数学（文）卷·2018届广东省深圳中学高三上学期第一次月考（2017

数学（文）卷·2018届广东省深圳中学高三上学期第一次月考（2017

深圳中学2018届高三年级第一次阶段性测试 数学（文科）‎ ‎ ‎ 本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.‎ ‎5．考生必须保持答题卡的整洁.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项符合要求．‎ ‎1．已知全集, 集合, , 则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．函数的定义域为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎3．设则“”是“且”的 ‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎4．已知 ，，，则它们的大小关系是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．将余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎7．函数的单调递增区间是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8．定义符号函数则对任意，恒有 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎9． 函数的图象可能是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10．若函数的定义域为，且函数是偶函数, 函数是奇函数,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎11．设函数,其中为自然对数的底数，则 ‎（A） （B） ‎ ‎ （C） （D） ‎ ‎12．已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．设函数是定义在上的偶函数，当时，，则______.‎ ‎14．函数的最小值为，则实数的取值范围是_____． ‎ ‎15．在中，，则的取值范围为 . ‎ ‎16．函数，对任意，恒有，则的最小值为 . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知三个集合：，，‎ ‎.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）已知，求实数的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数的部分图象如图所示,其中分别是的内角的对边, .‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的面积.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下：‎ 方案代号 基本月租（元）‎ 免费时间（分钟）‎ 超过免费时间的话费（元/分钟）‎ ‎1‎ ‎30‎ ‎48‎ ‎0．60‎ ‎2‎ ‎98‎ ‎170‎ ‎0．60‎ ‎3‎ ‎168‎ ‎330‎ ‎0．50‎ ‎4‎ ‎268‎ ‎600‎ ‎0．45‎ ‎5‎ ‎388‎ ‎1000‎ ‎0．40‎ ‎6‎ ‎568‎ ‎1700‎ ‎0．35‎ ‎7‎ ‎788‎ ‎2588‎ ‎0．30‎ ‎（I）写出“套餐”中方案的月话费（元）与月通话量（分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；‎ ‎（II）学生甲选用方案，学生乙选用方案，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；‎ ‎（III）某用户的月通话量平均为320‎ 分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知均为锐角，且 ‎（I）比较的大小；‎ ‎（II）设均为锐角，且求的值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数的图象在点处的切线方程为,其中实数为常数.‎ ‎（I）求的值;‎ ‎（II）设命题为“对任意,都存在,使得”，问命题是否为真命题？证明你的结论.‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数其中实数为常数且.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围及所有极值之和；‎ ‎（III）在（II）的条件下，记分别为函数的极大值点和极小值点，‎ 求证：.‎ 数学（文科）参考答案 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项符合要求．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案[来源]‎ D C B A D B A C C A D B 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．; 14. ; 15．; 16. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知三个集合：，，‎ ‎.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）已知，求实数的取值范围.‎ 解：(1) , ………………………2分 ‎, ………………………4分 ‎ ………………………5分 ‎ (2) ,‎ ‎ ………………………6分 ‎ ………………………8分 即解得………………………10分 所以实数的取值范围是 ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知函数的部分图象如图所示,其中分别是的角所对的边, .‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的面积.‎ 解：（1）及图象特征知：‎ ‎①的最小正周期得………………………2分 ‎②当时,；‎ 当时，.‎ 解得………………………4分 ‎③，得 由得 所以………………………6分 ‎（II）由及得， ‎ ‎，即 …………………8分 又，得……………………………10分 由得，，…………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下：‎ 方案代号 基本月租（元）‎ 免费时间（分钟）‎ 超过免费时间的话费（元/分钟）‎ ‎1‎ ‎30‎ ‎48‎ ‎0．60‎ ‎2‎ ‎98‎ ‎170‎ ‎0．60‎ ‎3‎ ‎168‎ ‎330‎ ‎0．50‎ ‎4‎ ‎268‎ ‎600‎ ‎0．45‎ ‎5‎ ‎388‎ ‎1000‎ ‎0．40‎ ‎6‎ ‎568‎ ‎1700‎ ‎0．35‎ ‎7‎ ‎788‎ ‎2588‎ ‎0．30‎ ‎（I）写出“套餐”中方案的月话费（元）与月通话量（分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；‎ ‎（II）学生甲选用方案，学生乙选用方案，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；‎ ‎（III）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由.‎ 解： (1) ， …………………………3分 即： …………………………4分 ‎（2）设该月甲乙两人的电话资费均为元,通话量均为分钟.‎ 当时, 甲乙两人的电话资费分别为元, 元,不相等；……5分 当时, 甲乙两人的电话资费分别为（元）, ‎ 元, ,； ………………6分 当时, 甲乙两人的电话资费分别为（元）, ‎ ‎（元）, 解得 ‎ 所以该月学生甲的电话资费元. ………………8分 ‎（3）月通话量平均为320分钟，方案的月话费为：‎ ‎30+0.6×（320-48）=193.2（元）； ………………9分 方案的月话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）； ………………10分 方案的月话费为168元. 其它方案的月话费至少为268元. ………………11分 经比较, 选择方案更合算. ………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知均为锐角，且 ‎（I）比较的大小；‎ ‎（II）设均为锐角，且求的值.‎ 解：（1）,‎ ‎ ………………………3分 ‎ 函数在单调递增, ‎ ‎ ………………………6分 ‎ (2) 且,‎ ‎ ………………………8分 ‎，‎ ‎………………………10分 ‎ ………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数的图象在点处的切线方程为,其中实数为常数.‎ ‎（I）求的值;‎ ‎（II）设命题为“对任意,都存在,使得”，问命题是否为真命题？证明你的结论.‎ 解: （I） ………………1分 ‎ ‎ 函数的图象在点处的切线方程为,‎ 即 ………………4分 该切线方程为, ………………5分 即 ………………6分 ‎（II）命题为真命题. ………………7分 证明如下: ‎ 当时, ,在区间单调递减, ‎ 集合 ………………9分 当时, 的取值范围是 ‎ 集合 ………………11分 从而 所以对任意,都存在,使得 即 ………………12分 ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数其中实数为常数且.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围及所有极值之和；‎ ‎（III）在（II）的条件下，记分别为函数的极大值点和极小值点，‎ 求证：.‎ 解:(1) 函数的定义域为，‎ ‎， ………………1分 设 ‎ 1. ‎ 当时, ，，函数在内单调递增；‎ ‎………………2分 ‎② 当时, ，方程有两个不等实根：‎ ‎，且 ‎ 或 ‎ ‎ ………………3分 综上所述，当时, 的单调递增区间为,无单调递减区间；‎ 当时，的单调递增区间为， ,单调递减区间………………4分 ‎（II）由（I）的解答过程可知，当时,函数没有极值. ………………5分 当时，函数有极大值与极小值， ‎ ‎ ‎ ‎………………7分 故实数的取值范围为,所有极值之和为 ……………8分 ‎（III）由（II）知,且,‎ ‎.…………9分 原不等式等价于证明当时,，‎ 即. ………………10分 设函数,则当时，.‎ 函数在区间单调递减, ‎ 由知, ………………11分 ‎. 即. 从而原不等式得证. ………………12分