2019-2020学年湖北省名师联盟高二上学期期末考试备考精编金卷理科数学（A）试题 解析版

2019-2020学年湖北省名师联盟高二上学期期末考试备考精编金卷理科数学（A）试题 解析版

2019-2020 学年上学期高二期末考试备考精编金卷 理 科 数 学（A） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 2．命题“ ， ”的否定是（ ） A．“ ， ” B．“ ， ” C．“ ， ” D．“ ， ” 3．“双曲线方程为 ”是“双曲线离心率 ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数 ，则函数 的图象在 处的切线方程为 （ ） A． B． C． D． i 2i 2 i a + − a 1 1− 1 2 2 0x∃ ∈R 0 2 2 0 0logxe x x≤ + 0x∃ ∈R 0 2 2 0 0logxe x x> + 0x∃ ∈R 0 2 2 0 0logxe x x≥ + x∀ ∈R 2 2logxe x x≤ + x∀ ∈R 2 2logxe x x> + 2 2 3x y− = 2e = 2( ) ln 2 4 1f x x x x= + − + ( )f x 1x = 2 0x y+ + = 2 0x y+ − = 2 0x y− − = 2 0x y− + = 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 5 ． 我 们 知 道 ： 在 平 面 内 ， 点 到 直 线 的 距 离 公 式 为 ． 通 过 类 比 的 方 法 ， 可 求 得 在 空 间 中 ， 点 到 平 面 的距离为（ ） A． B． C． D． 6．对于曲线 ，给出下面四个命题：（1）曲线 不可能表示椭 圆；（2）若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ；（3）若曲线 表示 双曲线，则 或 ；（4）当 时曲线 表示椭圆，其中正确的是（ ） A．（2）(3) B．（1）(3) C．（2）(4) D．(3)(4) 7．设 ， ，空间向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 8．利用定积分的几何意义，可得 （ ） A． B． C． D． 9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图 1 所示)， 则三角形数的一般表达式 （ ） A． B． C． D． 10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某 0 0( , )x y 0Ax By C+ + = 2 2 Ax By Cd A B + += + (2,4,1) 2 2 3 0x y z+ + + = 3 5 5 21 7 3 5 2 2 : 14 1 x yC k k + =− − C C x 51 2k< < C 1k < 4k > 1 4k< < C x y∈R ( ,2,1)x=a (1, ,3)y=b ( 1,2, 3)= − −c ⊥a c ∥b c + + =a b c 3 6 2 6 2 3 1 2 0 2 1 dx x− =∫ π π 2 π 3 π 4 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55  ( )f n = 2n + ( 1)n n + ( 1) 2 n n + ( 1)( 2) 2 n n− + 次运动会上，他们四人要组成一个 米接力队，王老师要安排他们四个人的 出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第 一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不 跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他 们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人 是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．已知抛物线 ， 为坐标原点， 为其焦点，当点 在抛物线 上运 动时， 的最大值为（ ） A． B． C． D． 12 ． 已 知 为 定 义 在 上 的 可 导 函 数 ， 为 其 导 函 数 ， 且 ， ，则不等式 (其中 为自然对 数的底数)的解集为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．用数学归纳法证明： ，在第二步证明从 到 成立时，左边增加的项数是__________（用含有 的式子作答)． 14 ． 如 图 ， 在 正 四 棱 锥 中 ， ， 点 为 的 中 点 ， ． 若 ，则实数 _______． 