2020浙江新高考数学二轮复习教师用书:专题六 1 第1讲 计数原理、二项式定理

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2020浙江新高考数学二轮复习教师用书:专题六 1 第1讲 计数原理、二项式定理

第1讲 计数原理、二项式定理 两个计数原理 ‎[核心提炼]‎ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(  )‎ A.24    B.18    C.12    D.9‎ ‎(2)甲、乙两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有(  )‎ A.10种 B.15 C.20种 D.30种 ‎【解析】 (1)由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由乘法计数原理知,共有6×3=18种走法,故选B.‎ ‎(2)首先分类计算假如甲赢,比分3∶0是1种情况;比分3∶1共有3种情况,分别是前3局中(因为第四局肯定要赢),第一或第二或第三局输,其余局数获胜;比分是3∶2共有6种情况,就是说前4局2∶2,最后一局获胜,前4局中,用排列方法,从4局中选2局获胜,有6种情况.甲一共有1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况,共有10+10=20种情况.‎ ‎【答案】 (1)B (2)C 应用两个计数原理解题的方法 ‎(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理.  ‎ - 14 -‎ ‎(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.如图,某教师要从A地至B地参加高考教研活动:‎ 路线Ⅰ:A到B有三条路线;‎ 路线Ⅱ:A到C后再到B,其中A到C有1条路线,C到B有2条路线;‎ 路线Ⅲ:从A到D,D到C,C到B,其中A到D,D到C,C到B各有2条路线,则该教师的选择路线种数共有(  )‎ A.10           B.11‎ C.13 D.24‎ 解析:选C.按路线Ⅰ,共有3种选择;按路线Ⅱ,分2步可以到达B,共有1×2=2种选择;按路线Ⅲ,分3步,共有2×2×2=8种,故共有3+2+8=13种选择.‎ ‎2.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a10)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若A=4B,则B=________.‎ 解析:Tr+1=(-1)rC(ax)6-r()r=(-1)ra6-rCx6-r.‎ 令6-r=3得r=2,则 A=a4C=15a4;‎ 令6-r=0得r=4,则B=(-1)4a2C=15a2,‎ 又由A=4B得15a4=4×15a2,则a=2,B=60.‎ 答案:60‎ 专题强化训练 ‎[基础达标]‎ ‎1.(2019·金华十校期末调研)在(x2-4)5的展开式中,含x6的项的系数为(  )‎ A.20    B.40    C.80    D.160‎ 解析:选D.Tr+1=C(x2)5-r(-4)r=(-4)rCx10-2r,‎ 令10-2r=6,解得r=2,‎ 所以含x6的项的系数为(-4)2C=160.‎ ‎2.(2019·广州综合测试(一))四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的一枚硬币,所有人同时抛出自己的硬币.若落在圆桌上时硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.抛四枚硬币,总的结果有16种,“没有相邻的两个人站进来”记为事件A,可分为三类:一是没有人站起来,只有1种结果;二是1人站起来,有4种结果;三是有2人站起来,可以是AC或BD,有2种结果.所以满足题意的结果共有1+4+2=7种,P(A)=.故选B.‎ ‎3.(2019·杭州市第二次质量预测)将数字“124 467”重新排列后得到不同的偶数的个数为(  )‎ A.72 B.120‎ C.192 D.240‎ 解析:选D.将数字“124 467”重新排列后所得数字为偶数,则末位数应为偶数,(1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以有=60种情况;(2)若末位数字为6,同理有=60种情况;(3)若末位数字为4,因为有两个相同数字4,‎ - 14 -‎ 所以共有5×4×3×2×1=120种情况.综上,共有60+60+120=240种情况.‎ ‎4.(2019·衢州市高三期末考试)若(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项是(  )‎ A.-40 B.-20‎ C.40 D.20‎ 解析:选C.令x=1,(1+a)×(2-1)5=2,解得a=1.‎ 所以(2x-)5的通项公式 Tr+1=C(2x)5-r(-)r=(-1)r25-rCx5-2r,‎ 令5-2r=-1,5-2r=1.‎ 解得r=3或2.‎ 所以该展开式中常数项=(-1)322C+(-1)2×23C=40.‎ ‎5.某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有(  )‎ A.12种 B.24种 C.36种 D.72种 解析:选C.由题意可知,从4人中任选2人作为一个整体,共有C=6(种),再把这个整体与其他2人进行全排列,对应3个活动小组,有A=6(种)情况,所以共有6×6=36(种)不同的报名方法.