数学理卷·2018届黑龙江省大庆铁人中学高三10月月考（2017

数学理卷·2018届黑龙江省大庆铁人中学高三10月月考（2017

高三.十月阶段测试（数学理）‎ 考试时间：120分钟 总分：150分 ‎ 一． 选择题（每个题5分，共60分）‎ 第1题图 ‎1．设全集，,B，则右图中阴影部分表示的集合为 （ ） ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎2.函数f(x)＝2x＋4x－3的零点所在区间是(　 　)‎ ‎ A. B. C. D. ‎3．命题“对任意实数x∈[1，2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件 ‎ 是(　 　)‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥3 D．a≤3‎ ‎4．设f(x)＝ 则f[f(－2)]＝(　　)‎ A. －1 B. C. D. ‎ ‎5．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　 　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎6．已知函数f(x)满足对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0成立．若a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(‎0.20.6‎)，则a，b，c的大小关系是(　 　)‎ A．c0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．‎ 令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.‎ 所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．‎ 故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，‎ 从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．‎ 综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，‎ 故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．‎ ‎20．已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；‎ 解:f′(x)＝ex－.‎ 由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.‎ 于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex－.‎ 函数f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)上单调递增，‎ 且f′(0)＝0，因此当x∈(－1，0)时，‎ f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎21.已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．‎ ‎(1)求a的取值范围；‎ ‎(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.‎ 解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．‎ ‎(i)设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点．‎ ‎(ii)设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．‎ 又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b(b－2)＋a(b－1)2＝ab2－b>0，‎ 故f(x)存在两个零点．‎ ‎(iii)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．‎ 若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．‎ 若a<－，则ln(－2a)>1.故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞) 时，f′(x)>0.因此f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．‎ 综上，a的取值范围为(0，＋∞)．‎ ‎(2)证明：不妨设x1f(2－x2)，即f(2－x2)<0.‎ 由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，‎ 所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.‎ 设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，‎ 则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．‎ 所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，‎ 故当x>1时，g(x)<0，‎ 从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.‎ ‎22.（本小题满分12分） ‎ ‎ 已知函数，.（为常数，为自 然对数的底，）‎ ‎ （Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）若函数在区间上无零点，求的最小值；‎ ‎ （Ⅲ）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得 成立，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）当时，则.‎ 令得；令得 故的单调递减区间为，单调递增区间为 ……………2分 ‎ ‎（Ⅱ）∵函数在区间上不可能恒成立，故要使函数在区间上无零点，只要对，恒成立。即对，恒成立。……3分 令（）则 …4分 再令，则，∵，∴‎ 故函数在区间上单调递减，∴ ‎ 即，∴函数在区间上单调递增，∴ …5分 故只要函数在区间上无零点，所以 …6分 ‎（Ⅲ）∵，当，，∴函数在区间上是增函数。‎ ‎∴ …7分 当时，，不符题意 当时，‎ 当时，，由题意有在上不单调，故 ‎∴① …8分 当变化时，变化情况如下：‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 最小值 单调递增 又因为时，‎ ‎ …9分 所以，对于给定的，在在上总存在两个不同的，使得成立，当且仅当满足下列条件 即②③ …10分 令 ‎，令，则 故时，，函数单调递增 时，，函数单调递减 ‎ 所以对任意的， …11分 由③得④，由①④当时，在上总存在两个不同的，使得成立 ……………12分 ‎