数学卷·2018届湖北省荆州中学高二下学期5月段测数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届湖北省荆州中学高二下学期5月段测数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年湖北省荆州中学高二（下）5月段测数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知α，β是空间中两个不同的平面，l为平面β内的一条直线，则“l∥α”是“α∥β”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为（　　）‎ A．1 B． C．5 D．9‎ ‎3．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（　　）‎ A．男生2人，女生6人 B．男生3人，女生5人 C．男生5人，女生3人 D．男生6人，女生2人 ‎4．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（　　）‎ A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4‎ ‎6．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（　　）‎ A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8‎ ‎7．已知p：“∀x＞0，有lnx+1≤x＜ex成立”，q：“十进制数2017转化为八进制数为1473（8）”，则下列命题为真的是（　　）‎ A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎8．设函数f（x）=（x+a）n，其中n=6cosxdx， =﹣3，则f（x）的展开式中x4的系数为（　　）‎ A．﹣360 B．360 C．﹣60 D．60‎ ‎9．某人订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，他离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，则他离开家前能得到报纸的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．给出下列四个结论：‎ ‎①若n组数据（x1，y1）…（xn，yn）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1；‎ ‎②由直线x=，x=2，曲线y=及x轴围成的图形的面积是2ln2；‎ ‎③已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；‎ ‎④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2个单位．‎ 其中错误结论的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B1、B2，F2为右焦点，延长B2F2与A2B1交于点P，若∠B2PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣） B．（） C．（） D．（）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎13．=　 　．‎ ‎14．已知x，y满足约束条件，求z=（x+1）2+（y﹣1）2的最小值是　 　．‎ ‎15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐进线平行，并交抛物线于A、B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为　 　．‎ ‎16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）+f（2﹣x）=4，设f（x）的导函数为f′（x），∀x∈R总有f′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞2ex+3的解集为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎18．（12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：‎ 日车流量x ‎0≤x＜5‎ ‎5≤x＜10‎ ‎10≤x＜15‎ ‎15≤x＜20‎ ‎20≤x＜25‎ x≥25‎ 频率 ‎0.05‎ ‎0.25‎ ‎0.35‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0‎ 将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；‎ ‎（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列、数学期望以及方差．‎ ‎19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥PB；‎ ‎（Ⅱ）若AD=，AB=BC=2，Q为AC的中点，求PA的长度以及二面角Q﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎20．（12分）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴两端点为B1（0，﹣1）、B2（0，1），离心率e=，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P和B2P分别与x轴相交于M，N两点，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程和|OM|•|ON|的值；‎ ‎（Ⅱ）若点M坐标为（1，0），过M点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试求△ABN面积的最大值．‎ ‎21．（12分）已知f（x）=．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）令g（x）=ax2﹣2lnx，则g（x）=1时有两个不同的根，求a的取值范围；‎ ‎（3）存在x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，使|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．‎ ‎（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省荆州中学高二（下）5月段测数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知α，β是空间中两个不同的平面，l为平面β内的一条直线，则“l∥α”是“α∥β”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：根据面面平行的性质，由α∥β，l为平面β内的一条直线，得到l∥α，‎ 当l∥α，则α∥β或相交，‎ 故“l∥α”是“α∥β”的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查充要条件的判断，涉及空间直线与平面的位置关系，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为（　　）‎ A．