4 100× 2 8x y= − O F P C PO PF 2 3 3 4 3 5 2 5 4 ( )f x R '( )f x ( ) '( ) 1 0f x f x+ + > (0) 2019f = ( ) 2020x xe f x e+ > e (0, )+∞ ( ,0) (0, )−∞ +∞ (2019, )+∞ ( ,0) (2019, )−∞ +∞ 1 1 11 ( 1)2 3 2 1n n n+ + + + < >− n k= 1n k= + k P ABCD− PA AB= M PA BD BNλ=  MN AD⊥ λ = 15．若实数 满足 ，则 的最 小值为__________． 16．过双曲线 的左焦点向圆 作一条切线，若该 切线与双曲线的两条渐近线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐近线 截得的线段长为 ，则该双曲线的离心率为__________． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 17．（10 分）设命题 ：实数 满足 ，其中 ；命题 ：实数 满足 ． （1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． , , ,a b c d 2 4ln 2 2 0b a a c d+ − + − + = 2 2( ) ( )a c b d− + − 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 2x y a+ = 3a P x 2 24 3 0x ax a− + < 0a > q x 3 02 x x − ≤− 1a = p q∧ x p¬ q¬ a 18．（12 分）（1）已知 ， 都是正数，并且 ，求证： ； （2）若 ， 都是正实数，且 ，求证： 与 中至少有一个 成立． 19．（12 分）如图，四棱锥 的底面为矩形， 是四棱锥的高， 与 平面 所成角为 ， 是 的中点， 是 上的动点． （1）证明： ； （2）若 ， 与 所成角的余弦值为 ，求二面角 的 a b a b≠ 5 5 2 3 3 2a b a b a b+ > + x y , 2x y > 1 2x y + < 1 2y x + < P ABCD− PA PB PAD 45° F PB E BC PE AF⊥ 2BC AB= PE AB 2 17 17 D PE B− − 余弦值． 20．（12 分）设函数 ． （1）求 在区间 的最值； （2）若 有且只要两个零点，求 的值． 3 2( ) 6 9f x x x x a= − + + ( )f x [ 2,2]x∈ − ( )f x a 21．（12 分）已知椭圆 的左焦点为 ， 是椭圆上关于原 点 对称的两个动点，当点 的坐标为 时， 的周长恰为 ． （1）求椭圆的方程； （2）过点 作直线 交椭圆于 、 两点，且 ，求 面积 的取值范围． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F AB O A 14(1, )2 ABF 7 2 F l C D ACD∆( )CD ABλ λ= ∈R  22 ．（ 12 分 ） 已 知 函 数 在 处 的 切 线 与 直 线 平行． （1）求实数 的值，并判断函数 的单调性； （2）若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： ． 2019-2020 学年上学期高二期末考试备考精编金卷 1( ) ln ( )f x x aax = + ∈R 1x = 2 1 0x y− + = a ( )f x ( )f x m= 1x 2x 1 2x x< 1 2 1x x+ > 理 科 数 学（A）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】∵ 为纯虚数，∴ ，解得 ． 2．【答案】D 【解析】因为特称命题的否定是全称命题， 所 以 ： 命 题 “ ， ” 的 否 定 是 ： “ ， ”． 3．【答案】B 【解析】双曲线的标准方程为 ，则 ， 双曲线为等轴双曲线，则双曲线离心 ，即充分性成立， 反 之 若 双 曲 线 离 心 ， 则 双 曲 线 为 等 轴 双 曲 线 ， 但 方 程 不 一 定 为 ， 即必要性不成立， 即“双曲线方程为 ”是“双曲线离心 ”的充分不必要条件． 4．【答案】C 【解析】∵ ，∴ ， ， 当 ，时 ，即切点的坐标为 ， 根据点斜式可得 ，化成一般式为 ． 5．【答案】B 2i ( 2i)(2 i) 2 2 ( 4)i 2 i (2 i)(2 i) 5 a a a a+ + + − + += =− − + 1 0 4 0 a a − =  + ≠ 1a = 0x∃ ∈R 0 2 2 0 0logxe x x≤ + x∀ ∈R 2 2logxe x x> + 2 2 13 3 x y− = 3a b= = 2e = 2e = 2 2 3x y− = 2 2 3x y− = 2e = 2( ) ln 2 4 1f x x x x= + − + 1( ) 4 4f x xx ′ = + − (1) 1k f ′= = 1x = 1y = − (1, 1)− ( 1) 1 ( 1)y x− − = × − 2 0x y− − = 【 解 析 】 因 为 在 平 面 内 ， 点 到 直 线 的 距 离 公 式 为 ， 类 比 可 得 ： 点 到 平 面 的 距 离 为 ． 