数学卷·2018届天津市六校高二上学期期中联考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届天津市六校高二上学期期中联考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年天津市六校度高二第一学期期中联考数学 一、选择题：共8题 ‎1．点是点在坐标平面内的射影，则等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查空间向量.因为点是点在坐标平面内的射影，所以，所以.选A.‎ ‎ ‎ ‎2．用斜二测画法画边长为1的正方形的直观图，则直观图的面积是 A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查直观图.因为,所以.选D.‎ ‎ ‎ ‎3．若直线与平行，则与间的距离为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查两直线平行,距离公式.因为直线平行，所以,解得;所以直线与的距离.选B.‎ ‎ ‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查三视图,空间几何体的体积.如图所示,该几何体的体积===选A.‎ ‎ ‎ ‎5．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查空间几何体的结构特征与体积.如图所示,该正四棱柱的外接球的直径，即;所以该球的体积.选D.‎ ‎ ‎ ‎6．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题：‎ ‎①若，则∥；   ②若∥，∥，则∥；‎ ‎③若，∥，则；  ④若∥， ，则.‎ 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查命题,点线面之间的位置关系.若，则∥或在内,即①错误;若∥，∥，则∥或在内,即②错误;若，∥，则,即③正确;若∥， ，则或∥.即④错误.所以正确命题的个数是1.选A.‎ ‎ ‎ ‎7．若直线过圆的圆心，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查基本不等式,直线与圆的位置关系.因为直线过圆的圆心，所以,即;当时，,解得(当且仅当时等号成立);当时，;当时，;所以的取值范围是.选B.‎ ‎ ‎ ‎8．过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有 A.16条 B.17条 C.32条 D.34条 ‎【答案】C ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆,其中圆心,半径;则过点的最长的弦长为26,最短的弦长为;而圆具有对称性,所以过点为整数的弦长可能为11、12、1325,各2条;所以弦长为整数的共有条.选C.‎ 二、填空题：共6题 ‎9．已知圆的方程为,则过点的圆的切线方程为             .‎ ‎【答案】y=-1或15x+8y-52=0‎ ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆:,圆心,半径;令过点的圆的切线方程为,即;因为直线与圆相切,所以,解得或;所以过点的圆的切线方程为y=-1或15x+8y-52=0.‎ ‎ ‎ ‎10．长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为            .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查空间向量的应用.如图建立空间直角坐标系,,,,,所以,,所以=;即异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎11．若直线与直线互相垂直,则实数=            .‎ ‎【答案】0或-1‎ ‎【解析】本题考查两直线垂直.因为直线垂直,所以或,解得.‎ ‎ ‎ ‎12．一个圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为   ().‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】本题考查空间几何体的表面积.由题意得=且,联立解得.即圆锥的底面半径为1m.‎ ‎ ‎ ‎13．曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的范围为            .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系.直线恒过定点;而曲线表示以为圆心、2为半径的上半圆(如图所示);当直线与圆相切于点时,,解得,此时直线与圆有1个公共点;当直线过点时,k,此时直线与圆有两个不同的公共点;所以实数的范围为.‎ ‎ ‎ ‎14．若直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是            .‎ ‎【答案】(4,+∞)‎ ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系.直线恒过定点;而直线与圆至少有一个交点，所以点在圆内或圆上,即,解得;而,所以或;所以,即实数的取值范围是(4,+∞).‎ 三、解答题：共6题 ‎15．已知直线经过点，且斜率为.‎ ‎(1)求过点且与直线垂直的直线的方程；‎ ‎(2)求过点且在轴与轴上的截距相等的直线的方程；‎ ‎【答案】(1)由已知得，，即直线方程为.‎ ‎(2)①当直线不过原点时，设直线方程为，∴，即，‎ ‎∴直线方程为；‎ ‎②当直线过原点时，直线斜率为，直线方程为，即.