数学卷·2018届新疆乌鲁木齐七十中高二下学期3月月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届新疆乌鲁木齐七十中高二下学期3月月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年新疆乌鲁木齐七十中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（　　）‎ A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i ‎2．设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则必有（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．在的展开式中，含x7的项的系数是（　　）‎ A．60 B．160 C．180 D．240‎ ‎4．已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+≥2，x+≥3，x+=≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+≥5，则正数a=（　　）‎ A．4 B．5 C．44 D．55‎ ‎5．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎6．定积分的值为（　　）‎ A． B．π﹣2 C．2π﹣2 D．4π﹣8‎ ‎7．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）‎ B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）‎ C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）‎ D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）‎ ‎8．设（　　）‎ A．都大于2 B．至少有一个大于2‎ C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎9．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}‎ C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}‎ ‎11．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（　　）‎ A．48 B．36 C．28 D．12‎ ‎12．若关于x的不等式xex﹣ax+a＜0的解集为（m，n）（n＜0），且（m，n）中只有一个整数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的相应位置.‎ ‎13．若复数z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i，且为纯虚数，则|z1|=　　．‎ ‎14．已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为　　．‎ ‎15．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为　　．‎ ‎16．设函数f（x）=，g（x）=，若对任意的x1、x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．‎ ‎17．求曲线y=，x+y=6，y=﹣x围成的平面图形的面积．‎ ‎18．已知f（x）=（x2+ax+﹣2a﹣3）ex在x=2时取得极值．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求f（x）在区间[，3]上的最大值和最小值．‎ ‎19．若a＞b＞c＞d＞0，且a+d=b+c，求证：．‎ ‎20．现有4名男生、3名女生站成一排照相．（结果用数字表示）‎ ‎（1）女生甲不在排头，女生乙不在排尾，有多少种不同的站法？‎ ‎（2）女生不相邻，有多少种不同的站法？‎ ‎（3）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn=+n，an＞0．‎ ‎（1）求a1，a2，a3的值，并猜想an的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎22．已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．‎ ‎（I）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年新疆乌鲁木齐七十中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（　　）‎ A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．‎ ‎【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①‎ 又z+=2 ②‎ 由①②解得z=1﹣i 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则必有（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式先判断a2+b2与2ab的关系，然后以此对选项作出筛选．‎ ‎【解答】解：因为对任意a，b∈R，a≠b，有a2+b2＞2ab，‎ 所以＞ab，故排除A、C、D，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．在的展开式中，含x7的项的系数是（　　）‎ A．60 B．160 C．180 D．240‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用展开式的通项公式，令展开式中x的指数为7，求出r的值，即可计算对应项的系数．‎ ‎【解答】解：在的展开式中，‎ 通项公式为Tr+1=•（2x2）6﹣r•‎ ‎=•26﹣r•（﹣1）r•，‎ 令12﹣=7，解得r=2，‎ 所以含x7项的系数是•24•（﹣1）2=240．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+≥2，x+≥3，x+=≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+≥5，则正数a=（　　）‎ A．4 B．5 C．44 D．55‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】由已知中的不等式x+≥2，x+≥3，x+=≥4，归纳推理得：x+≥n+1，进而根据n+1=5，求出n值，进而得到a值．