数学卷·2018届江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校高二上学期期中联考理科数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校高二上学期期中联考理科数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校高二上学期期中联考理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．过点且垂直于直线的直线方程为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查两直线的位置关系.设所求直线方程为，点代入求得，故所求直线方程为，故选A.‎ ‎ ‎ ‎2．已知过点和的直线与直线平行，则的值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查两直线的位置关系.依题意，两直线平行，则解得，故选B.‎ ‎ ‎ ‎3．两直线与平行，则它们之间的距离为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查两直线的位置关系及两直线间距离公式.依题意，两直线平行，则，解得，则两直线的距离为，故选D.‎ ‎ ‎ ‎4．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角.依题意，，，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是，故选C.‎ ‎ ‎ ‎5．过点,且圆心在直线上的圆的方程是.‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查了圆的方程.由题意可知,圆心在线段AB的中垂线上,‎ 又∵kAB=－1,且线段AB的中点为(0,0),则线段AB的中垂线方程为y=x,联立,得圆心为(1,1),半径,所以所求圆的方程为.故选C.‎ ‎ ‎ ‎6．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是 A.[－3，－1] B.[－1,3]‎ C.[－3,1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.依题意，若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离，解得，故选C.‎ ‎ ‎ ‎7．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为 A.9 B.8 C.5 D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查点到直线的距离公式.依题意，圆心到直线3x＋4y－2＝0的距离，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为，故选D.‎ ‎ ‎ ‎8．已知双曲线的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.依题意，，，则，得，则双曲线的离心率为，故选C.‎ ‎ ‎ ‎9．椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查椭圆的几何性质.由椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.则，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则，即，得椭圆的离心率为，故选B.‎ ‎ ‎ ‎10．直线与圆相交于M、N两点，若|MN|≥，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.由圆的方程得：圆心，半径，则圆心到直线的距离则，求得,即，解得，则k的取值范围为，故选B.‎ ‎ ‎ ‎11．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=‎ ‎                                3            2‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查抛物线的简单几何性质.抛物线：的焦点为，设.由，则，得,代入可得，则，故选C.‎ ‎ ‎ ‎12．已知椭圆E：(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为，则E的方程为.‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系.设，则代入椭圆方程得，,两式相减可得，由线段的中点坐标为，得，则直线的斜率为，得，由右焦点为，则，求得，则椭圆方程为，故选D.‎ 二、填空题：共4题 ‎13．若直线过点(,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为           .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查直线方程.依题意，由直线的倾斜角为30°,则直线的斜率为，则直线方程为，即，故填.‎ ‎ ‎ ‎14．设满足约束条件：；则的取值范围为        .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查简单的线性规划问题.根据约束条件：，当目标函数过点时，有最大值，由得即，；当目标函数过点时，有最大值，由得即，；综上，的取值范围为，故填.‎ ‎ ‎ ‎15．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，为坐标原点.若，则△AOB的面积为           .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查抛物线的简单几何性质.依题意，得，代入y2=4x得，不妨取，由，得，则△AOB的面积为，故填.‎ ‎ ‎ ‎16．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，且与的离心率之积为，则双曲线的渐近线方程为  ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查椭圆和双曲线的标准方程和离心率．由已知可得两曲线的离心率积可得，化简得，所以双曲线的渐近线方程为．‎ 三、解答题：共6题 ‎17．(1)要使直线l1：与直线l2：x-y=1平行，求m的值.‎ ‎(2)直线l1：ax+(1-a)y=3与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值.