数学理·四川省成都市彭州中学2017届高三上学期9月月考数学试卷（理科） Word版含解析

数学理·四川省成都市彭州中学2017届高三上学期9月月考数学试卷（理科） Word版含解析

‎2016-2017学年四川省成都市彭州中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．全集U=R，集合A={x|x2+2x≥0}，则∁UA=（　　）‎ A．[﹣2，0] B．（﹣2，0） C．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞） D．[0，2]‎ ‎2．已知i为虚数单位，则=（　　）‎ A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i ‎3．如果等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4+…+a9等于（　　）‎ A．21 B．30 C．35 D．40‎ ‎4．要得到函数y=sin（3x﹣2）的图象，只要将函数y=sin3x的图象（　　）‎ A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎5．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是（　　）‎ A．8cm3 B．12cm3 C．24cm3 D．72cm3‎ ‎7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n ‎8．某程序框图如图，当E=0.96时，则输出的K=（　　）‎ A．20 B．22 C．24 D．25‎ ‎9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（　　）‎ A． B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（）‎ ‎11．彭州中学计划给新高一某班安排一张课表，课表含语文、数学、外语、物理、化学、生物各一节，共6节课，要求语文、外语排在前三节，生物排在最后两节，物理、化学不相邻，则不同的排法共有（　　）‎ A．40种 B．48种 C．52种 D．60种 ‎12．已知函数f（x）=，函数g（x）=asin（）﹣2α+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[] B．（0，] C．[] D．[，1]‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知，则=　　．‎ ‎14．在（x﹣）8的二项展开式中，常数项为28，则实数a的值是　　．‎ ‎15．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=（a∈R），给出下列命题：‎ ‎①f（x）是R上的单调函数；②∃a∈R，使f（x）是奇函数； ③∃a∈R，使f（x）是偶函数；‎ ‎④a=1时， =f（﹣2016）+f（﹣2015）+…+f ‎　‎ 三.解答题（17-21每小题12分，22题10分共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．‎ ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．‎ ‎18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．‎ ‎19．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．‎ ‎（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．‎ ‎20．如图，椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点，‎ ‎（Ⅰ）求C1、C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求直线AB的方程．‎ ‎21．已知函数f（x）=（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．‎ ‎（1）当m=2时，求f（x）的极大值；‎ ‎（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；‎ ‎（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．‎ ‎（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都市彭州中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．全集U=R，集合A={x|x2+2x≥0}，则∁UA=（　　）‎ A．[﹣2，0] B．（﹣2，0） C．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞） D．[0，2]‎ ‎【考点】补集及其运算．‎ ‎【分析】求出集合A中一元二次不等式的解集，确定出集合A，根据全集U，求出集合A的补集即可．‎ ‎【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2+2x≥0}={x|x≤﹣2或x≥0}，‎ 所以∁UA={x|﹣2＜x＜0}，即∁UA=（﹣2，0）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．已知i为虚数单位，则=（　　）‎ A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】根据复数的四则运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解： =，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．如果等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4+…+a9等于（　　）‎ A．21 B．30 C．35 D．40‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由性质可得a5+a6+a7=3a6=15，解之可得a6．所以a3+a4+…+a9=7a6，代入计算可得．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得a5+a6+a7=3a6=15，‎ 解得a6=5．所以a3+a4+…+a9=7a6=35，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．要得到函数y=sin（3x﹣2）的图象，只要将函数y=sin3x的图象（　　）‎ A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】因为，根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．‎ ‎【解答】解：因为，‎ 所以只需将函数y=sin3x的图象向右平移个单位，即可得到y=sin（3x﹣2）的图象，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=0时直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．‎ ‎【解答】解：若两直线垂直，则当m=0时，两直线为y=2与x=﹣1，此时两直线垂直．‎ 当2m﹣1=0，即m=时，两直线为x=﹣4与3x+y+3=0，此时两直线相交不垂直．‎ 当m≠0且m时，两直线的斜截式方程为y=x﹣与y=．‎ 两直线的斜率为与，‎ 所以由得m=﹣1，‎ 所以m=﹣1是两直线垂直的充分不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是（　　）‎ A．8cm3 B．12cm3 C．24cm3 D．72cm3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】通过三视图复原的几何体，以及三视图的数据，直接求解几何体的体积．‎ ‎【解答】解：因为三视图复原的几何体是三棱锥，三棱锥的底面三角形是底为6，高为4的等腰三角形，‎ 三棱锥的高为3，‎ 所以三棱锥的体积为： =12 （cm3）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n ‎【考点】平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；‎ B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；‎ C、α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；‎ D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．‎ 故选 D．