数学理卷·2019届安徽省定远县育才学校高二下学期开学调研考试（2018-02）

数学理卷·2019届安徽省定远县育才学校高二下学期开学调研考试（2018-02）

定远育才学校2017-2018学年下学期开学调研考试 高二数学（理科）试题 考生注意：‎ ‎1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题 ‎1.已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.是定义在上的函数，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）‎ A.充要条件 B．充分而不必要条件 ‎ C．必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点到原点的距离为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.若直线与曲线有交点，则（ ）‎ A. 有最大值，最小值 B. 有最大值，最小值 C. 有最大值，最小值 D. 有最大值，最小值 ‎5.已知直线为圆在点处的切线，点为直线上一动点，点为圆上一动点，则的最小值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知椭圆（）的右焦点，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，且点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.在极坐标系中，若圆的方程为，则圆心的极坐标是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.直线（为参数）和圆交于两点，则线段的中点坐标为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知点是直线（）上一动点， 、是圆： 的两条切线， 、为切点， 为圆心，若四边形面积的最小值是，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知是椭圆C： 的两个焦点， 为椭圆C 上的一点，且1.若的面积为9，则＝（　　）‎ A. 3 B. 6 C. 3 D. 2‎ ‎11.设F为双曲线（a＞b＞0）的右焦点，过点F的直线分别交两条渐近线于A，B两点，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎12.已知抛物线y2=4x，圆F：（x﹣1）2+y2=1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如图所示），则|AB|•|CD|的值正确的是（　　） A.等于1 B.最小值是1 C.等于4  D.最大值是4‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________.‎ ‎14.如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为    ‎ ‎15.已知是直线上的动点， 是圆的两条切线， 是切点， 是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．‎ ‎16.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为为参数），若圆与圆外切，则正数 _________.‎ 三、解答题 ‎17.以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线:,点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设向左平移个单位长度后得到,到的交点为, ,求的长.‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A(2，1)，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且，求直线l的方程．‎ ‎19.设椭圆的焦点在轴上，离心率为，抛物线的焦点在轴上， 的中心和的顶点均为原点，点在上，点在上，‎ ‎（1）求曲线， 的标准方程；‎ ‎（2）请问是否存在过抛物线的焦点的直线与椭圆交于不同两点，使得以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎20.如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B（1，0），直线l是圆Γ在点B处的切线，过A（﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．‎ ‎（1）求证：|EA|+|EB|为定值；‎ ‎（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．‎ ‎21.已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.‎ ‎（1）若的坐标为，求的值；‎ ‎（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.‎ ‎22.如图为双曲线的两焦点，以为直径的圆与双曲线交于是圆与轴的交点，连接与交于，且是的中点，‎ ‎（1）当时，求双曲线的方程；‎ ‎（2）试证：对任意的正实数，双曲线的离心率为常数．‎ 参考答案 ‎1.D2.B3.D4.C5.B6.A7.D8.D9.D10.A11.C12.A ‎13. ‎ ‎14.1+‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.解：‎ ‎（1）的直角坐标为， 的直角坐标方程为.‎ 因为在上，所以，‎ 所以的直角坐标方程为.‎ ‎： 化为极坐标方程为.‎ ‎（2）由已知得的方程为，‎ 所以的极坐标方程为（），‎ 代入曲线的极坐标方程或，所以.‎ ‎18. 解：‎ ‎（Ⅰ）由条件知椭圆离心率为 ，‎ ‎ 所以． ‎ ‎ 又点A(2，1)在椭圆上，‎ ‎ ‎ ‎ 所以， 解得 ‎ ‎ 所以，所求椭圆的方程为． ‎ ‎ （Ⅱ）将代入椭圆方程，得，‎ ‎ 整理，得． ①‎ ‎ 由线段BC被y轴平分，得， ‎ ‎ 因为，所以． ‎ ‎ 因为当时， 关于原点对称，设，‎ ‎ 由方程①，得， ‎ ‎ 又因为，A(2，1)，‎ ‎ 所以 ，‎ ‎ 所以． ‎ 由于时，直线过点A(2，1)，故不符合题设．‎ ‎ 所以，此时直线l的方程为．‎ ‎19. 解：‎ ‎（1）设的方程为，则.所以椭圆 的方程为.点在上，设的方程为，则由，得.所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）因为直线过抛物线的焦点.当直线的斜率不存在时，点，或点，显然以线段为直径的圆不过原点，故不符合要求；‎ 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，‎ 代入的方程，并整理得.‎ 设点，则，‎ ‎.‎ 因为以线段为直径的圆过原点，所以，所以，所以，所以.化简得，无解.‎ ‎20. 解：‎ ‎（1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴交于N，则EM=EB 所以 ‎ ‎(2)同理FA+FB=4，所以E,F 均在椭圆 上，设EF: ,则 ‎ 与椭圆方程联立得 ‎ ‎ ，结论成立 点睛：解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.‎ ‎21. 解：‎ ‎（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，‎ 则抛物线的方程为.‎ 设切线的方程为，代入得，‎ 由得，‎ 当时，点的横坐标为，‎ 则，‎ 当时，同理可得.‎ 综上得。‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ 所以以线段为直径的圆为圆，‎ 根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，‎ 因为为直线与圆的切点，‎ 所以， ，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以直线的方程为，‎ 由消去整理得，‎ 因为直线与圆相交，所以。‎ 设，则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 设，因为，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎22. 解：‎ ‎（1）由1有 ‎ 设：‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 设 ‎ 为常数 ‎