‎ ‎【解答】解：由已知中：x∈（0，+∞）时，‎ x+≥2，‎ x+≥3，‎ x+=≥4‎ ‎…‎ 归纳推理得：‎ x+≥n+1，‎ 若x+≥5，‎ 则n+1=5，即n=4，‎ 此时a=nn=44，‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】f′（x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=k﹣，‎ ‎∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．‎ ‎∴，‎ 而y=在区间（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴k≥1．‎ ‎∴k的取值范围是[1，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．定积分的值为（　　）‎ A． B．π﹣2 C．2π﹣2 D．4π﹣8‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据定积分的性质，将分展开﹣‎ ‎，利用定积分的运算，分别求出定积分值．‎ ‎【解答】利用定积分的运算法则将展开为：﹣，‎ ‎∴表示由以（2，0）为圆心，以2为半径圆的面积，‎ ‎∴=×4π=π，‎ ‎==2，‎ ‎∴分=π﹣2，‎ 故答案为：B．‎ ‎　‎ ‎7．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）‎ B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）‎ C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）‎ D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象．‎ ‎【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．‎ ‎【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．‎ 又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞‎ ‎0，故函数f（x）有极小值f（2）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．设（　　）‎ A．都大于2 B．至少有一个大于2‎ C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎【考点】分析法和综合法．‎ ‎【分析】假设：中都小于2，则，但由于=≥2+2+2=6，出现矛盾，从而得出正确答案：中至少有一个不小于2．‎ ‎【解答】解：由于=≥2+2+2=6，‎ ‎∴中至少有一个不小于2，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】‎ 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．‎ ‎【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，‎ 在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，‎ 如图：‎ 由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，‎ 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到 BO2=BE2+OE2，‎ 把数据代入得到OE=a，‎ ‎∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}‎ C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}‎ ‎【考点】函数单调性的性质；导数的运算．‎ ‎【分析】构造函数g（x）=ex•f（x）﹣ex，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式ex•f（x）＞ex+1的解集．‎ ‎【解答】解：令g（x）=ex•f（x）﹣ex，‎ 则g′（x）=ex•[f（x）+f′（x）﹣1]‎ ‎∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，‎ ‎∴g′（x）＞0恒成立 即g（x）=ex•f（x）﹣ex在R上为增函数 又∵f（0）=2，∴g（0）=1‎ 故g（x）=ex•f（x）﹣ex＞1的解集为{x|x＞0}‎ 即不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0}‎ 故选A ‎　‎ ‎11．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（　　）‎ A．48 B．36 C．28 D．12‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】根据题意，对于一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，分3种情况讨论，①、0被奇数夹在中间，②、2被奇数夹在中间，③、4被奇数夹在中间时，由组合式公式，分析求出每种情况下的排法数目，由分类加法原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：‎ ‎①、0被奇数夹在奇数中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，‎ 与2、4全排列，有A33=6种情况；‎ 故0被奇数夹在奇数中间时，有2×6=12种情况．‎ ‎②、2被奇数夹在奇数中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；‎ 再将1、2、3看成一个整体，与2、4全排列，有A33=6种情况，‎ 其中0在首位的有2种情况，则有6﹣2=4种排法；故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况．‎ ‎③、4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况．‎ 则这样的五位数共有12+8+8=28种，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．若关于x的不等式xex﹣ax+a＜0的解集为（m，n）（n＜0），且（m，n）中只有一个整数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由题意设g（x）=xex，y=ax﹣a，将条件转化为：g（x）=xex在直线y=ax﹣a下方，有一个交点，求出g′（x）后，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，画出两个函数的图象，结合函数图象和斜率公式求出KPA、KPB，可得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意设g（x）=xex，y=ax﹣a，‎ ‎∵原不等式有唯一整数解，‎ ‎∴g（x）=xex在直线y=ax﹣a下方，有一个交点，‎ ‎∵g′（x）=（x+1）ex，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，‎ ‎∴g（x）min=g（﹣1）=﹣，‎ ‎∵y=ax﹣a恒过定点P（1，0），‎ ‎∴结合函数图象得，KPA≤a＜KPB，‎ 又A（﹣2，），B（﹣1，），‎ ‎∴KPA=，KPB=，即≤a＜，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的相应位置.