1 B． C．5 D．9‎ ‎【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ=2，‎ P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），‎ 则：，解得a=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查正态分布的基本性质是应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（　　）‎ A．男生2人，女生6人 B．男生3人，女生5人 C．男生5人，女生3人 D．男生6人，女生2人 ‎【考点】D8：排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】设出男学生有x人，根据一共有8人得到女学生有8﹣x人，根据从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，得到关于x的等式Cx2C8﹣x1A33=90，解出x即可．‎ ‎【解答】解：设男学生有x人，则女学生有8﹣x人，‎ 从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、‎ 物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案 ‎∴Cx2C8﹣x1A33=90，‎ ‎∴x（x﹣1）（8﹣x）=30=2×3×5，‎ ‎∴x=3‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查排列组合数的实际应用，是一个综合题，解题时思考方法同一般的排列组合一样，根据题意列出等式，得到结果．‎ ‎　‎ ‎4．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】B3：分层抽样方法．‎ ‎【分析】先计算抽样比f，再求出A类学校应该抽取多少人，由此能求出A类学校中的学生甲被抽到的概率．‎ ‎【解答】解：抽样比f==，‎ ‎∴A类学校应该抽取2000×=200，‎ ‎∴A类学校中的学生甲被抽到的概率为P==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查分层抽样的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（　　）‎ A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．‎ ‎【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（ 2）2x=12.6，x=1.6．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，确定直观图是关键．‎ ‎　‎ ‎6．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（　　）‎ A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8‎ ‎【考点】EF：程序框图．‎ ‎【分析】运行程序框图，确定条件．‎ ‎【解答】解：如图：‎ K ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ s ‎1‎ ‎11‎ ‎20‎ 可知，10，9时条件成立，8时不成立．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图中条件的确定，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．已知p：“∀x＞0，有lnx+1≤x＜ex成立”，q：“十进制数2017转化为八进制数为1473（8）”，则下列命题为真的是（　　）‎ A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎【考点】2E：复合命题的真假．‎ ‎【分析】p：令f（x）=x﹣lnx（x＞0），则f′（x）=，可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）≥f（1）=1＞0，可得x＞lnx．令g（x）=ex﹣x，（x＞0），同理可得ex＞x．即可判断出真假．‎ q：如图所示，“十进制数2017转化为八进制数为3741（8）”，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．‎ ‎【解答】解：p：令f（x）=x﹣lnx（x＞0），则f′（x）=1﹣=，可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）≥f（1）=1＞0，∴x＞lnx．令g（x）=ex﹣x，（x＞0），同理可得ex＞x．因此“∀x＞0，有lnx+1≤x＜ex成立”，是真命题．‎ q：如图所示，“十进制数2017转化为八进制数为3741（8）”，因此为假命题．‎ 则下列命题为真的是p∨（￢q）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、进位制、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．设函数f（x）=（x+a）n，其中n=6cosxdx， =﹣3，则f（x）的展开式中x4的系数为（　　）‎ A．﹣360 B．360 C．﹣60 D．60‎ ‎【考点】DC：二项式定理的应用；69：定积分的简单应用．‎ ‎【分析】求出积分式的值得到n，利用=﹣3，求出a，然后求出二项式中所求项的系数．‎ ‎【解答】解：因为n=6cosxdx=6sinx=6，‎ ‎∵=﹣3，f（0）=a6，f′（0）=C65a5=6a5，‎ 所以，所以a=﹣2，‎ 所以f（x）=（x﹣2）6的展开式中x4的系数为：C6222=60．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查积分、导数、二项式定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎9．某人订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，他离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，则他离开家前能得到报纸的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】CF：几何概型．‎ ‎【分析】设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案 ‎【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件A；‎ 以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，‎ 小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：‎ 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．‎ 根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A发生，‎ 所以P（A）=；‎ 故选：D ‎【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出x、y，将（x，y）以及事件A在平面直角坐标系中表示出来，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．