数学卷·2018届四川省成都经济技术开发区实验中学校高二10月月考文数试题 （解析版）

数学卷·2018届四川省成都经济技术开发区实验中学校高二10月月考文数试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！四川省成都经济技术开发区实验中学校2016-2017学年高二10月月考 文数试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.已知等差数列中，，公差，则使前项和取最小值的正整数的值是 A．4和5 B．5和6 C.6和7 D．7和8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，所以使前项和取最小值的正整数的值为6和7‎ 考点：数列性质 ‎ ‎2.△ABC的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：若成等比数列，设 ‎ 考点：余弦定理 ‎3.执行如右图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是 A. 99 ‎ B. 100 ‎ C. 120 ‎ D. 142‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：程序执行中的数据变化如下： 不成立，所以输出 考点：程序框图 ‎4.若集合A={0，1}，B={x|x2+（1﹣a2）x﹣a2=0}，则“A∩B={1}”是“a=1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：对于B：x2+（1﹣a2）x﹣a2=0，因式分解为（x-a2）（x+1）=0，解得x=a2或-1．‎ 由A∩B={1}，解得a=±1．‎ ‎∴“A∩B={1}”是“a=1”的必要不充分条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎5.已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为 ‎ A． B． C． D．【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由俯视图可知该几何体为四棱锥，棱锥高为5，底面面积为 ‎ 考点：棱锥体积 ‎6.将椭圆按φ：，变换后得到圆，则 A．λ=3，μ=4 B．λ=3，μ=2 C．λ=1，μ= D．λ=1，μ=‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：代入得 考点：伸缩变换 ‎7.若是函数的两个不同的零点，且，，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 A．6 B．7 C.8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得：a+b=p，ab=q，‎ ‎∵p＞0，q＞0，‎ 可得a＞0，b＞0，‎ 又a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，‎ 可得①或②．‎ 解①得：；解②得：．‎ ‎∴p=a+b=5，q=1×4=4，‎ 则p+q=9．‎ 考点：等比数列的性质；等差数列的性质 ‎8.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为 A．2 B．16 C． D． ‎ ‎【答案】D 考点：简单空间图形的三视图 ‎9.在正方体中，点为底面上的动点，若三棱锥的表面积最大，则点位于 A．线段的中点处 B．线段的中点处 C．点处 D．点处 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：如图，‎ E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，‎ 对三棱锥B-D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，‎ 面BCD1 的面积为定值，‎ 要使三棱锥B-D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1 的面积和最大，‎ 而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，‎ ‎∴E点位于点A处时，三棱锥B-D1EC的表面积最大 考点：棱柱的结构特征 ‎ ‎10.一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 O 数列，若 a =8，且成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 A．13，12 B．13，13 C．12，13 D．13，14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设公差为d，由a3=8，且成等比数列，可得64=（8-2d）（8+4d）=64+16d-8d2，即，0=16d-8d2，又公差不为0，解得d=2‎ 此数列的各项分别为4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，‎ 故样本的中位数是13，平均数是13‎ 考点：等差数列与等比数列的综合；众数、中位数、平均数 ‎11.若椭圆双曲线有相同的焦点，点P 是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是 A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，‎ 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，‎ 由它们有相同的焦点，得到m-n=4．‎ 不妨设m=5，n=1，‎ 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为2，‎ 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2，①‎ 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=，②‎ ‎①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=12，‎ ‎∴PF1•PF2=4，‎ 又|F1F2|=，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，‎ 则△F1PF2的形状是直角三角形 ‎△F1PF2的面积为•PF1•PF2= ×4=2‎ 考点：圆锥曲线的共同特征 ‎12.已知F1，F2是双曲线的左右焦点，若双曲线右支上存在一点与点F1关于直线对称，则该双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意过F1（c，0）且垂直于的直线方程为y＝ (x−c)，‎ 它与的交点坐标为，所以点P的坐标为，‎ 因为点P在双曲线上，，‎ ‎∵，可得 考点：双曲线的简单性质 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若等比数列的各项均为正数，且，则_________‎ ‎【答案】50‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：等比数列性质及对数运算 ‎14.某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 ‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设女员工抽取人数为 ‎ 考点：分层抽样 ‎15.