‎ ‎【答案】(1)∵l2的斜率k2＝1，l1‖l2‎ ‎∴k1＝1，且l1与l2不重合　∴　y轴上的截距不相等 ‎∴由且得m=-1‎ ‎(2)当a=1时，l1：x=3，l2：y=，∴l1⊥l2‎ 当a=时，l1：，l2：，显然l1与l2不垂直。‎ 当a≠1且a≠时，l1：，l2：‎ ‎∴k1＝，k2＝，‎ 由k1k2＝-1得，‎ ‎∴当a=1或时，l1⊥l2.‎ ‎【解析】本题主要考查两直线的位置关系.(1)依题意，两直线平行，则斜率相等且纵截距不相等，求得的值.(2)两直线垂直，先考虑一条直线斜率不存在另一条直线斜率为零，求得的值，然后考虑两直线斜率都存在，则两直线斜率之积为，求得的值.‎ ‎ ‎ ‎18．已知圆以原点为圆心，且与圆外切.‎ ‎(1)求圆的方程；(2)求直线与圆相交所截得的弦长.‎ ‎【答案】(1)设圆方程为.圆，‎ ‎，所以圆方程为.‎ ‎(2)到直线的距离为，‎ 故弦长.‎ ‎【解析】本题主要考查两圆的位置关系及直线与圆的位置关系.(1)利用两圆外切，则圆心距为半径之和，求得圆的半径，从而求得圆的方程.(2)先求得到直线的距离，利用弦长公式求得弦长.‎ ‎ ‎ ‎19．已知圆C:及直线.‎ ‎(1)证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；‎ ‎(2)求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程.‎ ‎【答案】(1)直线方程,可以改写为,所以直线必经过直线的交点.由方程组解得即两直线的交点为A，又因为点与圆心的距离,所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交 ‎(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.此时,,所以.即最短弦长为 又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为:‎ ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.(1)直线方程,可以改写为,求得直线过定点A，利用点和圆的位置关系求得点在圆内，从而得出结论.(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.求得的长，然后利用斜率之积为求所求直线的斜率，利用点斜式求得直线方程.‎ ‎ ‎ ‎20．已知椭圆a＞b＞0，点P(，)在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值.‎ ‎【答案】(1)因为点P(，)在椭圆上，故，可得.‎ 于是，所以椭圆的离心率.‎ ‎(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0).‎ 由条件得消去y0并整理得 ‎.①‎ 由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，‎ 整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，而x0≠0，故，代入①，‎ 整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.‎ 由(1)知，故(1＋k2)2＝k2＋4，‎ 即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.‎ 所以直线OQ的斜率.‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质及直线与椭圆的位置关系.(1)利用点P(，)在椭圆上.代入求得的关系.，利用求得离心率.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0).将直线方程和椭圆方程联立，求得，利用|AQ|＝|AO|求得的值，从而求得所求直线方程.‎ ‎ ‎ ‎21．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为 ‎(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点).求k的取值范围.‎ ‎【答案】(1)设双曲线方程为 由已知得,得故双曲线C的方程为 ‎(2)将 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即①‎ 设，则，‎ 而==‎ ‎,‎ 于是 ②‎ 由①②得 故k的取值范围为 ‎【解析】本题主要考查双曲线的标准方程及直线与双曲线的位置关系.(1)利用双曲线的右焦点和右顶点坐标得出的值，然后利用求得，从而求得双曲线的方程.(2)将双曲线方程，利用韦达定理用表示出，利用求得的范围.‎ ‎ ‎ ‎22．如图，椭圆E：(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，‎ 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，‎ 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，‎ 所以4a＝8，a＝2.‎ 又因为，即，所以c＝1.‎ 所以.‎ 故椭圆E的方程是.‎ ‎(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.‎ 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且＝0，‎ 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，‎ 化简得4k2－m2＋3＝0.(*)‎ 此时，y0＝kx0＋m＝，‎ 所以P(，).‎ 由得Q(4,4k＋m).‎ 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上.‎ 设M(x1,0)，则对满足(*)式的m，k恒成立.‎ 因为＝(，)，＝(4－x1,4k＋m)，由，‎ 得，‎ 整理，得(4x1－4)＋x12－4x1＋3＝0.(**)‎ 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.‎ 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系及其应用.（1）根据椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，求得的值，结合椭圆的离心率求得的值，利用求得，从而求得椭圆的方程.(2)将直线l方程和椭圆方程联立，由动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，结合判别式求得点坐标，由求得Q点坐标，假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上.设M(x1,0)，则对满足(*)式的m，k恒成立.利用数量积求得点坐标，从而得出结论.‎ ‎ ‎