‎ ‎13．若复数z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i，且为纯虚数，则|z1|=　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由复数z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i，则=，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据已知条件列出方程组，求解可得a的值，代入z1，再由复数求模公式计算得答案．‎ ‎【解答】解：由复数z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i，‎ 则===，‎ ‎∵为纯虚数，‎ ‎∴，‎ 解得：a=．‎ 则z1=a+2i=，‎ ‎∴|z1|=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为　2　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，利用导数为﹣1，求出切点坐标，由切点在直线上，然后求出m的值．‎ ‎【解答】解：曲线y=x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′=2x﹣，‎ 由题意直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，‎ 可知2x﹣=﹣1，‎ 所以x=1，所以切点坐标为（1，1），‎ 切点在直线上，所以m=1+1=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为　36　．‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意，分2步进行分析：①、把4名调研员分成3组，一组2人，其余两组各1人，②、将分好的3组对应三个学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①、把4名调研员分成3组，一组2人，其余两组各1人，有C42=6种分组方法；‎ ‎②、将分好的3组对应三个学校，有A33=6种情况，‎ 则不同的分配方案有6×6=36种；‎ 故答案为：36．‎ ‎　‎ ‎16．设函数f（x）=，g（x）=，若对任意的x1、x2∈（0，+∞），不等式≤‎ 恒成立，则正数k的取值范围是　k≥　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】当x＞0时，将f（x）变形，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由≤恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．‎ ‎【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，‎ ‎∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e ‎∵g′（x）=，当x＜2时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，2）上单调递增 当x＞2时，g′（x）＜0，则函数在（2，+∞）上单调递减 ‎∴x=2时，函数g（x）有最大值g（2）=4，‎ 则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=4，‎ ‎∵≤恒成立且k＞0，‎ ‎∴≤，∴k≥，‎ 故答案为：k≥‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．‎ ‎17．求曲线y=，x+y=6，y=﹣x围成的平面图形的面积．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】方法一：求得交点坐标，根据定积分的几何性质，计算即可求得围成的平面图形的面积；‎ 方法二：求得交点坐标，对y积分，根据定积分的几何性质，计算即可求得围成的平面图形的面积．‎ ‎【解答】解：方法一：，解得：，则A（4，2），‎ 则C（6，0），‎ ‎，解得：，则B（8，﹣2），‎ 则阴影部分的面积dx+（﹣x+6）dx+S△OBC，‎ ‎=+（﹣x2+6x）+×6×2，‎ ‎=+2+6，‎ ‎=，‎ 则所围成的平面图形的面积S=．‎ 方法二：对y积分，则阴影部分的面积（6﹣y﹣y2）dy+S△OBC，‎ ‎=（6y﹣y2﹣y3）+×6×2，‎ ‎=+6，‎ ‎=，‎ 则所围成的平面图形的面积S=．‎ ‎　‎ ‎18．已知f（x）=（x2+ax+﹣2a﹣3）ex在x=2时取得极值．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求f（x）在区间[，3]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）由题意，f′（2）=0，求导，代入即可求得a的值；‎ ‎（2）由（1）可知，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得区间[，3]上的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=（x2+ax+﹣2a﹣3）ex，求导f′（x）=（2x+a）ex+ex（x2+ax+﹣2a﹣3）=[x2+（a+2）x﹣a﹣3]ex，‎ 由f（x）在x=2时取得极值，则f′（2）=0，即4+（a+2）×2﹣a﹣3=0，解得：a=﹣5，‎ ‎∴a的值﹣5；‎ 则f（x）=（x2+ax+﹣2a﹣3）ex，‎ ‎（2）由f（x）=（x2+ax+﹣2a﹣3）ex，f′（x）=[x2﹣3x+2]ex=（x﹣2）（x﹣1）ex，‎ 由f′（x）=0，解得：x=1或x=2，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，1）递增，在（2，+∞）递增，由f′（x）＜0，得f（x）在（1，2）递减，‎ 则当x=2时，取最小值，最小值为f（2）=e2，‎ f（）=，f（3）=e3，‎ ‎∵f（3）﹣f（）=e3﹣=（4e﹣7）＞0，‎ 则f（3）＞f（），‎ ‎∴f（x）在的最大值是f（3）=e3，‎ ‎∴f（x）在区间[，3]上的最大值e3和最小值e2．‎ ‎　‎ ‎19．若a＞b＞c＞d＞0，且a+d=b+c，求证：．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】利用分析法进行证明即可．‎ ‎【解答】证明：要证明，‎ 只需证明d+a+2＜b+c+2，‎ ‎∵a+d=b+c，‎ 只需证明2＜2，‎ 只需证明ad＜bc，‎ 只需证明a（b+c﹣a）＜bc，‎ 只需证明ab﹣a2+ac﹣bc＜0，‎ 只需证明（a﹣b）（c﹣a）＜0，‎ ‎∵a＞b＞c，∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，‎ ‎∴（a﹣b）（c﹣a）＜0，‎ 综上，．