2020届高考理科数学二轮专题复习课件：思想导引 方法点睛3-2
第
2
讲
分类与整合思想
题型一 根据数学的概念分类讨论
【例
1
】
设
0
0
且
a≠1,
比较
|log
a
(1-x)|
与
|log
a
(1+x)|
的大小
.
【解析】
因为
01,0<1-x
2
<1.
①
当
00,log
a
(1+x)<0,
所以
|log
a
(1-x)|-|log
a
(1+x)|
=log
a
(1-x)-[-log
a
(1+x)]=log
a
(1-x
2
)>0;
②
当
a>1
时
,log
a
(1-x)<0,log
a
(1+x)>0,
所以
|log
a
(1-x)|-|log
a
(1+x)|
=-log
a
(1-x)-log
a
(1+x)
=-log
a
(1-x
2
)>0;
由
①②
可知
,|log
a
(1-x)|>|log
a
(1+x)|.
【拓展提升】
本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论
,
我们称
为概念分类型
.
由概念内涵引起的分类还有很多
:
如绝
对值
|a|
分
a>0,a=0,a<0
三种情况
;
直线的斜率分倾斜角
θ≠90°,
斜率
k
存在
,
倾斜角
θ=90°,
斜率不存在
;
指
数、对数函数
[y=a
x
(a>0
且
a≠1)
与
y=log
a
x(a>0
且
a≠
1)]
可分为
a>1,00
且
a≠1)
在区间
内单调递增
,
则
a
的取值范围是
(
)
【解析】
选
B.
由题意得
,x
3
-ax>0
在 上恒成立
,
即
a>x
2
在 上恒成立
,
所以
a≥
且
a≠1.
若
01,
则
h(x)=x
3
-ax
在 上单调递增
,
即
h′(x)=3x
2
-a≥0
在 上恒成立
,
所以
a≤0,
这与
a>1
矛盾
,
综上
,
实数
a
的取值范围是
题型二 根据运算的要求或性质、定理、公式的条件
分类讨论
【例
2
】
(2019·
河南六市联考
)
设数列
{a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
,
且满足
a
1
=r,S
n
=a
n+1
- (n∈N
*
).
(1)
试确定
r
的值
,
使
{a
n
}
为等比数列
,
并求数列
{a
n
}
的通项公式
.
(2)
在
(1)
的条件下
,
设
b
n
=log
2
a
n
,
求数列
{|b
n
|}
的前
n
项和
T
n
.
【解析】
(1)
当
n=1
时
,S
1
=a
2
- a
2
=a
1
+
当
n≥2
时
,S
n-1
=a
n
-
与已知式作差得
a
n
=a
n+1
-a
n
,
即
a
n+1
=2a
n
(n≥2),
欲使
{a
n
}
为等比数列
,
则
a
2
=2a
1
=2r,
又
a
2
=a
1
+
所以
r=
故数列
{a
n
}
是以 为首项
,2
为公比的等比数列
,
所以
a
n
=2
n-6
.
(2)
由
(1)
知
b
n
=n-6,
所以
|b
n
|=
若
n<6,T
n
=-b
1
-b
2
-
…
-b
n
=
若
n≥6,
T
n
=-b
1
-b
2
-
…
-b
5
+b
6
+
…
+b
n
= +30,
所以
T
n
=
【拓展提升】
(1)
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性
,
均值定理
,
等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论
,
或者在一定的限制条件下才成立
,
这时要小心
,
应根据题目条件确定是否进行分类讨论
.
(2)
分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的
.
比如除法运算中分母能否为零的讨论
;
解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零
,
是正数
,
还是负数的讨论
;
二次方程运算中对两根大小的讨论
;
求函数单调性时
,
导数正负的讨论
;
排序问题
;
差值比较中的差的正负的讨论
;
有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等
.
【变式训练】
在等比数列
{a
n
}
中
,
已知
a
3
= S
3
=
则
a
1
=
__________.
【解析】
当
q=1
时
,a
1
=a
2
=a
3
=
S
3
=3a
1
=
显然成立
;
当
q≠1
时
,
由题意
,
得
所以
由①②
,
得
=3,
即
2q
2
-q-1=0,
所以
q=-
或
q=1(
舍去
).
当
q=-
时
,a
1
= =6,
综上可知
,a
1
=
或
a
1
=6.
答案
:
或
6
题型三 根据字母的取值情况分类讨论
【例
3
】
已知函数
f(x)=2x
3
-3x.
(1)
求
f(x)
在区间
[-2,1]
上的最大值
.
(2)
若过点
P(1,t)
存在
3
条直线与曲线
y=f(x)
相切
,
求
t
的取值范围
.
(3)
问过点
A(-1,2),B(2,10),C(0,2)
分别存在几条直线与曲线
y=f(x)
相切
(
只需写出结论
)?