‎ ‎6.(2019·金华市调研考试)若(-)n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024,则该展开式中的常数项是(  )‎ A.-270 B.270‎ C.-90 D.90‎ 解析:选C.(-)n的展开式中所有项系数的绝对值之和等于(+)n的展开式中所有项系数之和.令x=1,得4n=1 024,所以n=5.(-)5的通项公式Tr+1=C()5-r·(-)r=C·35-r·(-1)r·x+,令+=0,解得r=3,所以展开式中的常数项为T4=C·32·(-1)3=-90,故选C.‎ ‎7.(2019·合肥市第一次教学质量检测)已知(ax+b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与-18,则(ax+b)6的展开式中所有项系数之和为(  )‎ - 14 -‎ A.-1 B.1‎ C.32 D.64‎ 解析:选D.由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ca4b2,x5项的系数为Ca5b,则由题意可得,解得a+b=±2,故(ax+b)6的展开式中所有项的系数之和为(a+b)6=64,选D.‎ ‎8.(2019·浙江新高考冲刺卷)(x+-2)3展开式中的常数项为(  )‎ A.-8 B.-12‎ C.-20 D.20‎ 解析:选C.(x+-2)3展开式中的通项公式Tr+1=C(-2)3-r(x+)r.‎ ‎(x+)r的通项公式:Tk+1=Cxr-k()k=Cxr-2k,‎ 令r-2k=0,可得:k=0=r,k=1,r=2.‎ 所以常数项=(-2)3+C×C×(-2)=-20.‎ ‎9.已知(+ax)5-(+bx)5的展开式中含x2与x3的项的系数绝对值之比为1∶6,则a2+b2的最小值为(  )‎ A.6 B.9‎ C.12 D.18‎ 解析:选C.(+ax)5-(+bx)5的展开式中含x2项的系数为C()3a2-C()3b2=,含x3项的系数为C()2a3-‎ C()2b3=10(a-b),则由题意,得=,即|ab|=6,则a2+b2=|a|2+|b|2≥2|ab|=12,当且仅当|a|=|b|时取等号.‎ ‎10.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有(  )‎ A.35种 B.24种 C.18种 D.9种 解析:选C.若甲、乙抢的是一个2元和一个3元的红包,剩下2个红包,被剩下3名成员中的2名抢走,有AA=12(种);若甲、乙抢的是两个2元或两个3元的红包,剩下两个红包,被剩下的3名成员中的2名抢走,有AC=6(种).根据分类加法计数原理可得,‎ - 14 -‎ 甲、乙两人都抢到红包的情况共有12+6=18(种).‎ ‎11.(2019·诸暨调研)现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加学校的“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么有男生________人、女生________人.‎ 解析:设男、女同学的人数分别为m和n,则有即 由于m,n∈N*,则m=3,n=5.‎ 答案:3 5‎ ‎12.(2019·成都市第二次诊断性检测)在二项式(ax2+)5的展开式中,若常数项为-10,则a=________.‎ 解析:(ax2+)5的展开式的通项Tr+1=C(ax2)5-r×()r=Ca5-rx10-,令10-=0,得r=4,所以Ca5-4=-10,解得a=-2.‎ 答案:-2‎ ‎13.(2019·温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数,要求数字1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是________(用数字作答).‎ 解析:先把2,5捆挷有2种方法,再把它与4排列有2种排法,此时共有3个空供数字1、3插入有A=6种方法,故这样的五位数的个数是2×2×6=24个.‎ 答案:24‎ ‎14.已知集合A={4},B={1,2},C={1,3,5},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标,则确定的不同点的个数为________.‎ 解析:不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCCA=36,但集合B,C中有相同元素1,由4,1,1三个数确定的不同点只有3个,故所求的个数为36-3=33.‎ 答案:33‎ ‎15.(2019·浙江东阳中学高三检测)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a0=________;(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=________.‎ 解析:由(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,‎ 观察:可令x=0得:‎ ‎(1-2×0)7=a0+a1×0+…+a7×0=1,a0=1.