数学理卷·2017届东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次联合模拟考试（2017

数学理卷·2017届东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次联合模拟考试（2017

哈尔滨师大附中 东北师大附中 2017年高三第二次联合模拟考试 辽宁省实验中学 理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数（是虚数单位）的虚部为（ ）‎ A． B． C． -1 D．-2‎ ‎3．已知随机变量，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．等差数列中，，，则数列的前9项的和等于（ ）‎ A．66 B．99 C． 144 D．297‎ ‎5． 是一个平面，是两条直线，是一个点，若，，且，，则的位置关系不可能是（ ）‎ A．垂直 B．相交 C． 异面 D．平行 ‎6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．函数的图象可由函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到 ‎ C． 向左平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到 ‎8．已知偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则的值为（ ）‎ A． -3 B． -2 C． 2 D．3‎ ‎9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的周长可无限逼近圆的周长，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3．14，这就是著名的徽率，利用刘徽的割圆术设计的程序框图如图所示，若输出的，则判断框内可以填入（ ）（参考数据：，，）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（ ）‎ A． 20 B． 21 C． 22 D．24‎ ‎11．已知是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与的左支交于两点，若，且，则的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若直线与圆相切，则 ．‎ ‎14．甲乙两人从1,2,3，…，10中各任取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为 ．‎ ‎15．下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的序号）‎ ‎①已知，“且”是“”的充分条件；‎ ‎②已知平面向量，“且”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③已知，“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎④命题：“，使且”的否定为：“，都有且” ‎ ‎16． 的内角的对边分别为，若，，点满足且，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17． 已知数列满足，，数列满足，．‎ ‎（1）证明：为等比数列；‎ ‎（2）数列满足，求数列的前项和．‎ ‎18． 下表数据为某地区某种农产品的年产量（单位：吨）及对应销售价格（单位：千元/吨）．‎ ‎（1）若与有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若每吨该农产品的成本为13．1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润最大？‎ ‎19． 如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）为线段上一点，若二面角的平面角与二面角的平面角大小相等，求的长．‎ ‎20． 已知是抛物线的焦点，为抛物线上不同的两点，分别是抛物线在点、点处的切线，是的交点．‎ ‎（1）当直线经过焦点时，求证：点在定直线上；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎21． 已知函数．‎ ‎（1）当时，证明：；‎ ‎（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为，若射线，分别与交于两点．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设点是曲线上的动点，求面积的最大值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一． 选择题 ‎1-6：ACABDB 7-12：CDBBDC 二． 填空题 ‎13． ； 14．； 15． ③； 16． ；‎ 三． 解答题 ‎17．解：‎ ‎（1），‎ 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列 ‎（2） ‎ 累和得到 ‎ 当时，，‎ ‎18． 解：‎ ‎（I）， , ， 解得：， 所以：;‎ ‎（Ⅱ）年利润 ‎ 所以时，年利润最大．‎ ‎19． 解：‎ ‎(Ⅰ)∵平面平面，，∴平面 ∵底面，∴平面底面 (Ⅱ)取中点，连接 ‎，又因为平面底面，所以平面 以为原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系 平面的法向量， 平面的法向量， ， 则，∴ 设，所以 由上同理可求出平面的法向量 由平面、与平面所成的锐二面角的大小相等可得 ，∴ ∴‎ ‎20． 解：‎ ‎(Ⅰ)抛物线，则， ‎ ‎∴切线的方程为，即， ‎ 同理切线的方程为， ‎ 联立得点， 设直线的方程为，代入得。所以 所以点在直线上 ‎(Ⅱ) 设直线的方程为，代入得。‎ ‎，所以，‎ ‎ ‎ ‎21． 解：‎ ‎（Ⅰ）设 ‎ ‎ ‎ 在 ‎ 成立 ‎（Ⅱ）‎ 设 ‎ 令 ，由 有 设 在减 ‎ Ⅰ、时 在增 成立 Ⅱ、时在仅有一根，设根为 设 ‎ 存在唯一有当时 在减这与条件矛盾，所以时不成立 综上 ‎22． 解：‎ ‎（1）直线，令，解 ‎，解 又 ‎（2）直线 曲线 ‎ ‎ 当且仅当，即时取“=” ‎ ‎23． 解：‎ ‎（1）‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，恒成立 ‎ 当时，‎ 综上，解集为（错一个情况扣两分）‎ ‎（2）‎ 即