2019学年高二数学下学期期末考试试题 文 新人教版(1)

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- 1 - 2019 学年第二学期期末调研考试 高二数学（文科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设 为虚数单位，则 （ ） A． B． C． D． 2.在集合 上定义两种运算 和 如下： 那么 （ ） A． B． C． D． 3.下列命题中的假命题是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 4.设某大学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性相关关系，根据一 组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下 列结论中不正确的是（ ） A． 与 具有正的线性相关关系 i ( ) ( ) 3 2 1 1 i i + = − 1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− − { }, , ,a b c d ⊕ ⊗ ( )d a c⊗ ⊕ = a b c d x R∀ ∈ 12 0x− > x N ∗∀ ∈ ( )21 0x − > x R∃ ∈ lg 1x < x R∃ ∈ tan 2x = y kg x cm ( )( ), 1,2, ,i ix y i n=   0.85 85.71y x= − y x - 2 - B．回归直线过样本点的中心 C．若该大学某女生身高增加 ，则其体重约增加 D．若该大学某女生身高为 ，则可断定其体重必为 5.双曲线虚轴的一个端点为 ，焦点为 、 ， ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C. D． 6.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 户家庭，得到如下统 计数据表： 收入 （万 元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 （万 元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 ，其中 ， ，据此估计，该社区一户 年收入为 万元家庭的年支出为 （ ） A． 万元 B． 万元 C. 万元 D． 万元 8.已知 ， 是椭圆 的两个焦点，过 且垂直于 轴的直线与 交于 ， 且 ，则 的方程为（ ） A． B． C. D． 9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说： “是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”， 四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） ( ),x y 1cm 0.85kg 170cm 58.79kg M 1F 2F 1 2 120F MF∠ =  3 6 2 6 3 3 3 x R∈ 2 1x − < 2 2 0x x+ − > 5 x y  y bx a= + 0.76b = a y bx= −  15 11.4 11.8 12.0 12.2 ( )1 1,0F − ( )2 1,0F C 2F x C A B 3AB = C 2 2 12 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 15 4 x y+ = - 3 - A．甲 B．乙 C.丙 D．丁 10.曲线 在点 处切线的斜率等于（ ） A． B． C. D． 11.设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，则 （ ） A． B． C. D． 12.设直线 与函数 ， 的图像分别交于点 ， ，则 的最小 值为（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.平面上有 条直线，其中，任意两条直线不平行，任意三条直线不共点， 那么这些直线的交点个数为 ． 14.曲线 在点 处的切线方程是 ． 15.已知点 是抛物线 上的一个动点，则 到点 的距离与 到该抛物线准线的 距离之和的最小值为 ． 16.设 ，如果关于 的方程 ， ， 至少有一个有实数根，那么 的取值范围 是 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设函数 在 及 时取得极值. （Ⅰ）求 、 的值； （Ⅱ）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围. 1 2 1xy xe x−= + − ( )1,2 3 4 2 1e + 5 2 F 2: 3C y x= F 30 C A B AB = 30 3 6 12 7 3 x t= ( ) 2f x x= ( ) lng x x= M N MN 2 2 4 2ln 2− 1 ln 24 + 1 1 ln 22 2 + ( )1,n n n N +> ∈ 21ln 2 y x x x = + − − ( )1,0M P 2 2y x= P ( )0,2 P m R∈ x ( )2 2 2 3 0x m x m+ − + − = 2 4 5 0x x m+ + − = ( )2 24 2 4 5 1 0x m x m m− + + + + = m ( ) 3 22 3 3 8f x x ax bx c= + + + 1x = 2x = a b [ ]0,3x∈ ( ) 2f x c< c - 4 - 18. 