‎ ‎　‎ ‎20．现有4名男生、3名女生站成一排照相．（结果用数字表示）‎ ‎（1）女生甲不在排头，女生乙不在排尾，有多少种不同的站法？‎ ‎（2）女生不相邻，有多少种不同的站法？‎ ‎（3）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】（1）根据题意，分2种情况讨论：①、女生甲排在队尾，②‎ 女生甲排不在队尾，每种情况下依次分析女生乙和其他5名女生的站法数目，有分步计数原理可得每种情况下的站法数目，由加法原理，将两种情况的站法数目相加，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，用插空法分2步进行分析：①、将4名男生全排列，排好后包括两端，有5个空位，②、在5个空位中任选3个，安排3名女生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；‎ ‎（3）根据题意，将7人全排列，计算可得7人的站法数目，分析可得：女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，由倍分法计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎①、女生甲排在队尾，女生乙有6个位置可选，‎ 剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55种情况，‎ 此时有6×A55=720种站法；‎ ‎②女生甲排不在队尾，女生甲有5个位置可选，女生乙不在排尾，女生乙有5个位置可选，‎ 剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55种情况，‎ 此时有5×5×A55=3000种站法；‎ 则一共有720+3000=3720‎ ‎（2）根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①、将4名男生全排列，有A44=24种顺序，排好后包括两端，有5个空位，‎ ‎②、在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53=60种情况，‎ 则此时有24×60=1440种站法；‎ ‎（3）根据题意，将7人全排列，有A77=5040种顺序，‎ 女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，‎ 则女生甲要在女生乙的右方的排法有×A77=2520种情况．‎ ‎　‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn=+n，an＞0．‎ ‎（1）求a1，a2，a3的值，并猜想an的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】（1）分别令n=1，2，3，能够求出求a1，a2，a3，猜想：an=n，‎ ‎（2）由2Sn=an2+n可知，当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣12+（n﹣1），所以an2=2an+an﹣12﹣1再用数学归纳法进行证明；‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，2S1=a12+1=2a1，解得a1=1，‎ 当n=2时，2S2=a22+2=2a1+2a2，解得a2=2，‎ 当n=3时，2S3=a32+3=2a1+2a2+2a3，解得a3=3，‎ 并猜想an=n ‎（2）①当n=1时，a1=1成立；‎ ‎②假设当n=k时，ak=k．‎ 那么当n=k+1时，‎ ‎∵2Sk+1=ak+12+k+1，∴2（ak+1+Sk）=ak+12+k+1，‎ ‎∴ak+12=2ak+1+2Sk﹣（k+1）=2ak+1+（k2+k）﹣（k+1）=2ak+1+（k2﹣1）⇒[ak+1﹣（k+1）][ak+1+（k﹣1）]=0．‎ ‎∵ak+1+（k﹣1）＞0，∴ak+1=k+1，这就是说，当n=k+1时也成立，‎ 故对于n∈N*，均有an=n．‎ ‎　‎ ‎22．已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．‎ ‎（I）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，‎ 得f′（x）=a（1﹣）+‎ ‎==（x＞0）．‎ 若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，‎ ‎∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，‎ 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；‎ 当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，‎ 当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；‎ 若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；‎ 若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，‎ 当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；‎ ‎（Ⅱ）解：∵a=1，‎ 令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+．‎ 令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．‎ 则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），‎ 由，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；‎ 又，‎ 设φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，‎ 且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，‎ ‎∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0） 时φ（x0）＞0，x∈（x0‎ ‎，2）时，φ（x0）＜0，‎ ‎∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，‎ 由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2取等号，‎ ‎∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，‎ ‎∴F（x）＞恒成立．‎ 即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．‎