【解析】
(1)
由
f(x)=2x
3
-3x,
得
f′(x)=6x
2
-3,
令
f′(x)=0,
得
x=-
或
x=
因为
f(-2)=-10,
所以
f(x)
在区间
[-2,1]
上的最大值为
(2)
设过点
P(1,t)
的直线与曲线
y=f(x)
相切于点
(x
0
,
y
0
),
则
y
0
=2 -3x
0
,
且切线斜率为
k=6 -3,
所以切线方程为
y-y
0
=(6 -3)(x-x
0
),
因此
t-y
0
=(6 -3)(1-x
0
),
整理得
4 -6 +t+3=0,
设
g(x)=4x
3
-6x
2
+t+3,
则“过点
P(1,t)
存在
3
条直线与曲线
y=f(x)
相切”等价于“
g(x)
有
3
个不同零点”
,
g′(x)=12x
2
-12x=12x(x-1),g(x)
与
g′(x)
的情况如下
:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
t+3
↘
t+1
↗
所以
,g(0)=t+3
是
g(x)
的极大值
,g(1)=t+1
是
g(x)
的极小值
,
当
g(0)=t+3≤0,
即
t≤-3
时
,
此时
g(x)
在区间
(-∞,1)
和
(1,+∞)
上分别至多有
1
个零点
,
所以
g(x)
至多有
2
个零点
,
当
g(1)=t+1≥0,t≥-1
时
,
此时
g(x)
在区间
(-∞,0)
和
(0,+∞)
上分别至多有
1
个零点
,
所以
g(x)
至多有
2
个零点
.
当
g(0)>0
且
g(1)<0,
即
-30,
所以
g(x)
分别在区间
[-1,0),[0,1)
和
[1,2)
上恰有
1
个零点
,
由于
g(x)
在区间
(-∞,0)
和
(1,+∞)
上单调
,
所以
g(x)
分别在区间
(-∞,0)
和
(1,+∞)
上恰有
1
个零点
.
综上可知
,
当过点
P(1,t)
存在
3
条直线与曲线
y=f(x)
相切时
,t
的取值范围是
(-3,-1).
(3)
过点
A(-1,2)
存在
3
条直线与曲线
y=f(x)
相切
;
过点
B(2,10)
存在
2
条直线与曲线
y=f(x)
相切
;
过点
C(0,2)
存在
1
条直线与曲线
y=f(x)
相切
.
【拓展提升】
含有参数的问题
(
含参型
),
主要包括
:
含有参数的不等
式的求解
;
含有参数的方程的求解
;
对于解析式系数是
参数的函数
,
求最值与单调性问题
;
二元二次方程表示
曲线类型的判定等
.
求解这类问题的一般思路是
:
结合
参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论
.
讨论时
,
应全面分析参数变化引起结论的变化情况
,
参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想
.
【变式训练】
已知函数
f(x)=mx
2
-x+ln x.
若在函数
f(x)
的定义域内存在区间
D,
使得该函数在区间
D
上为减函数
,
则实数
m
的取值范围为
__________.
【解析】
f′(x)=2mx-1+
即
2mx
2
-x+1<0
在
(0,+∞)
上有解
.
当
m≤0
时显然成立
;
当
m>0
时
,
由于函数
y=2mx
2
-x+1
的图象的对称轴为
x=
>0,
故只需
Δ>0,
即
1-8m>0,
故
m<
综上所述
,m<
故实数
m
的取值范围为
答案
:
题型四 根据图形位置或形状变动分类讨论
【例
4
】
长方形
ABCD
中
,|AB|=4,|BC|=8,
在
BC
边上取一点
P,
使
|BP|=t,
线段
AP
的垂直平分线与长方形的边的交点为
Q,R
时
,
用
t
表示
|QR|.
【解析】
如图所示
,
分别以
BC,AB
所在的边为
x,y
轴建立平面直角坐标系
.
因为
k
AP
=-
所以
k
QR
=
又
AP
的中点的坐标为
所以
QR
所在的直线方程为
y-2=
①.
由于
t
的取值范围的不同会导致
Q,R
落在长方形
ABCD
的
不同边上
,
故需分类讨论
:
当
|PD|=|AD|=8
时
,
易知
|PC|=
所以当
0≤t≤8-4
时
,Q,R
两点分别在
AB,CD
上
,
对方
程
①,
分别令
x=0
和
x=8,
可得
这时
|QR|=2
当
8-4 3
时
,
焦点在
y
轴上
,
要使椭圆
C
上存在点
M
满足
∠AMB=120°,
则
≥tan 60°=
即 解得
m≥9.
故
m
的取值范围为
(0,1]∪[9,+∞).