‎ ‎(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=(a0+a1+…+a7)[a0+a2+a4+a6-(a1+a3+a5+a7)],‎ 则可令x=1得:(1-2×1)7=a0+a1+a2+…+a7=-1,‎ 再可令x=-1得:(1+2×1)7=a0-a1+a2-a3+…-a7=37=2 187,‎ 可得:(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2‎ - 14 -‎ ‎=-1×2 187=-2 187.‎ 答案:1 -2 187‎ ‎16.(2019·张掖市第一次诊断考试)设f(x)是(x2+)6展开式中的中间项,若f(x)≤mx在区间[,]上恒成立,则实数m的取值范围是________.‎ 解析:(x2+)6的展开式中的中间项为第四项,‎ 即f(x)=C(x2)3()3=x3,因为 f(x)≤mx在区间[,]上恒成立,所以m≥x2在[,]上恒成立,所以m≥(x2)max=5,所以实数m的取值范围是[5,+∞).‎ 答案:[5,+∞)‎ ‎17.(2019·绍兴质量检测)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友,则不同的分法种数为________.‎ 解析:四个篮球中两个分到一组有C种分法,三个篮球进行全排列有A种分法,标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法,所以有CA-A=36-6=30种分法.‎ 答案:30‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.(2019·台州高三期末考试)已知在(-)n的展开式中,第6项为常数项,则n=(  )‎ A.9 B.8 C.7 D.6‎ 解析:选D.因为第6项为常数项,‎ 由C()n-5(-)5=-()n-5C·xn-6,‎ 可得n-6=0,解得n=6.故选D.‎ ‎2.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(  )‎ A.24 B.48 C.60 D.72‎ 解析:选D.第一步,先排个位,有C种选择;‎ 第二步,排前4位,有A种选择.‎ 由分步乘法计数原理,知有C·A=72(个).‎ ‎3.(2019·惠州市第三次调研考试)(x-2y)5的展开式中x2y3的系数是(  )‎ A.-20 B.-5 C.5 D.20‎ - 14 -‎ 解析:选A.(x-2y)5展开式的通项为Tr+1=C(x)5-r·(-2y)r=C·()5-r·(-2)r·x5-r·yr,令r=3,得x2y3的系数为 C()2·(-2)3=-20.选A.‎ ‎4.某班利用班会时间进行个人才艺表演,共有5名同学参加,其中3名女生,2名男生.如果2名男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个出场,那么不同的出场顺序的排法种数为(  )‎ A.24 B.36 C.48 D.60‎ 解析:选D.先排3名女生,有A种排法,再从4个空位中选出2个空位排2名男生,有A种排法,所以共有AA=72(种)排法;若女生甲排在第一个出场,从3个空位中选2个空位排男生,有AA=12(种)排法.所以满足条件的出场顺序的排法有72-12=60(种).故选D.‎ ‎5.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )‎ A.10 B.20 C.30 D.60‎ 解析:选C.法一:(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,‎ 含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2.‎ 其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC=30.故选C.‎ 法二:(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC=30.故选C.‎ ‎6.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=(  )‎ A.45 B.60 C.120 D.210‎ 解析:选C.因为f(m,n)=CC,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=CC+CC+CC+CC=120.‎ ‎7.(2019·金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动,现有5个红包,每人各摸一个,5个红包中有2个8元,1个18元,1个28元,1个0元,(红包中金额相同视为相同红包),则A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有(  )‎ A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 解析:选C.A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类:‎ 即获奖的四人为:ABCD,ABCE,ABDE,‎ 在每类情况中,获奖的情况有:C·A=12种,‎ 所以由分步乘法原理得:A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有:3×12=36种.‎ ‎8.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(  )‎ - 14 -‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 解析:选B.