数学理卷·2018届山东省济南市高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届山东省济南市高二上学期期末考试（2017-01）

‎2016-2017学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合M={﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（　　）‎ A．{﹣1} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣3，3}‎ ‎2．命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为（　　）‎ A．若＞1，则lnx≤0 B．若≤1，则lnx＞0‎ C．若≤1，则lnx≤0 D．若lnx＞0，则＞1‎ ‎3．椭圆+=1的焦点坐标为（　　）‎ A．（±3，0） B．（±2，0） C．（0，±3） D．（0，±2）‎ ‎4．在等差数列{an}中，a4+a6=6，且a2=1，则公差d等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知球O的半径为R，体积为V，则“R＞”是“V＞36π”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 ‎6．双曲线﹣=1的焦距的最小值为（　　）‎ A． B．2 C．5 D．10‎ ‎7．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎8．若变量x，y满足约束条件，且z=仅在点A（﹣1，）处取得最大值，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，1）‎ ‎9．飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（　　）‎ A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）km C．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km ‎10．给出下列3个命题：‎ 命题p：若a2≥20，则方程x2+y2+ax+5=0表示一个圆．‎ 命题q：∀m∈（﹣∞，0），方程0.1x+msinx=0总有实数解．‎ 命题r：∃m∈（1，3），msinx+mcosx=3．‎ 那么，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∨r B．p∧（￢q） C．（￢q）∧（￢r） D．（￢p）∧q ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）.‎ ‎11．命题“∃x∈R，tanx≥0”的否定是　　．‎ ‎12．若点A（1，1），B（2，m）都是方程ax2+xy﹣2=0的曲线上，则m=　　．‎ ‎13．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有　　盏灯．‎ ‎14．已知x，y满足约束条件，若z=a（4x+2y）+b（a＞0，b＞0）的最大值为7，则+的最小值为　　．‎ ‎15．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠‎ BOC，则该双曲线的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，cosA=，sinB=，c＞4．‎ ‎（1）求b；‎ ‎（2）求△ABC的周长．‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足•=1，记动点M的轨迹为C．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+4与C交于P，Q两点，且|PQ|=6，求k的值．‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2sin2A+sin2B=sin2C．‎ ‎（1）若b=2a=4，求△ABC的面积；‎ ‎（2）求的最小值，并确定此时的值．‎ ‎19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．‎ ‎（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；‎ ‎（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．‎ ‎20．已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn．‎ ‎（1）若a1=8，b2=24，且对任意的n∈N*，总有=，求数列{nan]的前n项和Pn；‎ ‎（2）当n≤3时，bn﹣an=n，若数列{an}唯一，求Sn．‎ ‎21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞‎ ‎0）上一点到两焦点间的距离之和为2，直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若椭圆C上存在两个不同的点A，B，关于直线l：y=﹣（x+）对称．‎ ‎（i）求k的取值范围；‎ ‎（ii）求证：△AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合M={﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（　　）‎ A．{﹣1} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣3，3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出集合N的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，‎ ‎∵M={﹣3，﹣2，﹣1}，‎ ‎∴M∩N={﹣1}，‎ 故选：A ‎　‎ ‎2．