已知椭圆E:（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A、B两点；若，点M到直线的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，‎ 设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，‎ ‎∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．‎ 取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，‎ ‎∴，解得b≥1．‎ ‎∴．‎ ‎∴椭圆E的离心率的取值范围是．‎ 考点：椭圆的简单性质 ‎ ‎16.已知P为抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（2，0），则|PA|+|PM|的最小值为　 　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可知，抛物线x2=4y的焦点F为（0，1），准线方程为y=-1，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值1不会影响讨论结果），由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点F的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可，显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|=，那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|-1=‎ 考点：抛物线的简单性质 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．‎ ‎（I）求直线OM的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．‎ ‎【答案】（I）y=x（Ⅱ）‎ 考点：圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化 ‎18.（本小题满分12分）‎ 央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜，第一轮3题答对2题，可获得小物件（家电），价值1600元;第二轮3题答对2题，可获得大物件（家具）价值5400元（第一轮的答题结果与第二轮答题无关），某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的知识答题赢取大奖送给父母，若吴乾同学第一轮3‎ 题，每题答对的概率均为，第二轮三题每题答对的概率均为.‎ ‎（Ⅰ）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率;‎ ‎（Ⅱ）若吴乾同学答题获得的物品价值记为（元）求的概率分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意赢取小物件即第一轮答对2题，故概率，计算即可；‎ ‎（2）赢取大物件即第二轮答对2题，可得概率，化简可得；‎ 同理可求P（X=0）和P（X=1600）和P（X=5400）以及P（X=7000），可得X的分布列和期望值 试题解析：（1）=；‎ ‎（2）计算赢取大物件的概率：‎ ‎=，‎ 得到的分布列为： ‎ ‎0‎ ‎1600‎ ‎5400‎ ‎7000‎ 或 ‎0‎ ‎1600‎ ‎5400‎ ‎7000‎ ‎ ‎ ‎（元）‎ 另外：若第一轮答题获得的物品价值记为（单位：元），若第二轮答题获得的物品价值 记为（单位：元）. 则：= +‎ 可得（元）.‎ 考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列 ‎19.（本题满分12分）‎ 已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）‎ ‎（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）由得，即可得到ρ．进而得到点A，B的极坐标．（II）由曲线的极坐标方程化为，即可得到普通方程为．将直线代入，整理得．进而得到|MN|．‎ 试题解析：（Ⅰ）由得：，‎ ‎∴ρ2=16，‎ 即ρ=±4．‎ ‎∴A、B两点的极坐标为：或．‎ ‎（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，‎ 得到普通方程为x2﹣y2=8．‎ 将直线代入x2﹣y2=8，‎ 整理得．‎ ‎∴|MN|==．‎ 考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程 ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别是棱的中点，且平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）取SD中点F，连结AF，PF．证明PQ∥AF．利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面SAD．（Ⅱ）连结BD，证明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，得到SE⊥AC．证明EQ⊥AC，然后证明AC⊥平面SEQ，进而得到平面平面 试题解析：（1）取中点，连结.‎ ‎∵分别是棱的中点，∴，且.‎ ‎∵在菱形中，是的中点，‎ ‎∴，且，即且.‎ ‎∴为平行四边形，则.‎ ‎∵平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）连结，∵是菱形，∴，‎ ‎∵分别是棱的中点，∴，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ ‎∵，平面，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，，和的等差中项为13.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过设等差数列的公差为d，利用解得可知首项和公差，代入公式计算即得结论；（2）通过（1）可知an=2n+1，进而裂项、并项相加即得结论 试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，……2分 所以解得，，……………4分 所以，………………5分 ‎，……………6分 ‎（2）由（1）知，所以，……9分 所以.………12分 考点：数列的求和；等差数列的性质 ‎22.（本小题满分12分）‎ 数列的前项和为，且，数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（3）设数列满足，其前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由数列的前n项和借助于公式求解通项；（2）将数列递推公式变形可得到数列为等比数列，并借助于这个等比数列求解数列的通项公式；（3）由数列数列的通项公式整理得，求和时采用错位相减法 试题解析：（1）①当时，，∴．………………2分 ‎②当时，，∴，‎ ‎∴数列是以为首项，公比为的等比数列；…………3分 ‎∴．……………………5分 ‎（2）∵，∴，‎ 又∵，∴是以3为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴，∴．………7分 ‎（3）．………………9分 ‎，‎ ‎∴．………………　14分 考点：数列求通项公式及求和 ‎ ‎ ‎