给出下列四个结论：‎ ‎①若n组数据（x1，y1）…（xn，yn）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1；‎ ‎②由直线x=，x=2，曲线y=及x轴围成的图形的面积是2ln2；‎ ‎③已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；‎ ‎④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2个单位．‎ 其中错误结论的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】2K：命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①根据相关系数的定义，即可判断是否正确；‎ ‎②利用定积分的几何意义将所求首先利用定积分表示，然后计算；‎ ‎③根据正态分布的对称性，可判断是否正确；‎ ‎④根据回归直线方程回归系数的意义，即可得出正确的结论．‎ ‎【解答】解：对于①，若n组数据（x1，y1）…（xn，yn）的散点都在y=﹣2x+1上，‎ 则x，y成负相关，且相关关系最强，此时相关系数r=﹣1，①正确；‎ 对于②，由直线x=，x=2，曲线y=及x轴围成的图形的面积是 S=dx=lnx=2ln2，②正确；‎ 对于③，∵P（ξ≤4）=0.79，‎ ‎∴P（ξ≥4）=1﹣0.79=0.21，‎ 又∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），‎ ‎∴P（ξ≤﹣2）=（ξ≥4）=0.21，③正确；‎ 对于④，根据回归直线方程=2﹣2.5x知，‎ 当变量x增加一个单位时，平均减少2.5个单位，④错误；‎ 综上，其中错误结论有1个．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了命题的真假判断与应用问题，是综合题．‎ ‎　‎ ‎11．椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B1、B2，F2为右焦点，延长B2F2与A2B1交于点P，若∠B2PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】K4：椭圆的简单性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】由题意画出图形，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，再由∠B2PA2为钝角，可得与的夹角为锐角，利用数量积大于0，结合隐含条件可得椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：如图所示，∠B1PB2为与的夹角．‎ 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，‎ ‎=（﹣a，b），=（﹣c，﹣b），‎ ‎∵∠B2PA2为钝角，‎ ‎∴与的夹角为锐角，‎ ‎∴=ac﹣b2＞0，‎ 又∵b2=a2﹣c2，‎ ‎∴a2﹣ac﹣c2＜0．‎ 两边除以a2得1﹣e﹣e2＜0，‎ 即e2+e﹣1＞0，‎ 解得e＜（舍）或e＞，‎ 又∵0＜e＜1，‎ ‎∴＜e＜1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，解题时利用向量的数量积大于0建立不等式，求出正确的结论，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣） B．（） C．（） D．（）‎ ‎【考点】3O：函数的图象．‎ ‎【分析】由题意可得ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意可得：‎ 存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），‎ 即ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，‎ ‎∵当x趋近于负无穷大时，ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，‎ 且函数h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，‎ ‎∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，‎ ‎∴lna＜ln，‎ ‎∴a＜，‎ ‎∴a的取值范围是（﹣∞，），‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎13．=　　．‎ ‎【考点】67：定积分．‎ ‎【分析】根据定积分的计算法则和定积分的几何意义计算即可．‎ ‎【解答】解： dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的一半，即dx=，‎ sinxdx=﹣cosx|=0，‎ 故=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查了定积分计算和定积分的几何意义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知x，y满足约束条件，求z=（x+1）2+（y﹣1）2的最小值是　　．‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义以及距离公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，1）的距离的平方，‎ 由图象知，D到直线AB：x﹣y+1=0的距离最小，‎ 此时d==，‎ 则z=d2=（）2=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐进线平行，并交抛物线于A、B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为　y2=2x　．‎ ‎【考点】KI：圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】根据抛物线的定义和双曲线的定义，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0）得到|AF|=x0+，表示出x0，y0，代入到抛物线的解析式，求出p的值，需要验证．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，‎ 双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=x，‎ 由于过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，‎ 并交抛物线于A，B两点，‎ 不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0），‎ ‎∴|AF|=x0+，‎ ‎∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，‎ ‎∴x0=2﹣，x0＞，‎ ‎∴0＜p＜2‎ ‎∴y0=（2﹣p），‎ ‎∴3（2﹣p）2=2p（2﹣），‎ 整理得p2﹣4p+3=0，‎ 解的p=1或p=3（舍去），‎ 故抛物线的方程为y2=2x，‎ 故答案为：y2=2x．