2021版高考数学一轮复习核心素养测评六函数的奇偶性、对称性与周期性理北师大版
核心素养测评六 函数的奇偶性、对称性与周期性
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是
( )
A.y=- B.y=log2|x|
C.y=1-x2 D.y=x3-1
【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上是增加的,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.
【变式备选】
下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上是增加的函数是 ( )
A.y= B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
【解析】选B.因为y=是奇函数,y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|均为偶函数,所以A错误;又因为y=-x2+1,y=2-|x|=在(0,+∞)上均为减少的,只有y=|x|+1在(0,+∞)上为增加的,所以C,D错误.
2.已知函数f(x)=的图像关于原点对称,g(x)=ln (ex+1)-bx是偶函数,则logab= ( )
A.1 B.-1 C.- D.
【解析】选B.由题意得f(0)=0,所以a=2.
因为g(1)=g(-1),
所以ln (e+1)-b=ln +b,所以b=,所以log2=-1.
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3.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.增函数 D.周期函数
【解析】选D.函数f(x)=x-[x]在R上的图像如图:
所以f(x)在R上是周期为1的函数.
4.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】选C.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)·g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数.
5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,2)上单调递减,则下列结论正确的是( )
A.0
f(0)>f(1),即f(1)<00时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=
________________.
【解析】函数f(x)在R上为奇函数,f(-x)=-f(x);且x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+x)=-x2-x.
答案:-x2-x
7.(2019·东莞模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0]上是增加的,且f(3)=0,则不等式f(1-2x)>0的解集为________________.
【解析】根据题意,因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上是增加的,所以函数f(x)在[0,+∞)上是减少的,由f(3)=0,则不等式f(1-2x)>0⇒f(1-2x)>f(3)⇒|1-2x|<3,解得-10,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).
于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上是增加的,
结合f(x)的图像知所以1f(2a)>f(0)
B.f(a)>f(0)>f(2a)
C.f(2a)>f(a)>f(0)
D.f(2a)>f(0)>f(a)
【解析】选C.因为函数f(x)=(a∈R)为偶函数,
所以f(-1)=f(1),解得a=1.又因为函数在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(2a)>f(a)>f(0).
【变式备选】
设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是
( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
【解析】选A.由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),所以|g(x)|=|g(-x)|,即|g(x)|为偶函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.
2.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 ( )
A.奇函数,且在(0,1)内是增加的
B.奇函数,且在(0,1)内是减少的
C.偶函数,且在(0,1)内是增加的
D.偶函数,且在(0,1)内是减少的
【解析】选A.易知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则y=f(x)为奇函数,又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增加的,所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增加的.
3.(5分)(2020·海口模拟)设函数f(x)=,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是________________.
【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)==1-,故f(x)单调递增,又f(0)=0,从而f(x)在R上是增加的,故f(x)>f(2x-1)等价于x>2x-1,解得x<1.
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答案:(-∞,1)
【变式备选】
设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减少的,若f(1-m)0,则-x<0.
所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,
所以g(x)=
5.(10分)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值.
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积.
【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
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所以f(x)是以4为周期的周期函数,
所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)
=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),
得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图像关于原点成中心对称,则f(x)的图像如图所示.
当-4≤x≤4时,f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.
1.(2020·重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则f(2 019)= ( )
A.1 B.-1 C.0 D.log23
【解析】选B.因为奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),
即f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的函数,
因为当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),
所以f(2 019)=f(505×4-1)=f(-1)
=-f(1)=-log22=-1.
2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上是减少的,在(2,3)上是增加的;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________________.
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【解析】在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,
则有f(t+2)=f(t),
因此2是函数f(x)的周期,故①正确;
当x∈[0,1]时,f(x)=2x是增加的,
根据函数的奇偶性知,f(x)在[-1,0]上是减少的,根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减少的,在(2,3)上是增加的,故②正确;
由②知,f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=20=1且f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)的最大值是2,最小值是1,故③错误.
答案:①②
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