2020届陕西省商洛市高三模拟理数测试

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商洛市 2020 年高考模拟测试数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 若集合  | 2M x x  ，  2| 6N x x  ，则 M N  （ ） A.  6,2 B.  , 6  C.  ,2 D.    , 6 2, 6   2. 设  22 3z i   ，则 z  （ ） A. 6 10i B. 6 10i C. 10 6i D. 10 6i 3. 已知 P 为椭圆 2 2 13 2 x y  短轴的一个端点， 1F ， 2F 是该椭圆的两个焦点，则 1 2PF F△ 的面积为（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 2 4. 2020 年 1 月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的 70 名患者中了解 到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（ ）（精确到个位数） A. 6 天 B. 7 天 C. 8 天 D. 9 天 5. 若函数    23 log 2f x x x   ，则   105 3f f      （ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 6. 函数   1 2sin 2f x x  的最小正周期为（ ） A. 2  B.  C. 3 2  D. 2 7. 在平行四边形 ABCD 中，若 4CE ED  ，则 BE  （ ） A. 4 5 AB AD   B. 4 5 AB AD  C. 4 5AB AD   D. 3 4 AB AD   8. 已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 10 62a a ，若 32 8 24mS S S  ，则 m  （ ） A. 7 15 B. 1 2 C. 8 15 D. 7 16 9. 已知双曲线 C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右顶点为 A ，直线  3 2y x a  与C 的一条渐近线在第 一象限相交于点 P ，若 PA 与 x 轴垂直，则C 的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 10. 已知函数   2 4 1, 0 2 2 , 0x x x xf x x        ，若关于 x 的方程      2 0f x f x m   恰有 5 个不同的 实根，则 m 的取值范围为（ ） A.  1,2 B.    2,5 1 C.  1,5 D.    2,5 1 11. 某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. 25 4  B. 64 3  C. 25 D. 32 12. 已知定义域为 R 的函数  f x 满足 1 1 2 2f      ，  ' 4 0f x x  ，其中  'f x 为  f x 的导函数，则不 等式  sin cos2 0f x x  的解集为（ ） A. 2 , 23 3k k        ， k Z B. 2 , 26 6k k        ， k Z C. 22 , 23 3k k       ， k Z D. 52 , 26 6k k       ， k Z 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 20 3 1x x     的展开式的第 2 项的系数为______. 14. 设 x ， y 满足约束条件 1 0 1 0 3 0 x y x y x           ，则当 2z x y  取得最大值时， y  ______. 15. 在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为棱 BC 的中点，若 1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等， 则异面直线 1C E 与 1BD 所成角的余弦值为______. 16. 定义  p n 为正整数 n 的各位数字中不同数字的个数，例如  555 1p  ，  93 2p  ，  1714 3p  . 在等差数列 na 中， 2 9a  ， 10 25a  ，则 na  ______，数列   np a 的前 100 项和为______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 17. 设 a ，b ，c 分别为 ABC△ 内角 A ，B ，C 的对边，已知 cos cosa B b A c  .（1）证明： ABC△ 是 直角三角形.（2）若 D 是 AC 边上一点，且 3CD  ， 5BD  ， 6BC  ，求 ABD△ 的面积. 18. 甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的 2 倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率 之和.若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为 0.18. （1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率；（2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立， 记三人命中总次数为 X ，求 X 的分布列及数学期望. 19. 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA  底面 ABCD .（1）证明：平面 PBD  平 面 PAC .（2）若 60BAD   ，且平面 PAB 与平面 PCD所成锐二面角的余弦值为 2 7 7 ，求 PCA 的大 小. 20. 设抛物线  2 2 0y px p  的焦点为 F ，直线 l 与抛物线交于 M ， N 两点.（1）若 l 过点 F ，且 3MN p ，求l 的斜率；（2）若 ,2 pP p     ，且l 的斜率为-1，当 P l 时，求l 在 y 轴上的截距的取值范围 （用 p 表示），并证明 MPN 的平分线始终与 y 轴平行. 21. 已知函数   1 2lnxf x e x x   .（1）求  f x 的单调区间；（2）证明：      32 3 2f x x x    . （二）选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线C ： 3y k x  .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 27 6(cos 2sin )     .（1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求 k 的取值范围. 