‎ ‎【点评】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线和双曲线的定义和性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）+f（2﹣x）=4，设f（x）的导函数为f′（x），∀x∈R总有f′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞2ex+3的解集为　{x丨x＜﹣3}　．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由题意可知：根据函数的奇偶性求得f（x）=f（x+4），则函数f（x）为周期为4的函数，f（3）=f（﹣1），即可求得f（﹣3）=f（3）=2，构造辅助函数，求导，由题意可知：g（x）=单调递减，则不等式转化成＞2e3=，根据函数的单调性即可求得不等式的解集．‎ ‎【解答】解：f（x）+f（2﹣x）=4，则f（﹣1）+f（3）=4，‎ 由函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），‎ 则f（﹣x）+f（2﹣x）=4，‎ ‎∴f（x）+f（2+x）=4，，‎ ‎∴f（x）=f（x+4），‎ ‎∴函数f（x）为周期为4的函数，f（3）=f（﹣1），‎ ‎∴f（﹣3）=f（3）=2，‎ 设g（x）=，g′（x）=，‎ 由∀x∈R总有f′（x）＜f（x）成立，‎ ‎∴g′（x）=＜0恒成立，‎ ‎∴g（x）=单调递减，‎ f（x）＞2ex+3，则＞2e3=，‎ ‎∴x＜﹣3，‎ ‎∴不等式f（x）＞2ex+3的解集{x丨x＜﹣3}，‎ 故答案为：{x丨x＜﹣3}．‎ ‎【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于难题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）（2005•北京）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（I）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（II）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间上的最小值．‎ ‎【解答】解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．‎ 令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，‎ 所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．‎ ‎（II）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，‎ 所以f（2）＞f（﹣2）．‎ 因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在上单调递增，‎ 又由于f（x）在上单调递减，‎ 因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．‎ 故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，‎ 即函数f（x）在区间上的最小值为﹣7．‎ ‎【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017春•荆州区校级月考）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：‎ 日车流量x ‎0≤x＜5‎ ‎5≤x＜10‎ ‎10≤x＜15‎ ‎15≤x＜20‎ ‎20≤x＜25‎ x≥25‎ 频率 ‎0.05‎ ‎0.25‎ ‎0.35‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0‎ 将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；‎ ‎（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列、数学期望以及方差．‎ ‎【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（I）求出日车流量不低于10万辆和日车流量低于5万辆的概率，利用相互独立事件的概率公式计算；‎ ‎（II）根据二项分布的概率计算公式求出概率，得出分布列，代入公式计算数学期望和方差．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，‎ B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．‎ 则P（A1）=0.35+0.25+0.10=0.70，P（A2）=0.05，‎ 所以P（B）=0.7×0.7×0.05×2=0.049．‎ ‎（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，‎ 则P（X=0）=（1﹣0.7）3=0.027，P（X=1）=•0.7•（1﹣0.7）2=0.189，‎ P（X=2）=•0.72•（1﹣0.7）=0.441，P（X=3）=0.73=0.343．‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.027‎ ‎0.189‎ ‎0.441‎ ‎0.343‎ ‎∵X～B（3，0.7），∴E（X）=3×0.7=2.1．‎ D（X）=3×0.7×（1﹣0.7）=0.63．‎ ‎【点评】本题考查了二项分布，相互独立事件的概率计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017春•荆州区校级月考）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥PB；‎ ‎（Ⅱ）若AD=，AB=BC=2，Q为AC的中点，求PA的长度以及二面角Q﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（I）由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，由AD⊥平面PBC得AD⊥BC，故而BC⊥平面PAB，于是BC⊥PB；‎ ‎（II）根据△PAB的面积即可得出PA的长，建立坐标系，求出平面PBQ的法向量和的坐标，即可得出二面角的大小．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴PA⊥BC，‎ ‎∵AD⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴AD⊥BC 又PA⊂平面PAB，AD⊂平面PAB，PA∩AB=A，‎ ‎∴BC⊥平面PAB ‎∵PB⊂平面PAB，‎ ‎∴BC⊥PB． ‎ ‎（Ⅱ）解：∵AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上，∴AD⊥PB，‎ 设PA=x，则PB=，‎ ‎∴S△PAB==，‎ 即=2x，解得x=2，即PA=2．‎ 由（1）知BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，‎ ‎∴BC⊥AB，‎ 以，为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），Q（1，1，0），‎ P（0，0，2），C（2，2，0），‎ ‎∴=（2，0，﹣2），=（1，1，﹣2），‎ 设平面PBQ的法向量为=（x，y，z），则，即，‎ 令z=1得=（，，1），‎ 在Rt△ABD中，AD=，AB=2，则BD=1，∴D（，0，），‎ ‎∴=（，0，），‎ ‎∵AD⊥平面PBC，∴是平面PBC的一个法向量．