2017-2018学年重庆市大学城第一中学校高二下学期半期考试数学（文）试题（Word版）

2017-2018学年重庆市大学城第一中学校高二下学期半期考试数学（文）试题（Word版）

2017-2018 学年重庆市大学城第一中学校高二下学期半期考试试 题 学科：数学文科 命题人：袁玲玲 审题人：吴家全 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|3x＞1}，则 A∩B=（　　） A．（1，2） B．（1，3） C．（0，2） D．（0，3） 2．若（a﹣2+2ai）i 为实数（其中 a∈R，i 为虚数单位），则| |=（　　） A．5 B．1 C．2 D． 3．f（x）= 则 f[f（ ）]=（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．9 D． 4．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，收集数据 如下： 零件数 x（个） 10 20 30 40 50 加工时间 y（分钟） 64 69 75 82 90 由表中数据，求得线性回归方程为 =0.65x+ ，根据回归方程，预测加工 70 个零件所花费的时间 为（　　）分钟． A．101 B．102 C．103 D．104 5．已知 a= ，b=log2 ，c=log ，则（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　） A．2+ B．4+ C．2+2 D．5 7．如图，在半径为 R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（　　） A． B． C． D． 8．若执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为 3，则判断框中应填入的条件是（　　） A．k＜6？ B．k＜7？ C．k＜8？ D．k＜9？ 9．函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（其中 A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象如图所示，为了得到 y=cos2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 10．若 x，y 满足 且 z=y﹣x 的最小值为﹣2，则 k 的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 11．椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1﹣x 交于 A、B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 12．已知函数 f（x）= （a＞0，且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方 程|f（x）|=2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（　　） A．（0， ] B．[ ， ] C．[ ， ]∪{ } D．[ ， ）∪{ } 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足为 P，且 AP=3，则 =　 　． 14．求值：tan20°+tan40°+ tan20°tan40°=　 　． 15．若{an}，{bn}满足 anbn=1， ，则{bn}的前 2018 项和为　 　． 16．已知△ABC 中，设 a，b，c，分别为∠A，∠B，∠C 的对边长，AB 边上的高与 AB 边的长相等， 则 的最大值为　 　．　 三．解答题：本大题共 6 个小题，17 题 10 分，其余各题 12 分 17．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且 a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13． （Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 n 项和 Sn． 18．某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况， 从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计．请根据下面尚未 完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第 1 组 [50，60） 8 0.16 第 2 组 [60，70） a 0.32 第 3 组 [70，80） 20 0.40 第 4 组 [80，90）[] 4 0.08 第 5 组 [90，100] 2 b 合计 50 1 （1）写出 a，b，x，y 的值； （2）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加 环保知识的志愿宣传活动． （ⅰ）求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率； （ⅱ）求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率． 19．如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 BC，CC1 的中点， （Ⅰ）证明：平面 AEF⊥平面 B1BCC1； 0.016 （Ⅱ）若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°，求三棱锥 F﹣AEC 的体积． 20．如图，椭圆 E： + =1（a＞b＞0）经过点 A（0，﹣1），且离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A），证明：直 线 AP 与 AQ 斜率之和为 2． 21．已知函数 f（x）= +x 在 x=1 处的切线方程为 2x﹣y+b=0． （Ⅰ）求实数 a，b 的值； （Ⅱ）若函数 g（x）=f（x）+ x2﹣kx，且 g（x）是其定义域上的增函数，求实数 k 的取值范围． （请考生从 22-23 题中任选一题作答） 22．已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 （t 是参数） （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|AB|= ，求直线的倾斜角 α 的值． 23．已知函数 f（x）=|x﹣a|． （1）若不等式 f（x）≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若 f（x）+f（x+5）≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围． 　 