故选 B． 6．【答案】A 【解析】①若曲线 表示椭圆，则 ，即 时，曲线 表示椭圆，故（1）错误； ②若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，故（2） 正确； ③若曲线 表示双曲线，则 ，解得 或 ，故（3）正确； ④由（1）可知，（4）错误． 7．【答案】B 【解析】∵ ，∴ ，解得 ，∴ ， 又 ，设 ，则 ，∴ ，∴ ， ∴ ． 8．【答案】B 【解析】函数 表示单位园位于 轴上方的部分， 结合定积分的几何意义可得 ． 0 0( , )x y 0Ax By C+ + = 2 2 Ax By Cd A B + += + (2,4,1) 2 2 3 0x y z+ + + = 2 2 2 2 2 4 2 1 3 15 531 2 2 d + × + × += = = + + C 4 0 1 0 4 1 k k k k − >  − >  − ≠ − 5 5(1, ) ( ,4)2 2k ∈  C C x 4 0 1 0 4 1 k k k k − >  − >  − > − 51 2k< < C (4 )( 1) 0k k− − < 4k > 1k < ⊥a c 4 3 0x− + − = 1x = (1,2,1)=a ∥b c λ=b c 1 12 23 3 y y λ λλ λ = − = − = ⇒  = − = − (1, 2,3)= −b (1,2,1)+ + =a b c 1 4 1 6+ + = + + =a b c 21y x= − x 1 1 2 2 2 0 0 1 π2 1 d 2 1 d 2 (π 1 )4 2x x x x− = − = × × × =∫ ∫ 9．【答案】C 【解析】当 时， ；当 时， ；当 时， ； 当 时， ， 猜想： ． 10．【答案】C 【解析】由题乙，丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙，丙中的 一个， 当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁第一棒，甲第四棒，符合题意． 故跑第三棒的人是丙．故选 C． 11．【答案】A 【解析】抛物线的焦点 ，设点 ， ， 则 ， 设 ．∴ ． ∵ ，∴ 时，即 时， 的最大值为 ． 12．【答案】A 【解析】设 ，则 ， ∵ ， ，∴ ， ∴ 是 上的增函数， 又 ，∴ 的解集为 ， 即不等式 的解集为 ．故选 A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 1n = 1 21 2 ×= 2n = 2 33 2 ×= 3n = 3 46 2 ×= 4n = 4 510 2 ×= ( 1)( ) 2 n nf n += (0, 2)F − ( , )( 0)P x y y ≤ 2 8x y= − 2 2 2 22 2 2 8 12 4 1( 2) ( 2)( 2) ( 2) PO x y y y PF y yx y y + − − −= = = + +− −+ + − 1 1( 0)2 2t ty = − ≤ <− 2 21 412 4 1 12( )6 3 PO t t tPF = − − + = − + + 1 02 t− ≤ < 1 6t = − 4y = − PO PF 2 3 3 ( ) ( )x xg x e f x e= + ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) 1]x x x xg x e f x e f x e e f x f x′ ′ ′= + + = + + ( ) '( ) 1 0f x f x+ + > 0xe > ( ) [ ( ) ( ) 1] 0xg x e f x f x′ ′= + + > ( )g x R (0) (0) 1 2020g f= + = ( ) ( ) 2020x xg x e f x e= + > (0, )+∞ ( ) 2020x xe f x e+ > (0, )+∞ 13．【答案】 【解析】假设 成立，即 ， 则 成立时有 ， 所以左边增加得项数是 ． 14．【答案】 【解析】连接 ，交 于 ， 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 设 ， 则 ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ， ， ∵ ，∴ ，解得实数 ． 15．