微信红包是一款年轻人非常喜欢的手机应用.某网络运营商对甲、乙两个品牌各 种型号 的手机在相同环境下抢到红包的个数进行统计，得到如下数据： 品牌 型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 甲品牌（个） 4 3 8 6 12 乙品牌（个） 5 7 9 4 3 红包个数 手机品牌 优良 一般 合计 甲品牌（个） 乙品牌（个） 合计 （Ⅰ）如果抢到红包个数超过 个的手机型号为“优良”，否则为“一般”，请完成上述表格， 并据此判断是否有 的把握认为抢到红包的个数与手机品牌有关？ （Ⅱ）不考虑其它因素，现要从甲、乙两品牌的 种型号中各选出 种型号的手机进行促销活 动，求恰有一种型号是“优良”，另一种型号是“一般”的概率； 参考公式：随机变量 的观察值计算公式： ， 其中 .临界值表： 0.10 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法.为此， 相关部分在该市随机调查了 户居民六月份的用电量（单位： ）和家庭收入（单位： 万元），以了解这个城市家庭用电量的情况. 用电量数据如下： . 对应的家庭收入数据如下： 5 5 90% 5 1 2K ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0k 20 .kW h 18,63,72,82,93,98,106,110,118,130,134,139,147,163,180,194,212,237,260,324 0.21,0.24,0.35,0.40,0.52,0.60,0.58,0.65,0.65,0.63,0.68,0.80,0.83,0.93,0.97, - 5 - . （Ⅰ）根据国家发改委的指示精神，该市计划实施 阶阶梯电价，使 的用户在第一档， 电价为 元/ ； 的用户在第二档，电价为 元/ ； 的用户在第三档 ，电价为 元/ ，试求出居民用电费用 与用电量 间的函数关系； （Ⅱ）以家庭收入 为横坐标，电量 为纵坐标作出散点图（如图），求 关于 的回归直线 方程（回归直线方程的系数四舍五入保留整数）. （Ⅲ）小明家的月收入 元，按上述关系，估计小明家月支出电费多少元？ 参考数据： ， ， ， ， . 参考公式：一组相关数据 ， ，…， 的回归直线方程 的斜率 和截距的最小二乘法估计分别为 ， ，其中 ， 为样本均值. 20. 已知函数 . （Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， . 21. 已知椭圆 的焦距为 ，且过点 . 0.96,1.1,1.2,1.5,1.8 3 75% 0.56 .kW h 20% 0.61 .kW h 5% 0.86 .kW h Q x t x x t 7000 20 1 2880i i x = =∑ 20 1 15.6i i t = =∑ 20 1 2803.2i i i x t = ⋅ =∑ 20 2 1 15.25i i t = =∑ 20 2 1 517794i i x = =∑ ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y  y bx a= + 1 22 1 n i i i n i i x y nx y b x nx = = − ⋅ = − ∑ ∑  a y bx= −  x y ( ) ( ) 21 ln 1f x a x ax= + + + 2a = ( )y f x= ( )( )1, 1f 2a ≤ − ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( )1 2 1 24f x f x x x− ≥ − ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 4 ( )2, 3P - 6 - （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设 为椭圆 上一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 .取点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 .点 是点 关于 轴的对称点， 作直线 ，问这样作出的直线 是否与椭圆 一定有唯一的公共点？并说明理由. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）.在极坐标系（与 平面直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴）中， 直线 的方程为 . （Ⅰ）求圆 的普通方程及直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设平面直角坐标系 中的点 ，经过点 倾斜角为 的直线 与 相交于 ， 两点，求 的取值范围. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 ， ， ，函数 . （Ⅰ）如果 ， ， ，求不等式 的解集； （Ⅱ）如果 的最小值为 ，求 的最小值. C ( )( )0 0 0 0, 0Q x y x y ≠ C Q x E ( )0,2 2A AE A AE x D G D y QG QG C xOy C 1 3cos , 2 3sin x t y t = +  = − + t xOy O x l ( )2 sin 4 m m R πρ θ − = ∈   C l xOy ( )2,2P − P α L C A B PA PB+ 0a > 0b > 0c > ( )f x x a x b c= + + − + 2a = 1b = 1c = ( ) 8f x ≥ ( )f x 4 2 2 2a b c+ + - 7 - 试卷答案 一、选择题 1-5:DABDB 6-10:ABCCA 11、12：CD 二、填空题 13. 14. 15. 16. 或 三、解答题 17.解：（Ⅰ） ． 因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ． 所以， ，即 ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， ． 当 时， ；当 时， ；当 时， ． 所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ． 则当 时， 的最大值为 ． 因为对于任意的 ，有 恒成立，所以 ， 解得 或 ，因此 的取值范围为 ． 18.（本小题满分 12 分） 解：（I） ． ( 1)n n − 2 2 1 0x y+ − = 17 2 0m ≤ 1m ≥ 2( ) 6 6 3f x x ax b′ = + + ( )f x 1x = 2x = (1) 0f ′ = (2) 0f ′ = 1 2, 1 22 ba− = + = × 3a = − 4b = 3 2( ) 2 9 12 8f x x x x c= − + + 2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x′ = − + = − − (01)x∈ ， ( ) 0f x′ > (1 2)x∈ ， ( ) 0f x′ < (2 3)x∈ ， ( ) 0f x′ > 1x = ( )f x (1) 5 8f c= + (0) 8f c= (3) 9 8f c= + [ ]0 3x∈ ， ( )f x (3) 9 8f c= + [ ]0 3x∈ ， 2( )f x c< 29 8c c+ < 1c < − 9c > c ( 1) (9 )−∞ − + ∞， ， 红包个数 手机品牌 优 良 一 般 合 计 甲品牌（个） 3 2 5 乙品牌（个） 2 3 5 合 计 5 5 10 2 2 10 (3 3 2 2) 0.4 2.7065 5 5 5K × × − ×= = <× × × - 8 - 所以，没有 90%的把握认为抢到红包的个数与手机品牌有关． （Ⅱ）记“所选的两种型号中，一种型号是“优良”，另一种型号是“一般””为事件 A． 由（Ⅰ）中的表格数据可得， “两种型号中，各选一种”共有 5×5=25 种方法， 甲型号“优良”，乙型号“一般”共有 3×3=9 种方法， 甲型号“一般”，乙型号“优良”共有 2×2=4 种方法． 所以， ． 19.解：（I）因为 ， 所以从用电量数据中得到第一档的临界值为第 15 个样本，即 180， 第二档的临界值为第 19 个样本，即 260．因此， 所以， （II）由于 ， ， ， 所以 ， 从而回归直线方程为 ． （Ⅲ）当 时， ， ，所以，小明家月支出电费 72.8 元． 温馨提示：由于学生手工计算，难免会产生这样或那样的计算误差，望评卷老师酌情扣分。 建议第（Ⅰ）问 0 误差，第（Ⅱ）问误差控制在±3，第（Ⅲ）问 0 误差． 9 4 13( ) 25 25P A += = 20 75% 15,20 95% 19× = × = 0.56 ,0 180, ( ) 0.56 180 0.61( 180),180 260 0.56 180 0.61(260 180) 0.86( 260), 260 x x Q x x x x x ≤ ≤ = × + − < ≤  × + − + − > 0.56 , 0 180 ( ) 0.61 9, 180 260 0.86 74, 260. x x Q x x x x x ≤ ≤ = − < ≤  − > ， ， 20 1 1 2880 14420 20i i x x = = = =∑ 20 1 1 15.45 0.7820 20i i t t = = = =∑ 1 222 1 2803.2 20 144 0.78ˆ 180.6615.25 20 .78 n i i i n i i x t nxt b t nt = = − − × ×= = =− ×− ∑ ∑ ˆˆ 144 180.66 0.78 3.085a x bt= − = − × = ˆ 181 3x t= + 0.7t = 181 0.7 3 129.7 130x = × + = ≈ ( ) 130 0.56 72.8Q x = × = - 9 - 20.