数学理·宁夏石嘴山市平罗中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析x

数学理·宁夏石嘴山市平罗中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析x

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有唯一正确答案.）‎ ‎1．如图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．直线x﹣3y+a=0的倾斜角为（　　）‎ A．60° B．30° C．150° D．120°‎ ‎3．已知直线l1：x+ay﹣1=0与l2：（a﹣1）x+2y﹣3=0平行，则a的值是（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2‎ ‎4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（　　）‎ A．6 B．3 C．12 D．6‎ ‎5．已知直线l，m和平面α，下列命题正确的是（　　）‎ A．若l∥α，m⊂α，则l∥m B．若l∥m，m⊂α，则l∥α C．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α D．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m ‎6．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）‎ A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（　　）‎ A．112 B．80 C．72 D．64‎ ‎8．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（　　）‎ A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4‎ ‎9．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1内，则直线l：ax+by=1与圆O的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A．4π B．8π C．12π D．16π ‎11．由直线3x﹣4y+1=0上的一点向圆C：x2+y2﹣6x+8=0引切线，则切线长的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎12．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD．若PA=AD=AB=kBC（0＜k＜1），则（　　）‎ A．当k=时，平面BPC⊥平面PCD B．当k=时，平面APD⊥平面PCD C．对∀k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直 D．∃k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直．‎ ‎　‎ 二、填空题（请将正确答案填在答案卷的横线上．每小题5分，共20分）‎ ‎13．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=　　．‎ ‎14．圆x2+y2﹣4x=0关于直线y=x对称的圆的方程为　　．‎ ‎15．若实数x，y满足条件，则的最小值为　　．‎ ‎16．已知线段AB的长为2，动点C满足•=λ（λ为负常数），且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数λ的最大值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答要有必要的文字说明或演算过程，否则不得分．共70分）‎ ‎17．根据下列条件，求直线的方程：‎ ‎（Ⅰ）过直线l1：2x﹣3y﹣1=0和l2：x+y+2=0的交点，且垂直于直线2x﹣y+7=0；‎ ‎（Ⅱ）过点（﹣3，1），且在两坐标轴上的截距之和为﹣4．‎ ‎18．四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱长相等，底面ABCD为正方形，M为PB的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ）PD∥平面ACM；‎ ‎（Ⅱ）PO⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅲ）若PA=AB，求异面直线PD与CM所成角的正弦值．‎ ‎19．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（量大供应量）如下表所示：‎ 资源消耗量产品 甲产品（每吨）‎ 乙产品（每吨）‎ 资源限额（每天）‎ 煤（t）‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎360‎ 电力（kw•h）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎200‎ 劳动力（个）‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎300‎ 利润（万元）‎ ‎6‎ ‎12‎ 问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？‎ ‎20．如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（﹣2，0），C（a，0），（a＞0），设△AOB和△COD的 外接圆圆心分别为点M、N．‎ ‎（Ⅰ）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程．‎ ‎21．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，动点D在斜边AB上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；‎ ‎（Ⅱ）当VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2时，求CD与平面AOB所成角的大小．‎ ‎22．已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．‎ ‎（1）判断曲线C的形状；‎ ‎（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；‎ ‎（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有唯一正确答案.）‎ ‎1．如图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】根据面动成体的原理即可解，一个三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥．一个直角梯形绕着直角边旋转一周得到圆台．‎ ‎【解答】解：该几体的上部分是圆锥，下部分是圆台，‎ 圆锥的轴截面是直角三角形，‎ 圆台的轴截面是直角梯形，‎ ‎∴这个几何图形是由直角三角形和直角梯形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．