命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为（　　）‎ A．若＞1，则lnx≤0 B．若≤1，则lnx＞0‎ C．若≤1，则lnx≤0 D．若lnx＞0，则＞1‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合否命题的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为命题：“若≤1，则lnx≤0”，‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．椭圆+=1的焦点坐标为（　　）‎ A．（±3，0） B．（±2，0） C．（0，±3） D．（0，±2）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由a2=11，b2=7，得c=，由此能求出焦点坐标．‎ ‎【解答】解：∵椭圆+=1中，‎ a2=11，b2=7，‎ ‎∴c=，‎ ‎∴焦点坐标为（0，±2）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．在等差数列{an}中，a4+a6=6，且a2=1，则公差d等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由已知结合等差数列的通项公式化为关于d的方程求解．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a6=6，且a2=1，‎ 得a2+2d+a2+4d=6，即2+6d=6，∴d=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知球O的半径为R，体积为V，则“R＞”是“V＞36π”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用球的体积计算公式与不等式的性质、充要条件的性质即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：∵R＞，∴＞=＞36π．‎ ‎∴“R＞”是“V＞36π”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．双曲线﹣=1的焦距的最小值为（　　）‎ A． B．2 C．5 D．10‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由题意，2c=2，即可求出双曲线﹣=1的焦距的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意，2c=2，‎ ‎∴双曲线﹣=1的焦距的最小值为2，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7‎ ‎∴x1+x2=5，‎ ‎∴A、B到y轴的距离之和为5，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．若变量x，y满足约束条件，且z=仅在点A（﹣1，）处取得最大值，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，1）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ z=的几何意义是区域内的动点P（x，y）到 定点D（a，0）的斜率，‎ 由图象知当﹣1≤a≤0时，DP的斜率没有最大值，‎ 当a≤﹣2时，DB的斜率最大，不满足条件．‎ 当﹣2＜a＜﹣1时，DA的斜率最大，此时满足条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（　　）‎ A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）km C．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥‎ AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度 ‎【解答】解：如图，∠A=18°，∠ACB=60°，‎ AB=1000×108×=30（km ）‎ ‎∴在△ABC中，BC==20sin18°‎ ‎∵CD⊥AD，‎ ‎∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°‎ 山顶的海拔高度=15﹣20sin18°sin78°km．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．给出下列3个命题：‎ 命题p：若a2≥20，则方程x2+y2+ax+5=0表示一个圆．‎ 命题q：∀m∈（﹣∞，0），方程0.1x+msinx=0总有实数解．‎ 命题r：∃m∈（1，3），msinx+mcosx=3．‎ 那么，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∨r B．p∧（￢q） C．（￢q）∧（￢r） D．（￢p）∧q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】命题p：由方程x2+y2+ax+5=0化为： +y2=﹣5表示一个圆，则﹣5＞0，a2＞20，即可判断出命题的真假．‎ 命题q：∀x∈R，0.1x＞0，∈[m，﹣m]，可知：∀m∈（﹣∞，0），方程0.1x+msinx=0总有实数解，即可判断出真假．‎ 命题r：由m∈（1，3），则msinx+mcosx=msin∈＜3，即可判断出真假．‎ ‎【解答】解：命题p：由方程x2+y2+ax+5=0化为： +y2=‎ ‎﹣5表示一个圆，则﹣5＞0，a2＞20，由a2≥20是方程x2+y2+ax+5=0表示一个圆的必要不充分条件，因此是假命题．‎ 命题q：∵∀x∈R，0.1x＞0，﹣msinx∈[m，﹣m]，可知：∀m∈（﹣∞，0），方程0.1x+msinx=0总有实数解，是真命题．‎ 命题r：若m∈（1，3），则msinx+mcosx=msin∈＜3，因此r是假命题．‎ 那么，下列命题为真命题的是：D．