‎ ‎∴cos＜＞===．‎ ‎∴二面角Q﹣PB﹣C的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量与空间角的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•荆门期末）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴两端点为B1（0，﹣1）、B2（0，1），离心率e=，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P和B2P分别与x轴相交于M，N两点，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程和|OM|•|ON|的值；‎ ‎（Ⅱ）若点M坐标为（1，0），过M点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试求△ABN面积的最大值．‎ ‎【考点】K4：椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由b=1，离心率e==，则c2=a2，由a2﹣b2=c2，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程，设点P（x0，y0），则直线B1P方程为y=x﹣1，y=0，得xM=，同理可得xN=，∴|OM|•|ON|=丨xM丨•丨xN丨==4；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，由韦达定理求得丨y1﹣y2丨=‎ ‎=，S=丨MN丨•丨y1﹣y2丨=，由函数的单调性即可求得△ABN面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由B1（0，﹣1）、B2（0，1），知b=1，…（1分）‎ 由椭圆的离心率e==，则c2=a2，由a2﹣b2=c2，‎ a2﹣1=a2，解得：a2=4，‎ ‎∴椭圆C的方程为：；…（3分）‎ 设点P（x0，y0），则直线B1P方程为y=x﹣1，‎ 令y=0，得xM=，同理可得xN=，‎ ‎∴|OM|•|ON|=丨xM丨•丨xN丨=丨丨•丨丨==4，‎ ‎|OM|•|ON|=4；…‎ ‎（Ⅱ）当点M坐标为（1，0）时，点N（4，0），丨MN丨=3，…（6分）‎ 设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，整理得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，‎ 则y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，…（8分）‎ 丨y1﹣y2丨===，‎ ‎△ABN面积S=丨MN丨•丨y1﹣y2丨=•=，…（10分）‎ ‎∵t2≥0，则+≥+=，‎ ‎∴S≤，‎ 因此当t=0，即直线AB的方程为x=1时，△ABN面积的最大值是．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及三角形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•平度市三模）已知f（x）=．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）令g（x）=ax2﹣2lnx，则g（x）=1时有两个不同的根，求a的取值范围；‎ ‎（3）存在x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，使|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3R：函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）求导f′（x）=﹣=﹣，从而讨论导数的正负，以确定函数的单调性；‎ ‎（2）化简可得a==f（x），从而由（1）作函数的图象，从而解得；‎ ‎（3）不妨设x1＞x2＞1，从而化不等式为函数h（x）=f（x）+klnx在（1，+∞）上存在单调减区间，从而可得h′（x）=f′（x）+=﹣+=＜0在（1，+∞）上有解，从而解得．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=，‎ f′（x）==﹣=﹣，‎ 故x∈（0，1）时，f′（x）＞0，‎ x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，‎ 故f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；‎ ‎（2）∵g（x）=ax2﹣2lnx=1，‎ ‎∴a==f（x），‎ 作函数f（x）的图象如下，‎ ‎，‎ ‎∵f（1）==1，‎ ‎∴结合图象可知，a的取值范围为（0，1）；‎ ‎（3）不妨设x1＞x2＞1，‎ ‎∵f（x）在（1，+∞）上单调递减，y=lnx在（1，+∞）上单调递增；‎ ‎∴|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|可化为 f（x2）﹣f（x1）≥k（lnx1﹣lnx2），‎ ‎∴f（x2）+klnx2≥f（x1）+klnx1，‎ 即函数h（x）=f（x）+klnx在（1，+∞）上存在单调减区间，‎ 即h′（x）=f′（x）+=﹣+=＜0在（1，+∞）上有解，‎ 即m（x）=kx2﹣4lnx＜0在（1，+∞）上有解，‎ 即k＜在（1，+∞）上有解，‎ ‎∵（）′=，当x=时， =0；‎ 故（）max=；‎ ‎∴k＜．‎ ‎【点评】本题考查了导数综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了学生由繁化简的能力．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2016•包头二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．‎ ‎（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．‎ ‎【考点】J9：直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设圆心为P（a，b），半径为R，由题意知R2﹣b2=2，R2﹣a2=3，由此能求出圆心P的轨迹方程．‎ ‎（Ⅱ）由题意知，由此能求出圆P的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设圆心为P（a，b），半径为R，‎ ‎∵圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2，‎ ‎∴由题意知R2﹣b2=2，‎ R2﹣a2=3，‎ ‎∴b2﹣a2=1，‎ ‎∴圆心P的轨迹方程为为y2﹣x2=1．‎ ‎（Ⅱ）由题意知，‎ 解得a=0，b=1，R=或a=0，b=﹣1，R=，‎ ‎∴满足条件的圆P有两个：‎ x2+（y﹣1）2=3或x2+（y+1）2=3．‎ ‎【点评】本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用和理解．‎