直线x﹣3y+a=0的倾斜角为（　　）‎ A．60° B．30° C．150° D．120°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由直线l的倾斜角α与斜率k的关系，可以求出α的值．‎ ‎【解答】解：设直线l： x﹣3y+a=0的倾斜角是α，‎ 则直线l的方程可化为y=x+，‎ l的斜率k=tanα=，‎ ‎∵0°≤α＜180°，‎ ‎∴α=30°；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线l1：x+ay﹣1=0与l2：（a﹣1）x+2y﹣3=0平行，则a的值是（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】由于l2的斜率存在，因此l1∥l2⇔且截距不等．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵l1∥l2，∴，‎ 化为a2﹣a﹣2=0，‎ 解得a=2或﹣1．‎ 当a=2时，l1与l2重合，应舍去．‎ 因此a=﹣1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（　　）‎ A．6 B．3 C．12 D．6‎ ‎【考点】斜二测法画直观图．‎ ‎【分析】画出△OAB的直观图，根据数据求出直观图的面积．‎ ‎【解答】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，‎ 所以：S△OAB==12‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．已知直线l，m和平面α，下列命题正确的是（　　）‎ A．若l∥α，m⊂α，则l∥m B．若l∥m，m⊂α，则l∥α C．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α D．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据线面平行的几何特征，及空间直线关系的分类和定义，可判断A的真假；‎ 根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少，可判断B的真假；‎ 根据线线垂直及线面垂直的几何特征，可以判断C的真假；‎ 根据线面垂直的性质（定义）可以判断D的真假．‎ ‎【解答】解：若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故A错误 若l∥m，m⊂α，当l⊂α，则l∥α不成立，故B错误；‎ 若l⊥m，m⊂α，根据线面垂直的判定定理，不能得出l⊥α，故C错误；‎ 若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一线，可得l⊥m，故D正确 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）‎ A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）‎ ‎∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP 因此，PQ的斜率k===1‎ 可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（　　）‎ A．112 B．80 C．72 D．64‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，代入数据分别求棱柱与棱锥的体积即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，‎ 棱柱的体积为4×4×4=64；‎ 棱锥的体积为×4×4×3=16；‎ 则此几何体的体积为80；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（　　）‎ A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．‎ ‎【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1内，则直线l：ax+by=1与圆O的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先求圆心到直线ax+by=1的距离，通过关系判断点P（a，b）与圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：∵点P（a，b）是圆x2+y2=1内不同于原点的一点，‎ ‎∴＜1，‎ ‎∵圆心到直线ax+by=1的距离，d=＞1．‎ 故直线和圆相离．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A．4π B．8π C．12π D．16π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．‎ ‎【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，‎ 根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1，‎ ‎∵OA=AB=1，OO1=AA′=1‎ ‎∴O1A=‎ 因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．由直线3x﹣4y+1=0上的一点向圆C：x2+y2﹣6x+8=0引切线，则切线长的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，求出圆心到直线3x﹣4y+1=0的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．‎ ‎【解答】解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣3）2+y2=1，‎ 得到圆心（3，0），半径r=1，‎ ‎∵圆心到直线3x﹣4y+1=0的距离d==2，‎ ‎∴切线长的最小值为： =．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD．若PA=AD=AB=kBC（0＜k＜1），则（　　）‎ A．当k=时，平面BPC⊥平面PCD B．当k=时，平面APD⊥平面PCD C．对∀k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直 D．∃k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直．‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】只有A正确．下面给出证明分析：延长BA，CD交于M点，连接MP，则BM=2AB，可得MP⊥PB．再利用侧面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，可得BC⊥MP，可得MP⊥平面PBC，即可得出平面PBC⊥平面PCD．‎ ‎【解答】解：只有A正确．