数学文卷·2018届湖南省益阳市高三4月调研考试（2018

数学文卷·2018届湖南省益阳市高三4月调研考试（2018

益阳市2018届高三4月调研考试 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知命题“，”，则命题为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎4.已知向量，，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.如图所示的程序框图，若输出的，则输入的值为（ ）‎ A． B． C. D．或 ‎6.现有张牌面分别是，，，，，的扑克牌，从中取出张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为，则（ ）‎ A．无限大 B． ‎ C. D．可以取 ‎9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，则的周长为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设双曲线的左焦点，直线与双曲线在第二象限交于点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数其中为自然对数的底数.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数的图象关于点对称，则 ．‎ ‎14.已知，满足约束条件则的最小值为 ．‎ ‎15.已知斜率为，且在轴上的截距为正的直线与圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，则 ．‎ ‎16.分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等差数列的公差为，且方程的两个根分别为，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎18. 在三棱锥中，底面，，，是的中点，是线段上的一点，且，连接，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎19. 某校高一年级共有名学生，其中男生名，女生名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为分）.为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取名学生的成绩，按从低到高分成，，，，，，七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知的频率等于的频率，的频率与的频率之比为，成绩高于分的为“高分”.‎ ‎（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数；‎ ‎（2）请你根据已知条件将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格（分以上（含分）为及格）与性别有关 ‎”？‎ 口语成绩及格 口语成绩不及格 合计 男生 女生 合计 附临界值表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎20. 已知抛物线的方程为，过点（为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为，.‎ ‎（1）过焦点且在轴上截距为的直线与抛物线交于，两点，，两点在轴上的射影分别为，，且，求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.‎ ‎21. 已知函数（，为自然对数的底数）.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆以极坐标系中的点为圆心，为半径.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）判断直线与圆之间的位置关系.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CCDBD 6-10:DBBAB 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 15.或 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题知，‎ 解得 故数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 则 ‎.‎ ‎18.解：（1）因为，所以.‎ 又，，‎ 所以在中，由勾股定理，‎ 得.‎ 因为，‎ 所以是的斜边上的中线.‎ 所以是的中点.‎ 又因为是的中点，‎ 所以直线是的中位线，‎ 所以.‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）由（1）得，.‎ 又因为，.‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以.‎ 易知，且，‎ 所以.‎ 设点到平面的距离为，‎ 则由，‎ 得，‎ 即，‎ 解得.‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎19.解：（1）设的频率为，‎ 则的频率为，的频率为.‎ 则，‎ 解得.‎ 故的频率为，的频率为.‎ 故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的频率为.‎ 故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数为.‎ ‎（2）根据已知条件得列联表如下：‎ 口语成绩及格 口语成绩不及格 合计 男生 ‎40‎ 女生 ‎60‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ 因为，‎ 所以有的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格与性别有关”.‎ ‎20.解：（1）因为抛物线的焦点坐标是，‎ 所以过焦点且在轴上截距为的直线方程是 ，即.‎ 联立消去并整理，得，‎ 设点，，‎ 则，.‎ 则 ‎，‎ 解得.‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）设点，.‎ 依题意，由，得，‎ 则.‎ 所以切线的方程是，‎ 即.‎ 又点在直线上，‎ 于是有，‎ 即.‎ 同理，有，‎ 因此，，是方程的两根，‎ 则，.‎ 所以，‎ 故为定值得证.‎ ‎21.解：（1）由题知，函数的定义域是.‎ ‎，‎ 当时，对任意恒成立，‎ 所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间；‎ 当时，令，得；‎ 令，得；‎ 所以函数的单调递增区间是，‎ 单调递减区间是.‎ ‎（2）当时，恒成立，‎ 即为恒成立，‎ 即为恒成立.‎ 设，‎ 则.‎ 显然在区间上单调递增，且，‎ 所以当时，；当时，；‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ 所以，‎ 解得.‎ 即实数的最小值是.‎ ‎22.解：（1）点化为直角坐标是，‎ 故以点为圆心，为半径的圆的直角坐标方程是，‎ 将，代入上式，‎ 可得圆的极坐标方程是.‎ ‎（2）由得，得，‎ 故直线的直角坐标方程为.‎ 因为圆心到直线的距离 ‎，‎ 所以直线与圆相交.‎ ‎23.解：（1）当时，.‎ 当时，由，得；‎ 当时，由，得；‎ 当时，由，得.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）由，得.‎ 令 作出的图象如图所示，‎ 由题意知的图象恒在函数的图象的下方.‎ 由图象可知，当经过点时，解得或.‎ 当时，的图象经过点，显然不成立；‎ 当时，的图象经过点，成立，‎ 所以，‎ 即实数的取值范围为.‎