分两类进行分析:第一类是万位数字为4,个位数字分别为0,2;第二类是万位数字为5,个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时,个位数字从0,2中任选一个,共有2A个偶数;当万位数字为5时,个位数字从0,2,4中任选一个,共有CA个偶数.故符合条件的偶数共有2A+CA=120(个).‎ ‎9.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于(  )‎ A.27 B.28 C.7 D.8‎ 解析:选C.取x=-1得(-1)4(-1+3)8=a0+a1+a2+…+a11+a12,①‎ 取x=-3得(-3)4(-3+3)8=a0-a1+a2-…-a11+a12,②‎ ‎①与②两式左、右两边分别相减得28=2(a1+a3+a5+…+a11),所以a1+a3+a5+…+a11=27,所以log2(a1+a3+a5+…+a11)=7.‎ ‎10.从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人),其中甲和乙只能同去或同不去,甲和丙不同去,则不同的选派方案共有(  )‎ A.240种 B.360种 C.480种 D.600种 解析:选D.分两步,第一步,先选4名网络歌手,又分两类,第一类,甲去,则乙一定去,丙一定不去,有C=10种不同选法,第二类,甲不去,则乙一定不去,丙可能去也可能不去,有C=15种不同选法,所以不同的选法有10+15=25(种).第二步,4名网络歌手同时去4个地区演出,有A=24种方案.由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有25×24=600(种).‎ ‎11.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=________.‎ 解析:(1+x)5中含有x与x2的项为T2=Cx=5x,T3=Cx2=10x2,所以x2的系数为10+5a=5,‎ 所以a=-1.‎ 答案:-1‎ ‎12.(2019·宁波四校联考(二))甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则有________种坐法.‎ 解析:一排共有8个座位,现有两人就坐,故有6个空座.因为要求每人左右均有空座,所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐,即有A=20种坐法.‎ 答案:20‎ ‎13.(2019·杭州市高考二模)若(2x-)n的展开式中所有二项式系数和为64,则n=________;展开式中的常数项是________.‎ 解析:因为(2x-)n的展开式中所有二项式系数和为2n=64,则n=6;根据(2x-)n=(2x- - 14 -‎ ‎)6的展开式的通项公式为Tr+1=C·(-1)r·(2x)6-r·x-2r=C·(-1)r·26-r·x6-3r,‎ 令6-3r=0,求得r=2,可得展开式中的常数项是C·24=240.‎ 答案:6 240‎ ‎14.(2019·浙江东阳中学高三期中检测)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,则组成的偶数的个数是________;恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数是________.‎ 解析:由五个数组成五位偶数,可分类个位数放0,2,4;当个位是0时,有A=24种,当个位是2时,有3A=18种,当个位是4时与个位是2时相同,则共有24+36=60.当1和3两个奇数夹着0时,把这三个元素看做一个整体,和另外两个偶数全排列,其中1和3之间还有一个排列,共有2A=12种,1和3两个奇数夹着2时,同前面类似,只是注意0不能放在首位,共有2CA=8,当1和3两个奇数夹着4时,也有同样多的结果.根据分类加法原理得到共有12+16=28种结果.‎ 答案:60 28‎ ‎15.(2019·贵阳市监测考试)若直线x+ay-1=0与2x-y+5=0垂直,则二项式的展开式中x4的系数为________.‎ 解析:由两条直线垂直,得1×2+a×(-1)=0,得a=2,所以二项式为,其通项公式Tr+1=C(2x2)5-r·=(-1)r25-rCx10-3r,令10-3r=4,解得r=2,所以二项式的展开式中x4的系数为23C=80.‎ 答案:80‎ ‎16.(2019·嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种.‎ 解析:先排7个空座位,由于空座位是相同的,则只有1种情况,其中有6个空位符合条件,考虑三人的顺序,将3人插入6个空位中,则共有1×A=120种情况,由于甲必须坐在三人中间,则有符合要求的坐法有×120=40种.‎ 答案:40‎ ‎17.规定C=,其中x∈R,m是正整数,且C=1,这是组合数C(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广,则C=________;若x>0,则x=________时,取到最小值,该最小值为________.‎ 解析:由规定:C==-680,由= - 14 -‎ ‎=.‎ 因为x>0,x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,‎ 所以当x=时,得最小值.‎ 答案:-680   - 14 -‎
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