下面给出证明：‎ 延长BA，CD交于M点，连接MP，则BM=2AB，‎ A是BM的中点，AP=BM，‎ ‎∴MP⊥PB，‎ 又∵侧面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面PBM，可得BC⊥MP，‎ 故MP⊥平面PBC，‎ ‎∵MP⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．‎ 可知：B，C，D都不正确．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（请将正确答案填在答案卷的横线上．每小题5分，共20分）‎ ‎13．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=　9　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．‎ ‎【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，‎ 由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，‎ ‎∴圆心C2（3，4），半径为．‎ ‎∵圆C1与圆C2外切，‎ ‎∴5=+1，‎ 解得：m=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎14．圆x2+y2﹣4x=0关于直线y=x对称的圆的方程为　x2+y2﹣4y=0　．‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】由于点（x，y）关于直线y=x对称的点为（y，x），故把圆方程中的x、y交换位置，即可得到圆x2+y2﹣4x=0关于直线y=x对称的圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵点（x，y）关于直线y=x对称的点为（y，x），‎ ‎∴圆x2+y2﹣4x=0关于直线y=x对称的圆的方程为y2+x2﹣4y=0，即 x2+y2﹣4y=0，‎ 故答案为：x2+y2﹣4y=0．‎ ‎　‎ ‎15．若实数x，y满足条件，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】利用换元法将条件转化为直线斜率，结合线性规划的知识进行求解即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 的几何意义是区域内的点到定点D（﹣2，﹣1）的斜率，‎ 则由图象知DA的斜率最小，DB的斜率最大，‎ 由得，即A（1，1），‎ 则DA的斜率k==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知线段AB的长为2，动点C满足•=λ（λ为负常数），且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数λ的最大值是　﹣　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意建立坐标系，假设点C在圆内，B（0，0），A（2，0），C（rcosa，rsina），（r＜），从而利用坐标表示出向量，从而可得λ=﹣2rcosa+r2，从而求得．‎ ‎【解答】解：由题意建立坐标系如右图，‎ 假设点C在圆内，‎ 则B（0，0），A（2，0），C（rcosa，rsina），（r＜），‎ 则=（2﹣rcosa，﹣rsina），=（﹣rcosa，﹣rsina），‎ ‎∴λ=（2﹣rcosa，﹣rsina）•（﹣rcosa，﹣rsina）‎ ‎=﹣2rcosa+r2（cos2a+sin2a）‎ ‎=﹣2rcosa+r2，‎ ‎∴r2﹣2r≤λ≤r2+2r，‎ 故﹣＜λ＜，‎ ‎∵点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，‎ ‎∴λ≤﹣或λ≥（舍）；‎ 故实数λ的最大值是﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答要有必要的文字说明或演算过程，否则不得分．共70分）‎ ‎17．根据下列条件，求直线的方程：‎ ‎（Ⅰ）过直线l1：2x﹣3y﹣1=0和l2：x+y+2=0的交点，且垂直于直线2x﹣y+7=0；‎ ‎（Ⅱ）过点（﹣3，1），且在两坐标轴上的截距之和为﹣4．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）联立方程组，求出交点坐标，求出直线方程即可；（Ⅱ）设直线方程为+=1，得到 +=1，a+b=1，解得即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由，‎ 解得：，‎ 直线2x﹣y+7=0的斜率是2，‎ 故所求直线过（﹣1，﹣1），斜率是﹣，‎ 直线方程是：y+1=﹣（x+1），‎ 即：x+2y+3=0；‎ ‎（Ⅱ）设直线方程为 +=1， +=1，a+b=1，‎ 即或，‎ ‎∴所求方程为﹣+=1或﹣﹣=1，‎ 即x﹣3y+6=0或x+y+2=0．‎ ‎　‎ ‎18．四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱长相等，底面ABCD为正方形，M为PB的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ）PD∥平面ACM；‎ ‎（Ⅱ）PO⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅲ）若PA=AB，求异面直线PD与CM所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）欲证PD∥面ACM，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PD与面ACM内一直线平行即可，连接OM，而OB=OD，则PD∥OM，OM⊂面ACM，PD不在面ACM内，满足定理所需条件；‎ ‎（Ⅱ）欲证PO⊥面ABCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PO与面ABCD内两相交直线垂直，而PA=PC，OA=OC，则PO⊥AC，同理PO⊥BD，AC∩BD=O，满足定理所需条件；‎ ‎（Ⅲ）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用cos＜，＞=可得：异面直线PB与AD所成角．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接OM，正方形ABCD中，OB=OD，‎ M为PB的中点，‎ ‎∴PD∥OM，‎ ‎∵OM⊂面ACM，PD不在面ACM内，‎ ‎∴PD∥面ACM；‎ ‎（Ⅱ）∵PA=PC，OA=OC，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD，‎ AC∩BD=O，‎ ‎∴PO⊥面ABCD．‎ ‎（Ⅲ）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱长相等，底面ABCD为正方形，M为PB的中点，PA=AB，设AB=1，‎ 可得：D（﹣，﹣，0），P（0，0，），C（，﹣，0），B（，，0），M（，，），‎ 可得： =（﹣，﹣，﹣），=（﹣，，），‎ ‎∴cos＜，＞==﹣，‎ 设异面直线PD与CM所成角为α，‎ ‎∴sinα=﹣．‎ ‎　‎ ‎19．