2020届高三数学下学期第四次诊断考试试题 文（新版）新人教版

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‎2019届高三第四次诊断考试文科数学试题 第I卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知向量若，则实数的值为（ ）‎ A.-8 B.-6 C.-1 D.6‎ ‎4．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知， ，那么是“ ”的（ ）‎ ‎. 充分不必要条件 . 必要不充分条件 ‎ ‎. 充要条件 . 既不充分也不必要条件 ‎6. 圆O：上到直线l：的距离等于1的点恰好有4个，则a的取值范围为(　 )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．‎ 10‎ 公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n的值为 ( ) ‎ ‎(参考数据:sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305)‎ A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 ‎ ‎8．设，满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D ‎9.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ‎ A. B． C． D．‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别为、，若上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C.2 D．3‎ ‎11.在锐角三角形中，，，分别为内角，，的对边，已知，，，则的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知定义在上的函数的导函数为，且，设，，则，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 10‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13． F是抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在抛物线的准线上，若则______‎ ‎14．已知函数，若，，且，则的最小值为____________‎ ‎15.已知是函数图象上的一个最低点，，是与相邻的两个最高点，若，则该函数最小正周期是 ____________ ‎ ‎16已知定义在上的函数满足：函数的图象关于点对称，且时恒有，当时，，则__________‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，.‎ ‎（1）求证数列为等比数列；‎ ‎（2）已知，求数列的前项和.‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 近日,某市举行了教师选拔考试(既有笔试又有面试),该市教育局对参加该次考试的50名教师的笔试成绩(单位:分)进行分组,得到的频率分布表如下:‎ 10‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎[50,60)‎ ‎5‎ ‎0.1‎ 第二组 ‎[60,70)‎ ‎15‎ ‎0.3‎ 第三组 ‎[70,80)‎ x z 第四组 ‎[80,90)‎ ‎10‎ ‎0.2‎ 第五组 ‎[90,100]‎ y ‎0.1‎ 合计 ‎50‎ ‎1.0‎ ‎ (1)求频率分布表中x,y,z的值,并补充频率分布直方图;‎ ‎ (2)估计参加考试的这50名教师的笔试成绩的平均数 ‎(3)若该市教育局在分数较高的第三、四、五组中,按分层抽样的方法抽取6名教师,现从这6名教师中抽取3名教师进行面试,求抽到的教师都不来自第四组的概率.‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，，，， C A B D E ．‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎ （2）当三棱锥的体积等于时，求四棱锥.‎ 的表面积．‎ ‎20. （本题满分12分）‎ 10‎ 已知，，点是动点，且直线和直线的斜率之积为.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，且，求证：.‎ ‎21. （本题满分12分）‎ 已知函数（，）．‎ ‎（1）若在上单调递减，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，判断关于的方程的解得个数．‎ 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，)以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线.‎ ‎(1)若直线与曲线相交于点，证明：为定值；‎ ‎(2)将曲线上的任意点作伸缩变换后，得到曲线上的点，求曲线的内接矩形周长的最大值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．‎ 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若直线与函数的图象有公共点,求的取值范围. ‎ 10‎ ‎2019届高三第四次模拟文科数学试题参考答案 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D B D B B C A C B A A 二．填空题：13 . 14. . 15. 6 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17．（1）∵,∴.‎ 两式作差得：，‎ 所以：，即.-----------------5分 又当时：，∴成立；‎ 所以数列是公比为2，首项为2的等比数列，--------6分 ‎(2)由（1）可得：.，-----8分 ‎， ----------------------10分 ‎∴.--------12分 ‎18. (1)由频率分布表可得,, ‎ 解得. -----------------3分 ‎ 补全的频率分布直方图如下: -----------------4分 10‎ ‎(2)估计参加考试的这50名教师的笔试成绩的平均数为 ‎(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74. -----------------7分 ‎ ‎(3)由(1)知,第三、四、五组的教师的人数分别为15、10、5,按分层抽样的方法,各组抽取的人数分别为3,2,1. -----------------8分 记第三组中的3人分别为a1,a2,a3,第四组中的2人分别为b1,b2,第五组中的1人为c,则抽取3人的所有情况为{a1,a2,a3},{a1,a2,b1},{a1,a2,b2},{a1,a2,c},{a1,a3,b1},{a1,a3,b2},{a1,a3,c},{a1,b1,b2},{a1,b1,c},{a1,b2,c},{a2,a3,b1},{a2,a3,b2},{a2,a3,c},{a2,b1,b2},{a2,b1,c},{a2,b2,c},{a3,b1,b2},{a3,b1,c},{a3,b2,c},{b1,b2, c},共20种; -----------------10分 ‎ 记“抽到的教师都不来自第四组”为事件M,则M包含的情况为{a1,a2,a3},{a1,a2,c},{a1,a3,c},{a2,a3,c},共4种. -----------------11分 ‎ 所以抽到的教师都不来自第四组的概率为P(M)=. -----------------12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（1）解：取的中点，连结，‎ ‎ 则直角梯形中，， ‎ ‎ 即： ‎ 平面，平面 ‎ ‎ ‎ 又 -----------------6分 （2） 解：‎ 10‎ ‎ -----------------8分 ‎ ‎ ，，‎ ‎ 又 -----------------10分 ‎ ‎ 四棱锥的表面积为 ‎-----------------12分 ‎20.解：（1）设，则依题意得，又，，所以有 ‎，-----------------2分 整理得，即为所求轨迹方程. -----------------4分 ‎（2）设直线：，与联立得 ‎，即，‎ 依题意，即，‎ ‎∴，得，-----------------8分 ‎∴，而，得，又，‎ 又，则.知，‎ 即.-----------------12分 ‎21.解：（1），‎ 由题在恒成立，，即，‎ 设，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，．-----------------6分 ‎（2），即，其中，‎ 10‎ ‎∴，，‎ 令，，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，由，‎ 又，所以存在，使在上满足，‎ 在上满足，即在上单调递减，在上单调递增，‎ 由，→时，→，‎ 所以当，时，有一个解，‎ ‎∴只有一个解．-----------------12分 ‎22．(1)曲线.‎ ‎， ‎ ‎ .‎ ‎. -----------------5分 ‎(2)伸缩变换后得.其参数方程为：.‎ 不妨设点在第一象限，由对称性知：‎ 周长为 ‎，(时取等号)周长最大为. -----------------10分 ‎23(1)由,得或或,‎ 解得,故不等式的解集为. -----------------5分 10‎ ‎(2),‎ 作出函数的图象,如图所示,‎ 直线过定点,‎ 当此直线经过点时,;当此直线与直线平行时,.‎ 故由图可知,. -----------------10分 10‎