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）.‎ ‎11．命题“∃x∈R，tanx≥0”的否定是　∀x∈R，tanx＜0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．‎ ‎【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定为：‎ ‎∀x∈R，tanx＜0，‎ 故答案为：∀x∈R，tanx＜0‎ ‎　‎ ‎12．若点A（1，1），B（2，m）都是方程ax2+xy﹣2=0的曲线上，则m=　﹣1　．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】点A（1，1），B（2，m），代入方程ax2+xy﹣2=0，解方程组，即可求a、m的值．‎ ‎【解答】解：∵A（1，1），B（2，m）都在方程ax2+xy﹣2=0的曲线上，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=1，m=﹣1，‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎13．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有　195　盏灯．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，‎ 设塔的顶层灯的盏灯为x，则x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，‎ 可以得出塔的顶层和底层共有x+64x=195盏灯．‎ 故答案为：195．‎ ‎　‎ ‎14．已知x，y满足约束条件，若z=a（4x+2y）+b（a＞0，b＞0）的最大值为7，则+的最小值为　7　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由x，y满足约束条件，画出可行域：利用图象可知：当z=a（4x+2y）+b直线过（2，﹣1）时，z取得最大值7．得到6a+b=7．再利用基本不等式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：由x，y满足约束条件，画出可行域：‎ ‎∵a＞0，b＞0，z=a（4x+2y）+b，‎ ‎∴y=﹣2x+，其斜率﹣2＜0，在y轴上的截距为，‎ 由图象可知：当此直线过点（2，﹣1）时，z=a（4x+2y）+b取得最大值7．‎ 即6a+b=7．‎ ‎∴+=（+）（6a+b）=（37++）≥（37+2）=7，‎ 当且仅当a=b=1时取等号．‎ ‎∴+的最小值为7．‎ 故答案为：7‎ ‎　‎ ‎15．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，‎ ‎∴∠AOC=60°，‎ ‎∴C（b，2b），‎ 代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，‎ ‎∴c==a，‎ ‎∴e==，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，cosA=，sinB=，c＞4．‎ ‎（1）求b；‎ ‎（2）求△ABC的周长．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而由正弦定理可得b的值．‎ ‎（2）由已知及余弦定理可得c的值，即可得解△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：（1）∵a=4，cosA=，sinB=，‎ ‎∴sinA==，‎ ‎∴由正弦定理可得：b===5．‎ ‎（2）∵由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：16=25+c2﹣2×，‎ 整理可得：2c2﹣15c+18=0，解得：c=6或（由C＞4，舍去），‎ ‎∴△ABC的周长=a+b+c=4+5+6=15．‎ ‎　‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足•=1，记动点M的轨迹为C．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+4与C交于P，Q两点，且|PQ|=6，求k的值．‎ ‎【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）利用向量的数量积公式，求C的方程；‎ ‎（2）由题意，圆心到直线的距离d==，即可求k的值．‎ ‎【解答】解：（1）设M（x，y），则 ‎∵•=1，‎ ‎∴（﹣3﹣x，﹣y）•（3﹣x，﹣y）=1，‎ ‎∴x2+y2=10，即C的方程为x2+y2=10；‎ ‎（2）由题意，圆心到直线的距离d==，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2sin2A+sin2B=sin2C．‎ ‎（1）若b=2a=4，求△ABC的面积；‎ ‎（2）求的最小值，并确定此时的值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）2sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理可得2a2+b2=c2，b=2a=4，c=2，求出sinC，即可求△ABC的面积；‎ ‎（2）利用基本不等式求的最小值，并确定此时的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵2sin2A+sin2B=sin2C，‎ ‎∴由正弦定理可得2a2+b2=c2，‎ ‎∵b=2a=4，∴c=2，‎ ‎∴cosC==﹣，‎ ‎∴sinC=，‎ ‎∴△ABC的面积S==；‎ ‎（2）2a2+b2=c2≥2ab，‎ ‎∴≥2，即的最小值为2，‎ 此时b=a，c=2a， =2．‎ ‎　‎ ‎19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．