23. [选修 4—5：不等式选讲] 已知函数   2 5 2 1f x x x    . （1）求不等式   1f x  的解集； （2）若不等式   4 2 4f x x t m t m       对任意 x R ，任意 t R 恒成立，求 m 的取值范围. 商洛市 2020 年高考模拟测试 数学试卷参考答案（理科） 一、选择题 1-5：BCABD 6-10：BACCD 11-12：BD 1. B ∵    , 6 6,N     ，∴  , 6M N    . 2. C 因为 2 8 6 10 6z i i     ，所以 10 6z i  . 3. A 依题意可得 2 2b  ， 2 3 2 1c    ，则 2b  ， 1c  ，所以 1 2PF F△ 的面积为 1 2 22 c b bc    . 4. B 因为 2 2 3 4 5 8 6 10 7 16 9 16 10 10 12 4 770x                 . 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 7 天. 5. D 因为   25 15 log 3f   ， 2 10 410 log3 3f       ，所以 2 10(5) 25 log 4 273f f        . 6. B 由  f x 的图象可知，T  . 7. A ∵ 4CE ED  ，∴ 4 5CE CD  ，∴ 4 4 5 5BE BC CE AD CD AB AD             . 8. C 因 为 10 62a a ， 所 以 4 2q  . 由 32 8 24mS S S  ， 得  32 8 241 1 1m q q q     ， 即  1 16 1 2 1 8m      ，解得 8 15m  . 9. C 依题意，联立 3 ( )2 x a by xa y x a          ，得 3b a ，即 2 23b a ，所以 2 2 23c a a  ，即 2 24c a ，所以 2ce a   . 10. D 由    2 0f x f x m       ，得   2f x  或  f x m ，作出  y f x 的图象，如图所示， 由图可知，方程   2f x  有 3 个实根，故方程  f x m 有 2 个实根，故 m 的取值范围为   2,5 1 . 11. B 由 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 为 如 图 所 示 的 三 棱 锥 B PAC ， 其 中 AB  平 面 PAC ， 2PA PC AC   ， 4AB  . 设 外 接 球 的 半 径 为 R ， PAC△ 外 接 圆 的 半 径 2 3 3r  ， 则 2 2 2 162 3R r   ，所以外接球的表面积 2 644 3S R   . 12. D 令     22 1g x f x x   ， 则    ' ' 4 0g x f x x   ， 故  g x 在 R 上 单 调 递 增 . 又 2(sin ) cos2 (sin ) 2sin 1f x x f x x    ，且 1 02g      ，故原不等式可转化为   1sin 2g x g      ，所以 1sin 2x  ，解得 52 26 6k x k      ， k Z . 二、填空题 13. -20 14. 4 15. 15 5 16. 2 5n  ；227 13. -20 3 201x x     的展开式的第 2 项的系数为  1 20 1 20C     . 14. 4 作出不等式组表示的可行域（图略），当直线 2z x y  经过点 3,4 时， z 取得最大值. 15. 15 5 因为 1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等，所以该正四棱柱为正方体，取 1 1B C 的中点 F ， 连接 BF ， 1D F （图略）.则 1FBD 为异面直线 1C E 与 1BD 所成的角.设 2AB  ，则 1 5BF D F  ， 1 2 3BD  ，故 1 5 12 5 15cos 52 2 3 5 FBD       . 16. 2 5n  ；227 因为 2 9a  ， 10 25a  ，所以公差 25 9 210 2d   ，所以  9 2 2 2 5na n n     .因 为 1 7a  ， 100 205a  ，且 na 为奇数，所以当 7na  ，9，11，33，55，77，99，111 时，   1np a  ； 当 101na  ，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181，191，199 时，   2np a  .在  na 中，小于 100 的项共有 47 项，这 47 项中满足   2np a  的共有 47 7 40  项，故   np a 的前 100 项和为1 8 2 (40 17) 3 (100 8 40 17) 227          . 三、解答题 17.（1）证明：因为 cos cosa B b A c  ，所以sin cos sin cos sinA B B A C  . 又  sin sinC A B  ， 所以 2sin cos 0B A  . 因为sin 0B  ，所以 cos 0A  . 则 2A  ，故 ABC△ 是直角三角形. （2）解：因为 2 2 2 1cos 2 15 BD CD BCBDC BD CD      ， 所以 1cos cos 15BDA BDC     . 又 2A  ，所以 1cos 3AD BD BDA   . 因为 1cos 15BDA  ，所以 4 14sin 15BDA  ， 故 ABD△ 的面积为 1 2 14sin2 9AD BD BDA   . 18. 解：（1）设甲的命中率为 p ，则依题意可得 2 0.18p p  ， 解得 0.3p  ， 故甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为 0.3，0.6，0.9. （2） X 的可能取值为 0，1，2，3， 则 ( 0) (1 0.3) (1 0.6) (1 0.9) 0.028P X         ， ( 1) 0.3 (1 0.6) (1 0.9) (1 0.3) 0.6 (1 0.9)P X            (1 0.3) (1 0.6) 0.9 0.306      ， ( 2) 0.3 0.6 (1 0.9) (1 0.3) 0.6 0.9P X          0.3 (1 0.6) 0.9 0.504     ， ( 3) 0.3 0.6 0.9 0.162P X      ， 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.028 0.306 0.504 0.162 故 0 0.028 1 0.306 2 0.504 3 0.162 1.8EX          . 19.（1）证明：因为底面 ABCD 为菱形， 所以 BD AC ， 因为 PA  底面 ABCD ， 所以 PA BD . 