【答案】 【解析】∵ ，∴ ， ， 分别令 ， ， 问题转化为曲线 上的点与直线 上的点之间的距离平方的最小值， ，设与直线 平行且与曲线 相切的切点为 ， 2k n k= 1 1 1 2 3 2 1k k+ + + <− 1n k= + 1 1 1 1 1 12 3 2 1 2 2 2 1k k k k k+ + ⋅⋅⋅ + + + ⋅⋅⋅ + < +− + − 2 2 1 (2 1) 2k k k k+ − − − = 4 AC BD O O OA x OB y OP z 2PA AB= = ( 2,0,0)A (0, 2,0)D − (0,0, 2)P 2 2( ,0, )2 2M (0, 2,0)B (0, 2 2,0)BD = − (0, ,0)N b (0, 2,0)BN b= − BD BNλ=  2 2 ( 2)bλ− = − 2 2 2b λ λ −= 2 2 2(0, ,0)N λ λ − 2 2 2 2 2( , , )2 2MN λ λ −= − − ( 2, 2,0)AD = − − MN AD⊥ 2 41 0MN AD λ λ −⋅ = − =  4λ = 5 2 4ln 2 2 0b a a c d+ − + − + = 24lnb a a= − 2 2d c= + 2( ) 4lnf x x x= − ( ) 2 2g x x= + ( )f x ( )g x 4( ) 2f x xx ′ = − 2 2y x= + ( )f x 0 0( , )P x y 则 ，解得 ，可得切点 ， 切点 到直线 的距离 ， ∴ 的最小值为 ． 16．【答案】 【解析】因为切线过双曲线的左焦点，所以设切线方程为 ，即 ， 且 ， 因为切线与两条渐近线交于第一、二象限，所以 ， 又因为 ，所以 ， ， ， ， ， 因为 ， ， ，所以 ， 因为双曲线的一条渐近线为 ， ，所以切线与该条渐近线垂 直． 设 两 个 交 点 分 别 为 ， ， 坐 标 原 点 为 ， 则 ， ， 所 以 ， 因为 ，所以 ， 则渐近线 的斜率为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， ， ， 因为 ，所以 ． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过 0 0 0 4 2 2, 0x xx − = > 0 1x = (1, 1)P − (1, 1)P − 2 2y x= + 2 1 2 5 5 d + += = 2 2( ) ( )a c b d− + − 2 5d = 2 ( )y k x c= + 0kx y kc− + = 2 2( 1) kc a k = + − 0k > 0c > 2 1kc ka = + 2 1kc a k= + 2 2 2 2( 1)k c a k= + 2 2 2 2( )k c a a− = 2 2 2k b a= 0k > 0a > 0b > ak b = by xa = − ( ) 1a b b a × − = − A B O OA a= 3AB a= tan 3AOB∠ = 0 πAOB< ∠ < π 3AOB∠ = by xa = πtan[(π ) 2] 33 − ÷ = 3b a = 2 2 2a b c+ = 2 2 2( 3 )a a c+ = 2 2 4c a = 2 4e = 0e > 2e = 程或演算步骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】由 ，得 ， 其中 ，得 ， ，则 ， ． 由 ，解得 ，即 ． （1）若 ，则 ，若 为真，则 ， 同时为真，即 ， 解得 ，∴实数 的取值范围是 ． （2）若 是 的充分不必要条件，即 是 的充分不必要条件，∴ ， 即 ，解得 ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1） ， 因为 ， 都是正数，所以 ， ， 又∵ ，所以 ，所以 ， 所以 ，即 ． （2）假设 和 都不成立，即 和 同时成立． ∵ 且 ，∴ ， ， 两式相加得 ，即 ，与已知条件 相矛盾， ∴ 和 中至少有一个成立． 19．【答案】（1）证明见解析；（2） ． (2,3) 1 2a< ≤ 2 24 3 0x ax a− + < ( )( 3 ) 0x a x a− − < 0a > 3a x a< < 0a > : 3p a x a< < 0a > 3 02 x x − ≤− 2 3x< ≤ : 2 3q x< ≤ 1a = :1 3p x< < p q∧ p q 2 3 1 3 x x < ≤  < < 2 3x< < x (2,3) p¬ q¬ q p 3 3 2 a a >  ≤ 1 2 a a >  ≤ 1 2a< ≤ 5 5 2 3 3 2( ) ( )a b a b a b+ − + = 5 3 2 5 2 3( ) ( )a a b b a b− + − 3 2 2 3 2 2( ) ( )a a b b b a= − + − = 2 2 3 3( )( )a b a b− − = 2 2 2( )( ) ( )a b a b a ab