‎ ‎　‎ ‎8．某程序框图如图，当E=0.96时，则输出的K=（　　）‎ A．20 B．22 C．24 D．25‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由题意可知，该程序的作用是：求解当S=++…+≥0.96的K值，然后利用裂项求和即可求解．‎ ‎【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=++…+≥0.96的K值，‎ 而S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，‎ 由1﹣≥0.96，得k≥24，‎ 则输出的K=24．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】确定抛物线的焦点坐标，利用双曲线的性质，可得几何量的关系，从而可得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：抛物线的焦点坐标为．‎ 双曲线的右焦点为（c，0），‎ 则．渐近线为，‎ 因为一条渐近线的斜率为，‎ 所以，即，‎ 所以b2=2a2=c2﹣a2，即c2=3a2，‎ 即，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（　　）‎ A． B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（）‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．‎ ‎【解答】解：如图，作，则，t∥，‎ ‎∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：‎ 根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；‎ ‎∴AB⊥OB；‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．彭州中学计划给新高一某班安排一张课表，课表含语文、数学、外语、物理、化学、生物各一节，共6节课，要求语文、外语排在前三节，生物排在最后两节，物理、化学不相邻，则不同的排法共有（　　）‎ A．40种 B．48种 C．52种 D．60种 ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】由题意可以分四类，根据分类计数原理可得．‎ ‎【解答】解：第一类，语文和外语排在第一或第三节排，物理或化学排在第二节，生物排在最后两节，故有A22A21A21A22=16种，‎ 第二类，语文和外语排在第一或第三节排，数学排在第二节，则生物排在第五节，故有A22A22=4种，‎ 第三类，语文和外语排在第二或第三节排，物理或化学排在第一节，生物排在最后两节，故有A22A21A21A22=16种，‎ 第四类，语文和外语排在第二或第三节排，数学排在第一节，则生物排在第五节，故有A22A22=4种，‎ 根据分类计数原理，共有16+416+4=40种，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=，函数g（x）=asin（）﹣2α+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[] B．（0，] C．[] D．[，1]‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．‎ ‎【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=，值域是[0，1]，‎ 值域是，‎ ‎∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，‎ ‎∴，‎ 若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，‎ ‎∴a的取值范围是．‎ 故选A ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知，则=　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】根据α的范围，以及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而确定出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，‎ ‎∴sinα=﹣=﹣，‎ ‎∴tanα=，‎ 则tan（﹣α）===．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．在（x﹣）8的二项展开式中，常数项为28，则实数a的值是　±1　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】原式利用二次展开通项公式化简，根据常数项为28求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：根据（x﹣）8的二项展开通项公式Tr+1=C8•x8﹣r•（﹣）r=（﹣a）r•C8r•x8﹣r，‎ 令8﹣r=0，得到r=6，‎ 由常数项为28，得到（﹣a）6•C86=28，‎ 解得：a=±1，‎ 故答案为：±1‎ ‎　‎ ‎15．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由 我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内和圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：满足区域为△ABO内部（含边界），‎ 与圆x2+y2=2的公共部分如图中阴影扇形部分所示，‎ 则点P落在圆x2+y2=2内的概率概率为：‎ P===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=（a∈R），给出下列命题：‎ ‎①f（x）是R上的单调函数；②∃a∈R，使f（x）是奇函数； ③∃a∈R，使f（x）是偶函数；‎ ‎④a=1时， =f（﹣2016）+f（﹣2015）+…+f ‎【考点】函数的值；函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围判断①，根据函数的奇偶性判断②③，根据f（﹣x）+f（x）=﹣1，求出结论即可．‎ ‎【解答】解：①∵f（x）=，‎ ‎∴f′（x）=，‎ a+2＞0即a＞﹣2时，f′（x）＞0，f（x）递增，‎ a+2=0即a=﹣2时，f（x）=﹣2，是常函数，‎ a+2＜0即a＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）递减，‎ 故①错误；‎ ‎②f（﹣x）==﹣，‎ 故a=2时，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，‎ 故②正确，③错误，‎ ‎④a=1时，f（x）=，‎ ‎∴f（x）+f（﹣x）=﹣1，‎ ‎∴=f（﹣2016）+f（﹣2015）+…+f ‎17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．‎ ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（I）由已知条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，结合和角公式化简可求cosB，进一步可求B，‎ ‎（II）由（I）可得，由△ABC为锐角三角形，可得从而可得 A的范围，而sinA+sinC=sinA+sin（﹣A），利用差角公式及辅助角公式化简可得，从而可求．‎ ‎【解答】解：（I）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB．‎ 则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．‎ ‎∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，‎ ‎∴，又0＜B＜π，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由A+B+C=π及，得．‎ 又△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎．‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出四边形ABCD是等腰梯形，进而推导出AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACFE．‎ ‎（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，由题设条件推导出∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角，由此能求出二面角B﹣EF﹣D的平面角余弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∵∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形，…‎ 且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，‎ ‎∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°，‎ ‎∴AC⊥BC．…‎ 又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，‎ ‎∴BC⊥平面ACFE．…‎ ‎（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，‎ ‎∵AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．‎ ‎∴DE=DF，∴DG⊥EF，…‎ ‎∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，‎ 又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，‎ 又∵GH∥BF，∴EF⊥GH，‎ ‎∴∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角．…‎ 在△BDE中，DE=，DB=，BE==，‎ ‎∴BE2=DE2+DB2，∴∠EDB=90°，‎ ‎∴DH=，又DG=，GH=，…‎ ‎∴在△DGH中，由余弦定理得 cos，‎ ‎∴二面角B﹣EF﹣D的平面角余弦值为．…‎ ‎（注：若用空间向量解答，则酌情给分．）‎ ‎　‎ ‎19．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．‎ ‎（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；分层抽样方法；茎叶图；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（I）由茎叶图可知甲部门、乙部门的人选数，先算出每人被抽中的概率，根据抽取比例可算出甲部门、乙部门所抽取的人数，“至少有一名甲部门人被选中”的概率等于1减去其对立事件“没有一名甲部门人被选中”的概率；‎ ‎（II）依据题意，能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，通过计算即写出X的分布列，根据期望公式即可算出期望；‎ ‎【解答】解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，‎ 根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，‎ 所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，‎ 用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．‎ 因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；‎ ‎（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，‎ P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．‎ 因此，X的分布列如下：‎ 所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．‎ ‎　‎ ‎20．如图，椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点，‎ ‎（Ⅰ）求C1、C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，建立方程，求出几何量，即可求C1、C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线MA、MB的方程与y=x2﹣1联立，求得A，B的坐标，进而可表示S1，直线MA、MB的方程与椭圆方程联立，求得D，E的坐标，进而可表示S2，利用，即可求直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率为，‎ ‎∴a2=2b2，‎ 令x2﹣b=0可得x=±，‎ ‎∵x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，‎ ‎∴2=2b，‎ ‎∴b=1，‎ ‎∴C1、C2的方程分别为，y=x2﹣1； …‎ ‎（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x﹣1与y=x2﹣1联立得x2﹣k1x=0‎ ‎∴x=0或x=k1，∴A（k1，k12﹣1）‎ 同理可得B（k2，k22﹣1）…‎ ‎∴S1=|MA||MB|=•|k1||k2|…‎ y=k1x﹣1与椭圆方程联立，可得D（），‎ 同理可得E（） …‎ ‎∴S2=|MD||ME|=•• …‎ ‎∴‎ 若则解得或 ‎∴直线AB的方程为或…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．‎ ‎（1）当m=2时，求f（x）的极大值；‎ ‎（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；‎ ‎（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；‎ ‎（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；‎ ‎（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．‎ ‎【解答】解：（1）当m=2时，‎ ‎（x＞0）‎ 令f′（x）＜0，可得或x＞2；‎ 令f′（x）＞0，可得，‎ ‎∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增 ‎ 故 ‎（2）（x＞0，m＞0）‎ ‎①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；‎ x∈（m，1）时，f′（x）＞0‎ 此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增； ‎ ‎②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，‎ 此时f（x）在（0，1）上单调递减； ‎ ‎③当m＞1时，则，‎ 故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0‎ 此时f（x）在上单调递减，在单调递增 ‎ ‎（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）‎ 即 ⇒‎ ‎∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，‎ 又x1，x2，m＞0‎ ‎∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立 ‎ 令，则 对m∈[3，+∞）恒成立 ‎∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，‎ ‎∴‎ 故 从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”‎ ‎∴x1+x2的取值范围为 ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．‎ ‎（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极坐标为，知点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系．‎ ‎（2）由Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°），知到直线l：x﹣y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，‎ ‎∴曲线C的普通方程是，‎ ‎∵点P的极坐标为，‎ ‎∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），‎ 把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，‎ 得0﹣4+4=0，成立，‎ 故点P在直线l上．‎ ‎（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）‎ ‎∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：‎ ‎=，（0°≤α＜360°）‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎2016年10月22日