= g( )=0,∴若方程 , ,有且只有一个实数根,则 a= 故选 B. 3. 【山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟】已知当 时,关于 的方程 有 唯一实数解,则 所在的区间是( ) A.(3,4) B.(4,5) C.(5,6) D.(6.7) 【答案】C 【解析】 由 xlnx+(3﹣a)x+a=0,得 , 令 f(x) (x>1),则 f′(x) . 令 g(x)=x﹣lnx﹣4,则 g′(x)=1 0, ∴g(x)在(1,+∞)上为增函数, ∵g(5)=1﹣ln5<0,g(6)=2﹣ln6>0, ∴存在唯一 x0∈(5,6),使得 g(x0)=0, ∴当 x∈(1,x0)时,f′(x)<0,当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0. 则 f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增. ∴f(x)min=f(x0) . ∵ ﹣4=0,∴ , 则 ∈(5,6). ∴a 所在的区间是(5,6). 故选:C 4.【天津市和平区 2019 届高三下学期第一次调查】已知函数 , 若 关于 的方程 恰有三个不相等的实数解,则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 关于 的方程 恰有三个不相等的实数解, 即方程 恰有三个不相等的实数解, 即 与 有三个不同的交点. 令 , 当 时, ,函数单调递减; 当 时, ,函数单调递增; 且当 时, , 当 时, , , 当 时, , 据此绘制函数 的图像如图所示, 结合函数图像可知,满足题意时 的取值范围是 . 本题选择 C 选项. 5.【安徽省合肥市 2019 届高三第二次检测】设函数 ,若函数 有三个 零点,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设 , 则 , 在 上递减,在 上递增, ,且 时, , 有三个零点等价于 与 的图象有三个交点, 画出 的图象,如图, 由图可得, 时, 与 的图象有三个交点, 此时,函数 有三个零点, 实数 的取值范围是 ,故选 D. 6.【江西省南昌市 2019 届高三第一次模拟】已知函数 ( 为自然对数的底数), ,直线 是曲线 在 处的切线. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)是否存在 ,使得 在 上有唯一零点?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理 由. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在 k=0 或 2. 【解析】 (Ⅰ) , 由已知,有 ,即 ,解得 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,则 令 ,则 恒成立, 所以 在 上单调递减,又因为 , , 所以存在唯一的 ,使得 ,且当 时, ,即 , 当 时, ,即 . 所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 又因为当 时, , , , , 所以存在 或 ,使得 在 上有唯一零点. 7.【山东省青岛市 2019 届高三 3 月一模】已知函数 , , 为自然对 数的底数. (1)当 时,证明:函数 只有一个零点; (2)若函数 存在两个不同的极值点 , ,求实数 的取值范围. 【答案】(1)详见解析;(2) . 【解析】 (1)由题知: , 令 , , 当 , ,所以 在 上单调递减. 因为 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 所以 ,故 只有一个零点. (2)由(1)知: 不合题意, 当 时,因为 , ; , ; 又因为 ,所以 ; 又因为 , 因为函数 , , , 所以 ,即 , 所以存在 ,满足 , 所以 , ; , ; , ; 此时 存在两个极值点 ,0,符合题意. 当 时,因为 , ; , ;所以 ; 所以 ,即 在 上单调递减, 所以 无极值点,不合题意. 综上可得: . 8.【陕西省咸阳市 2019 年高考模拟检测(二)】已知函数 . (1)当 ,求证 ; (2)若函数 有两个零点,求实数 的取值范围. 【答案】(1)见证明;(2) 【解析】 (1)证明:当 时, , 得 , 知 在 递减,在 递增, , 综上知,当 时, . (2)法 1:, ,即 , 令 ,则 , 知 在 递增,在 递减,注意到 , 当 时, ;当 时, , 且 , 由函数 有 个零点, 即直线 与函数 图像有两个交点,得 . 法 2:由 得, , 当 时, ,知 在 上递减,不满足题意; 当 时, ,知 在 递减,在 递增. , 的零点个数为 ,即 , 综上,若函数有两个零点,则 . 9.【湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】设函数 . (1)若 是 的极大值点,求 的取值范围; (2)当 , 时,方程 (其中 )有唯一实数解,求 的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)由题意,函数 的定义域为 ,则导数为 由 ,得 ,∴ ①若 ,由 ,得 . 当 时, ,此时 单调递增; 当 时, ,此时 单调递减. 所以 是 的极大值点 ②若 ,由 ,得 ,或 . 因为 是 的极大值点,所以 ,解得 综合①②: 的取值范围是 (2)因为方程 有唯一实数解,所以 有唯一实数解 设 ,则 , 令 ,即 . 因为 , ,所以 (舍去), 当 时, , 在 上单调递减, 当 时, , 在 单调递增 当 时, , 取最小值 则 ,即 , 所以 ,因为 ,所以 (*) 设函数 , 因为当 时, 是增函数,所以 至多有一解 因为 ,所以方程(*)的解为 ,即 ,解得 10.【普通高中 2019 届高三质量监测(二)】已知函数 . (1)讨论 的单调性; (2)若方程 有两个实数根,求实数 的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 (1)由题可得 , 当 时, , 在 上单调递增; 当 时, , , 在 上单调递增; , , 在 上单调递减. (2)令 , ,易知 单调递增且一定有大于 0 的零点,不妨设 为 , ,即 , , 故若有 有两个零点,需满足 , 即 , 令 , ,所以 在 上单调递减. ,所以 的解集为 , 由 ,所以 . 当 时, , 有 , 令 , 由于 ,所以 , , 故 ,所以 , 故 , 在 上有唯一零点,另一方面,在 上, 当 时,由 增长速度大,所以有 , 综上, . 11.【广东省汕头市 2019 年普通高考第一次模拟】已知 . (1)讨论 的单调性; (2)若 存在 3 个零点,求实数 的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 (1) 因为 ,由 ,得 或 .(i)当 时, , 在 和 上, , 单调递增; 在 上, , 单调递减, (ii)当 时, ,在 上, , 单调递增, (iii)当 时, , 在 和 上, , 单调递增; 在 上, , 单调递减, (2) , 所以 有一个零点 .要使得 有 3 个零点,即方程 有 2 个实数根, 又方程 ,令 ,即函数 与 图像有两个交点, 令 ,得 的单调性如表: 1 - - 0 + + ↘ ↘ 极小值 ↗ ↗ 当 时, ,又 , 的大致图像如图, 所以,要使得 有 3 个零点,则实数 的取值范围为 12.【山东省淄博市 2019 届高三 3 月模拟】已知函数 . (1)若 是 的极大值点,求 的值; (2)若 在 上只有一个零点,求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1) , 因为 是 的极大值点,所以 ,解得 , 当 时, , , 令 ,解得 , 当 时, , 在 上单调递减,又 , 所以当 时, ;当 时, , 故 是 的极大值点; (2)令 , , 在 上只有一个零点即 在 上只有一个零点, 当 时, , 单调递减;当 时, , 单调递增,所以 . (Ⅰ)当 ,即 时, 时, 在 上只有一个零点,即 在 上只 有一个零点. (Ⅱ)当 ,即 时,取 , , ①若 ,即 时, 在 和 上各有一个零点,即 在 上有 2 个零点, 不符合题意; ②当 即 时, 只有在 上有一个零点,即 在 上只有一个零点, 综上得,当 时, 在 上只有一个零 点.
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