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）当 时， ， ． ∴ ， ∴曲线 在 处的切线方程为 ． （Ⅱ）∵ ， f（x）的定义域为（0，+ ）， ， ∴f（x）在（0，+ ）上单调递减． 不妨假设 x1≥x2，那么 等价于 ≥4x1－4x2， 即 f（x2）+ 4x2≥f（x1）+ 4x1． 令 g（x）=f（x）+4x，则 +4＝ ． ∵ ， ，∴ ≤ ＝ ≤0． 从而 g（x）在（0，+ ）单调减少，故 g（x1）≤g（x2），即 f（x1）+ 4x1≤f（x2）+ 4x2， 故对任意 x1，x2∈（0，+ ） ， ． 21.解：（I）由已知 ． ∵椭圆过点 ， 且 ． ， ，所以椭圆 C 的方程是 ． （Ⅱ）由题意可得 ，所以直线 AE 的斜率为 ， ∴直线 AD 的斜率为 ，方程为 ． 令 得 ，因此 ． ( )y f x= ( )1, (1)f 2a = 2( ) 3ln 2 1f x x x= + + 3( ) 4f x xx ′ = + (1) 3, (1) 7f f ′= = 7 4y x= − 2a ≤ − ∞ 21 2 1( ) 2 0a ax af x axx x + + +′ = + = < ∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ − 2 1( ) ( )f x f x− 1( ) 2ag x axx +′ = + 22 4 1ax x a x + + + 2a ≤ − 0x > ( )g x′ 24 4 1x x x − + − 2(2 1)x x − − ∞ ∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ − 2c = ( 2 3)P ， ∴ 2 2 2 3 1a b + = 2 2 2a b c= + ∴ 2 8a = 2 4b = 2 2 18 4 x y+ = 0( ,0)E x 0 2 2 AEk x = − 0 2 2AD xk = 0 2 2 2 2 xy x= + 0y = 0 8( ,0)D x − 0 8( ,0)G x - 10 - ∴ 的直线方程为 ，即 ． 又∵ ，∴ ， ∴直线 QG 的方程化为 ． 将 QG 的方程代入 得 ， 即 ． 因为 ， 所以直线 与椭圆只有一个公共点． 22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：极坐标与参数方程 解：（Ⅰ）消去参数 t 得圆 C 的普通方程为 ． 由 ，得 ，即 ∴直线 的直角坐标方程 ． （Ⅱ）设直线 L 的方程为 （ 为参数）， 代入圆 C 的方程得 ． 由 t 的几何意义可知， ， ． ∵ ，∴ ． ∴ ． 因此， 的取值范围为 ． 23.解：（Ⅰ）当 时，原不等式可化为 ，解得 ； 当 时，原不等式可化为 ，无解； 当 时，原不等式可化为 ，解得 ． QG 0 0 0 0 8 0 8 x xy y x x −− = − 2 0 0 0 0( 8) 8 0x y x x y y− − − = 2 2 0 0 18 4 x y+ = 2 2 0 08 2x y− = − 0 02 8 0x x y y+ − = 2 2 18 4 x y+ = 2 2 2 2 0 0 0 0( 2 ) 16 64 16 0x y x x x y+ − + − = 2 2 0 02 8 2 0x x x y− + − = 2 2 2 2 0 0 0 04 4 (8 2 ) 4( 2 8) 0x y x y= − × − = + − = QG 2 2( 1) ( 2) 9x y− + + = 2 sin( )4 m πρ θ − = (sin cos ) mρ θ θ− = y x m− = l 0x y m− + = 2 cos , 2 sin x t y t α α = − +  = + t 2 (8sin 6cos ) 16 0t tα α+ − + = 1 2| | | | 16PA PB t t⋅ = ⋅ = 1 2| | | | ( ) 8sin 6cosPA PB t t α α+ = − + = − | | 5PC = 1| | | | [5 3,5 3] [2,8]PA t= ∈ − + = 1 1 16| | | | | | [8,10]| |PA PB t t + = + ∈ | | | |PA PB+ (8,10] 2x ≤ − 2 8x− ≥ 4x ≤ − 2 1x− < < 3 7≥ 1x ≥ 2 6x ≥ 3x ≥ - 11 - 综上，原不等式的解集为 或 ． （Ⅱ）由 ， （ 时取等号），所以， ． 因为 ， 所以， 的最小值为 （ 时取等号）． { | 4x x ≤ − 3}x ≥ ( ) | | | | |( ) ( ) | | |f x x a x b c x a x b c a b c a b c= + + − + ≥ + − − + = + + = + + [ , ]x a b∈ − 4a b c+ + = 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2 2 3( )a b c a b c ab bc ca a b c+ + = + + + + + ≤ + + 2 2 2a b c+ + 16 3 4 3a b c= = =