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（量大供应量）如下表所示：‎ 资源消耗量产品 甲产品（每吨）‎ 乙产品（每吨）‎ 资源限额（每天）‎ 煤（t）‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎360‎ 电力（kw•h）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎200‎ 劳动力（个）‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎300‎ 利润（万元）‎ ‎6‎ ‎12‎ 问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】先设每天生产甲x吨，乙y吨，列出约束条件，再建立目标函数，然后求得最优解，即求得利润的最大值和最大值的状态．‎ ‎【解答】解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元 …‎ 依题意可得约束条件：…‎ 利润目标函数z=6x+12y …‎ 如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值．‎ 解方程组，得M（20，24）…‎ 所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润 …‎ ‎　‎ ‎20．如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（﹣2，0），C（a，0），（a＞0），设△AOB和△COD的 外接圆圆心分别为点M、N．‎ ‎（Ⅰ）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程．‎ ‎【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】先根据条件求圆的标准方程，再，利用直线与圆相切时，点线距离等于半径长求解；（2）利用圆心N到直线lAB距离及直线lAB截⊙N的所得弦长为4，可求圆的标准方程．‎ ‎【解答】解（Ⅰ）圆心M（﹣1，1），∴圆M方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2，直线 lCD方程为x+y﹣a=0‎ ‎∵⊙M与直线lCD相切，∴圆心 M到直线lCD的距离，‎ ‎∴|a|=2，又a＞0，a=2‎ ‎∴直线lCD的方程为x+y﹣2=0；‎ ‎（Ⅱ）直线lAB方程为：x﹣y+2=0，圆心，‎ ‎∴圆心N到直线lAB距离为，‎ ‎∵直线lAB截⊙N的所得弦长为4‎ ‎∴，∴a2=12，又a＞0，‎ ‎∴⊙N的标准方程为 ‎　‎ ‎21．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，动点D在斜边AB上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；‎ ‎（Ⅱ）当VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2时，求CD与平面AOB所成角的大小．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∠BOC是二面角B﹣AO﹣C是直二面角，从而CO⊥BO，进而CO⊥平面AOB，由此能证明平面COD⊥平面AOB．‎ ‎（Ⅱ）当VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2时，D为AB中点，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出CD与平面AOB所成角．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，‎ ‎∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C是直二面角，‎ 又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴CO⊥BO，‎ 又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，‎ 又CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．‎ 解：（Ⅱ）当VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2时，D为AB中点，‎ 以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图，‎ 则B（0，2，0），A（0，0，2），C（2，0，0），D（0，1，），‎ ‎∴=（﹣2，1，），‎ 平面AOB的法向量=（1，0，0），‎ 设CD与平面AOB所成角为θ，‎ 则sinθ===．‎ ‎∴θ=45°．‎ ‎∴CD与平面AOB所成角为45°．‎ ‎　‎ ‎22．已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．‎ ‎（1）判断曲线C的形状；‎ ‎（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；‎ ‎（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）把方程化为圆的标准方程，可得结论；‎ ‎（2）求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；‎ ‎（3）由圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，可得圆心（a，）在MN的垂直平分线上，从而求出a，再判断a=﹣2不合题意即可．‎ ‎【解答】解：（1）将曲线C的方程化为﹣﹣‎ 可知曲线C是以点（a，）为圆心，以为半径的圆．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）△AOB的面积S为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 证明如下：‎ 在曲线C的方程中令y=0得ax（x﹣2a）=0，得点A（2a，0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 在曲线C的方程中令x=0得y（ay﹣4）=0，得点B（0，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴S=|OA||OB|=|2a|||=4（为定值）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（3）∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，‎ ‎∴圆心（a，）在MN的垂直平分线上，∴=，∴a=±2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当a=﹣2时，圆心坐标为（﹣2，﹣1），圆的半径为，‎ 圆心到直线l：y=﹣2x+4的距离d==＞，‎ 直线l与圆C相离，不合题意舍去，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴a=2，这时曲线C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎2016年11月28日