‎ ‎（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；‎ ‎（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）将点（4，﹣4）代入抛物线y2=2px（p＞0）可得p值，利用抛物线的定义，求d+|MD|的最小值；‎ ‎（2）根据线段AB的中点为N（2，），利用点差法，求出直线斜率，可得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4），可得p=2，‎ 抛物线的准线方程为x=﹣1，‎ d+|MD|=|MF|+|MD|≥|DF|==，‎ ‎∴d+|MD|的最小值为；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 代入抛物线方程，两式相减得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），‎ ‎∴直线l的斜率k==6，‎ 故直线l的方程为y﹣=6（x﹣2），‎ 即18x﹣3y﹣35=0．‎ ‎　‎ ‎20．已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn．‎ ‎（1）若a1=8，b2=24，且对任意的n∈N*，总有=，求数列{nan]的前n项和Pn；‎ ‎（2）当n≤3时，bn﹣an=n，若数列{an}唯一，求Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）通过在=中分别令n=1、2，结合a1=8、b2=24，可得a2=72、b1=8，进而利用错位相减法计算即得结论；‎ ‎（2）通过bn﹣an=n（n≤3）整理可知a1q2﹣4a1q+3a1﹣1=0，对其根的判别式进行讨论即可．‎ ‎【解答】解：（1）依题意， ===1， ==，‎ 又∵a1=8，b2=24，‎ ‎∴a2=72，b1=8，‎ 又∵数列{an}、{bn}均为等比数列，‎ ‎∴an=8•9n﹣1，bn=8•3n﹣1，‎ ‎∴Pn=8（1•1+2•9+3•92+…+n•9n﹣1），‎ ‎9Pn=8[1•9+2•92+…+（n﹣1）•9n﹣1+n•9n]，‎ 两式相减得：﹣8Pn=8（1+9+92+…+9n﹣1﹣n•9n），‎ ‎∴Pn=n•9n﹣（1+9+92+…+9n﹣1）‎ ‎=n•9n﹣‎ ‎=+•9n；‎ ‎（2）依题意，b1=1+a1，b2=2+a2，b3=3+a3，‎ 设数列{an}的公比为q，则 ‎（2+a2）2=（1+a1）（3+a3），即（2+a1q）2=（1+a1）（3+a1q2），‎ 整理得：a1q2﹣4a1q+3a1﹣1=0，‎ 又∵数列{an}唯一，‎ ‎∴若上式为完全平方式，则：‎ 当△=﹣4a1（3a1﹣1）=4+4a1=0时，‎ 解得：a1=﹣1（舍）或a1=0（舍）；‎ 当△＞0，且a1q2﹣4a1q+3a1﹣1=0有一个零根和非零根时，‎ 由韦达定理可知：3a1﹣1=0，即a1=，此时q=4；‎ 当△＞0且两根都不为零时，但是若有一根可以使bn中有项为0，则与bn为等比数列矛盾，‎ 那么这样的话关于an的方程虽然两根都不为0，但使得bn中有0项的那个根由于与题目矛盾所以必须舍去，‎ 这样an也是唯一的，由此易求出a1=﹣，此时q=（舍）或；‎ ‎∴当a1=、q=4时，Sn==；‎ 当a1=﹣、q=时，Sn==．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上一点到两焦点间的距离之和为2，直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若椭圆C上存在两个不同的点A，B，关于直线l：y=﹣（x+）对称．‎ ‎（i）求k的取值范围；‎ ‎（ii）求证：△AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：2a=2，a=， =2，即=2，解得：b=1，即可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）（i）由题意可知：设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点P坐标，代入直线方程l方程，由△＞0，即可求得k的取值范围；‎ 由三角形的面积公式可知：S=丨m丨•丨x1﹣x2丨=，由基本不等式的性质，即可求得三角形面积的最大值，则椭圆的离心率，即可求证：△AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）上一点到两焦点间的距离之和为2，即2a=2，a=，‎ 由O到直线4x﹣3y+3=0距离d==，‎ 直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为，‎ 则=2，即=2，解得：b=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为：；‎ ‎（2）（i）由题意可知：直线l：y=﹣（x+）对称，则设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，整理得：（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2=0，‎ 由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=，‎ 根据题意：△=4k2m2﹣4（2+k2）（m2﹣2）=8（k2﹣m2+2）＞0，‎ 设线段AB的中点P（x0，y0），则x0==﹣，y0=kx0+m=，‎ ‎∵点P在直线y=﹣（x+）上， =﹣（﹣+），‎ ‎∴m=﹣，代入△＞0，可得3k4+4k2﹣4＞0，‎ 解得：k2＞，则k＜﹣或k＞，‎ 直线AB与y轴交点横坐标为m，‎ ‎（ii）证明：△AOB面积S=丨m丨•丨x1﹣x2丨=•丨m丨•=，‎ 由基本不等式可得：m2（k2﹣m2+2）≤（）2=，‎ ‎∴△AOB面积S≤×=，当且仅当m2=k2﹣m2+2，即2m2=k2+2，‎ 又∵m=﹣，解得：k=±，‎ 当且仅当k=±时，△AOB面积取得最大值为．‎ 由椭圆C的方程为：的离心率e==，‎ ‎∴△AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率．‎ ‎　‎ ‎2017年2月1日