大一中 17—18 学年度高 2019 届半期考试试题答案 　 一．选择题 1--6 DDCBCC 7--12 DCCBAC 二.填空题 13. 18 14. 15. 　 16. 2 　 三．解答题 17．解：（Ⅰ）设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，则依题意有 q＞0 且 解得 d=2，q=2． 所以 an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=qn﹣1=2n﹣1． （Ⅱ） ， ，① Sn= ，② ①﹣②得 Sn=1+2（ + +…+ ）﹣ ， 则 = = = ． 18.解：（1）由题意可知，a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004．…（4 分） （2）（ⅰ）由题意可知，第 4 组共有 4 人，记为 A，B，C，D，第 5 组共有 2 人，记为 X，Y． 从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学， 有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共 15 种情 况．…（6 分） 设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E，…（7 分） 有 AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY 共 9 种情况． …（8 分） 所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P（E）= = ． 答：随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率 ．…（10 分） （ⅱ）设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F，有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY 共 7 种情况．…（11 分） 所以 P（F）= ． 答：随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 ．…（12 分）] 19.（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面 ABC，AE⊂底面 ABC，∴AE⊥BB1， ∵直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，E 分别是 BC 的中点， ∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面 B1BCC1， ∵AE⊂平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 B1BCC1； （Ⅱ）解：取 AB 的中点 G，连结 A1G，CG，由（Ⅰ）可知 CG⊥平面 A1ABB1， 直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°，就是∠CA1G，则 A1G=CG= ， ∴AA1= = ，CF= ． 三棱锥 F﹣AEC 的体积： × = = ． 20．解：（Ⅰ）由题设知， = ，b=1， 结合 a2=b2+c2，解得 a= ， 所以 +y2=1； （Ⅱ）证明：由题意设直线 PQ 的方程为 y=k（x﹣1）+1（k≠0）， 代入椭圆方程 +y2=1， 可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0， 由已知得（1，1）在椭圆外， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0， 则 x1+x2= ，x1x2= ， 且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得 k＞0 或 k＜﹣2． 则有直线 AP，AQ 的斜率之和为 kAP+kAQ= + = + =2k+（2﹣k）（ + ）=2k+（2﹣k）• =2k+（2﹣k）• =2k﹣2（k﹣1）=2． 即有直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2． 21．解：（Ⅰ）∵f（x）= +x， ∴f′（x）= +1， ∵f（x）在 x=1 处的切线方程为 2x﹣y+b=0， ∴ +1=2，2﹣1+b=0， ∴a=1，b=﹣1； （Ⅱ）f（x）=lnx+x，g（x）= x2﹣kx+lnx+x， ∴g′（x）=x﹣k+ +1， ∵g（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数， ∴g′（x）≥0 在其定义域上恒成立， ∴x﹣k+ +1≥0 在其定义域上恒成立， ∴k≤x+ +1 在其定义域上恒成立， 而 x+ +1≥2 +1=3，当且仅当 x=1 时“=”成立， ∴k≤3． 　 22.解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2， ∴曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ 可化为： ρ2=4ρcosθ， ∴x2+y2=4x， ∴（x﹣2）2+y2=4． （2）将 代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4 得： （tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4， 化简得 t2﹣2tcosα﹣3=0． 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2， 则 ， ∴|AB|=|t1﹣t2|= = ， ∵|AB|= ， ∴ = ． ∴cos ． ∵α∈[0，π）， ∴ 或 ． ∴直线的倾斜角 或 ． 23.解：（1）由 f（x）≤3 得|x﹣a|≤3， 解得 a﹣3≤x≤a+3． 又已知不等式 f（x）≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5}， 所以 解得 a=2．（6 分） （2）当 a=2 时，f（x）=|x﹣2|． 设 g（x）=f（x）+f（x+5）， 于是 所以当 x＜﹣3 时，g（x）＞5； 当﹣3≤x≤2 时，g（x）=5； 当 x＞2 时，g（x）＞5． 综上可得，g（x）的最小值为 5． 从而，若 f（x）+f（x+5）≥m 即 g（x）≥m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为（﹣∞，5]．（12 分）