又 AC PA A ，所以 BD  平面 PAC ， 因为 BD  平面 PBD ，所以平面 PBD  平面 PAC . （2）解：设 AC 与 BD 交于点O ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz ，如图所示. 设 2AB  ，  0PA t t  . 则  3,0,P t ，  3,0,0A  ，  0,1,0B ，  0, 1,0D  ，  3,0,0C ， 则  0,0,PA t  ，  3,1,0AB DC   ，  3, 1,PD t   . 设平面 PAB 的法向量为  , ,m x y z ，则 0 3 0 m PA tz m AB x y              ， 令 1x  ，得  1, 3,0m   . 设平面 PCD的法向量为  ', ', 'n x y z ，则 3 ' ' ' 0 3 ' ' 0 n PD x y tz n DC x y               ， 令 'x t ，得  , 3 ,2 3n t t  . 设平面 PAB 与平面 PCD所成的锐二面角为 ，则 2 4 2 7cos 72 4 12 m n t m n t            ， 解得 2t  ，则 3tan 32 3 tPCA   ，故 30PCA   . 20. 解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 2 px  ，代入抛物线方程可得 2 2y p ，即 y p  ， 所以 2MN p ， 但 3MN p ，故直线l 的斜率存在，设其方程为  02 py k x k      . 由 2 2 2 py k x y px          得   2 2 2 2 2 2 04 k pk x k p p x    ， 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，则 2 1 2 2 2k p px x k   ， 所以 1 22 2M pN MF F px xN      2 1 2 2 2 3k p px x p p pk       ， 解得 2k   ，所以直线l 的斜率为 2 . （2）设直线l 的方程为 y x m   ，  1 1,M x y ，  2 2,N x y . 由 2 2 y x m y px      ，得 2 2(2 2 ) 0x m p x m    ， 则 1 2 2 2x x m p   ， 2 1 2x x m . 由 2 2(2 2 ) 4 0m p m     ，得 2 pm   .又 2 p m p   ，所以 3 2 pm  ，从而l 在 y 轴上的截距的取值 范围为 3 3, ,2 2 2 p p p           . 1 2 1 22 2 PM PN y p y pk k p px x          1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 p py p x y p x p px x                          1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 p px m p x x m p x p px x                            1 2 1 2 1 2 2 ( )2 2 2 px x m x x p m p p px x                  2 1 2 2 (2 2 ) ( )2 0 2 2 pm m m p p m p p px x                   . 所以直线 PM ， PN 的斜率互补，从而 MPN 的平分线始终与 y 轴平行. 21.（1）解：  f x 的定义域为 0, .   1 2' 1xf x e x    . 易知   1 2' 1xf x e x    在  0, 上单调递增，且  ' 1 0f  . 令  ' 0f x  ，得 0 1x  ，则  f x 的单调递减区间为 0,1 ； 令  ' 0f x  ，得 1x  ，则  f x 的单调递增区间为  1, . （2）证明：设       32 3 2 0g x x x x     ，     ' 3 1 3g x x x   . 令  ' 0g x  ，得1 3x  ；令  ' 0g x  ，得 0 1x  或 3x  . 所以当 1x  时，  g x 取得极大值，且极大值为 2， 由（1）知，    min 1 2f x f  ，故当 0 3x  时，      32 3 2f x x x    . 设          31 2ln 2 4 6 3xh x f x g x e x x x x         ，    21 2' 3 2 4xh x e xx      ，设    'p x h x ，    1 2 2' 6 2xp x e xx     ， 设    'q x p x ，   1 3 1 6xq x e x    ，易知  'q x 在 3, 上单调递增， 则     2 4' ' 3 6 027q x q e     ，则  q x 在  3, 上单调递增. 从而     2 2' ' 3 6 09p x p e     ，则  'h x 在 3, 上单调递增， 则     2 1' ' 3 03h x h e    ，从而  h x 在 3, 上单调递增， 所以     23 5 2ln3 0h x h e     ，故当 3x  时，      32 3 2f x x x    ， 从而      32 3 2f x x x    得证. 22. 解：（1）∵ 27 6(cos 2sin )     ， ∴ 2 6 cos 12 sin 27 0        . ∵ cosx   ， siny   ，∴ 2 2 6 12 27 0x y x y     ， ∴ E 的直角坐标方程为    2 23 6 18x y    . （2）易知曲线 C 过定点  3,0M ，其图象是关于直线 3x  对称的“V”字形， 又曲线 E 为以  3,6 为圆心， 3 2 为半径的圆， ∴ 0k  . 当 3x  时，曲线 C 的方程为 3y kx k  ，即 3 0kx y k   ， 则圆心 3,6 到直线的距离 2 2 3 6 3 6 3 2 1 1 k kd k k       ， 解得 2 1k  ， 又 0k  ，故 k 的取值范围为 1, . 23. 解：（1）不等式   1f x  等价于 1 2 6 1 x     或 1 5 2 2 4 4 1 x x       或 5 2 6 1 x    ， 即 1 2x   或 1 3 2 4x   ， 所以不等式   1f x  的解集为 3, 4     . （2）   4 2 4f x x t m t m       等价于 2 5 2 1 4x x t m t m        . 令   2 5 2 1h x x x    ，则    2 5 2 1 6h x x x     ， 所以  min 6h x  . 而  4 4 4t m t m t m t m m m            ， 所以 6 4m m   ， 所以 6 4 6m m m     ，解得 1m  ，即 m 的取值范围为 ,1 .