‎ 综上所述，直线的方程为或.‎ ‎【解析】本题考查直线的方程,两直线的位置关系.(1)由已知得，由点斜式得:.(2)①当直线不过原点时，为；②当直线过原点时，为.综上所述，直线为或.‎ ‎ ‎ ‎16．如图，在棱长为的正方体中，‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求直线和平面所成的角；‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)DC平面， 平面， DC；‎ 又， DC=C， 平面 平面， ，连接，‎ DD1平面， 平面，DD1‎ 又，DD1=D1， 平面 平面， ；‎ 又=C1 ， 平面.‎ ‎(2)设＝H，由(1)得： 平面，连接，‎ 则是在平面上的射影,即为直线和平面所成角 在Rt中， = ,== =300‎ 直线和平面所成角为300.‎ ‎(3)设点到平面的距离为d，‎ 由得：‎ 即：，‎ ‎， d=;‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎【解析】本题考查线面垂直,线面角,空间几何体的体积.(1)作辅助线,证得，，又=C1， 平面.(2)求得即为直线和平面所成角,在Rt中，=300，直线和平面所成角为300.(3)由得：点到平面的距离为.‎ ‎ ‎ ‎17．如图所示，在直三棱柱中，，， ,点是的中点.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求证：//平面；‎ ‎(3)求二面角的平面角的正切值.‎ ‎【答案】(1)又∵C1C⊥AC，∴AC⊥平面BCC1B1.‎ ‎∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.‎ ‎(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE；‎ 又四边形BCC1B1为正方形，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.‎ ‎∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.‎ ‎(3)由已知可得，‎ 设与交于点，连接，则，，‎ 则为二面角A-BC1-C的平面角.‎ 由(1)可知，在中，.‎ 即二面角A-BC1-C的平面角的正切值为.‎ ‎【解析】本题考查线面垂直与平行,二面角.(1)AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1.(2)证得DE∥AC1，∴AC1∥平面CDB1.(3)作辅助线得为二面角A-BC1-C的平面角，中，求得,即二面角A-BC1-C的平面角的正切值为.‎ ‎ ‎ ‎18．已知圆，直线.‎ ‎(1)判断直线与圆的位置关系；‎ ‎(2)若直线与圆相交于、两点，且，求直线的斜率；‎ ‎(3)若定点P(1，1)分弦为，求此时直线的方程.‎ ‎【答案】(1)由题意可知，圆心C到直线的距离 ‎，所以直线与圆相交.‎ ‎(2)圆心C(0,1)，C到l的距离d= ∴，即m2=1，∴m=1.‎ 直线l的斜率k=1.‎ ‎(3)设，由得，‎ ‎∴，化简的………①‎ 又由,消去得……(*)‎ ‎∴…………②‎ 由①②解得，带入(*)式解得，‎ ‎∴直线的方程为或.‎ ‎【解析】本题考查直线的方程,直线与圆的位置关系.(1)，所以直线与圆相交.(2)弦长一半、圆心到直线的距离、半径构成直角三角形得，解得m=1.直线l的斜率k=1.(3)联立方程,套用根与系数的关系得，∴直线为或.‎ ‎ ‎ ‎19．如图，在四棱锥中，为与的交点，平面，是正三角形，//，.‎ ‎(1)求异面直线和所成角的大小；‎ ‎(2)若点为棱上一点，且//平面，求的值；‎ ‎(3)求证：平面平面.‎ ‎【答案】(1)因为//，所以异面直线和所成角即为和所成角.‎ 因为是正三角形，，所以PD=CD.‎ 因为平面， //，所以平面.‎ 因为平面，所以，所以为等腰直角三角形.‎ 所以，即异面直线和所成角为.‎ ‎(2)因为 所以，所以.‎ 因为，所以.‎ 所以.‎ ‎(3)取的中点，连结.是正三角形，，所以.‎ 为的中点，所以.‎ ‎，所以.‎ ‎，所以.‎ 设，在等腰直角三角形中，.‎ 在中，.在直角梯形中，.‎ ‎，点F为PC的中点，所以.在中，.‎ 在中，由，可知，所以.‎ 由，所以.‎ 又，所以平面.‎ ‎【解析】本题考查线面平行与垂直,异面直线的夹角.(1)因为//，所以异面直线和所成角即为和所成角.为等腰直角三角形，所以，即异面直线和所成角为.(2)证得，所以，所以.(3)是正三角形，所以.在中，，所以，所以，所以平面.‎ ‎ ‎ ‎20．已知圆:，过定点作斜率为1的直线交圆于、两点，为线段的中点.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)设为圆上异于、的一点，求△面积的最大值；‎ ‎(3)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有,求的最小值，并求取最小值时点的坐标.‎ ‎【答案】(1)由题知圆心，又为线段的中点，∴⊥，‎ ‎∴，即，∴.‎ ‎(2)由(1)知圆的方程为，∴圆心，半径，‎ 又直线的方程是，‎ ‎∴圆心到直线的距离，.‎ 当⊥时，△面积最大，.‎ ‎(3)∵⊥，∴，又，∴.‎ 设，则有，整理得；‎ 即点在上，∴的最小值即为的最小值，‎ 由解得；‎ ‎∴满足条件的点坐标为.‎ ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系.(1)⊥，∴，解得.(2)弦长一半、圆心到直线的距离、半径构成直角三角形得.当⊥时，.(3)∵⊥，∴，求得，即点在上，∴的最小值即为的最小值，求得满足条件的点坐标为.‎ ‎ ‎