b+ − + + a b 0a b+ > 2 2 0a ab b+ + > a b≠ 2( ) 0a b− > 2 2 2( )( ) ( ) 0a b a b a ab b+ − + + > 5 5 2 3 3 2( ) ( ) 0a b a b a b+ − + > 5 5 2 3 3 2a b a b a b+ > + 1 2x y + < 1 2y x + < 1 2x y + ≥ 1 2y x + ≥ 0x > 0y > 1 2x y+ ≥ 1 2y x+ ≥ 2 2 2x y x y+ + ≥ + 2x y+ ≤ , 2x y > 1 2x y + < 1 2y x + < 5 42 42 − 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，由题意可知 ， 设 ， ， 则 ， ， ， ， ， 于是 ， ，则 ，所以 ． （ 2 ） 设 ， 则 ， ， ， ， ， ， ，则由 ，得 ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 由 ，得 ，取 ，于是 ， ， ∵ 平面 ，∴ ， ， 设二面角 为 ，且 为钝角， 所以 ． 20．【答案】（1） ， ；（2） 或 ． 【解析】（1） ，令 ，可得 或 ， 因为 ，所以当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减， 又因为 ， ， ， 所以 ， ． PA AB= AP AB b= = BE a= (0,0,0)A (0, ,0)B b ( , ,0)E a b (0,0, )P b (0, , )2 2 b bF ( , , )PE a b b= − (0, , )2 2 b bAF = 0PE AF⋅ =  PE AF⊥ 2AB = 4BC = (4,0,0)D (0,2,0)B ( ,2,0)E a (0,0,2)P (0,2,0)AB = ( ,2, 2)PE a= − 2 17| | 17| | | | AB PE AB PE ⋅ = ⋅     3a = (3,2,0)E PDE ( , , )x y z=n (4,0, 2)PD = − (1, 2,0)ED = − 0 0 PD ED  ⋅ = ⋅ =   n n 4 2 0 2 0 x z x y − =  − = 1y = (2,1,4)=n | | 21=n AF ⊥ PBE (0,1,1)AF = 2AF = D PE B− − θ θ 1 4 5 42cos | | 4221 2| || | AF AF θ ⋅ += − = − = − ⋅   n n min( ) 50f x a= − + max( ) 4f x a= + 4a = − 0a = 2( ) 3 12 9f x x x′ = − + ( ) 0f x′ = 1x = 3x = [ 2,2]x∈ − [ 2,1)x∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x [ 2,1)− (1,2]x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x [ 2,1)− (1) 4f a= + ( 2) 50f a− = − + (2) 2f a= + min( ) 50f x a= − + max( ) 4f x a= + （2）令 ，可得 ． 设 ，则 ， 令 ，得 或 ，列表如下： 递减 有 极 小 值 递 增 有 极 大 值 递减 所以 的大致图象如下：要使 有且只有两个零点，只需直线 与 的图象有两个不同交点，所以 或 ． 21．【答案】（1） ；（2） ． 【 解 析 】（1 ） 当 点 的 坐 标 为 时 ， ， 所 以 ． 由对称性及椭圆定义，知 ，所以 ，得 ， 将点 代入椭圆方程 中，解得 ， 3 2( ) 6 9 0f x x x x a= − + + = 3 26 9a x x x= − + − 3 2( ) 6 9g x x x x= − + − 2( ) 3 12 9g x x x′ = − + − ( ) 0g x′ = 1x = 3x = x ( ,1)−∞ 1 (1,3) 3 (3, )+∞ ( )g x′ − 0 + 0 − ( )g x 4− 0 ( )g x 3 26 9a x x x= − + − y a= ( )g x 4a = − 0a = 2 2 18 4 x y+ = (0,2 2] A 14(1, )2 7 3 2| | 1 2 2OA = + = | | 3 2AB = | | | | 2AF BF a+ = 2 7 2 3 2 4 2a = − = 2 2a = 14(1, )2 2 2 2 18 x y b + = 2 4b = 所以椭圆方程为 ． （ 2 ） 当 直 线 的 斜 率 不 存 在 时 ， ， 此 时 ． 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 由 ，消去 整理得 ． 显然 ，设 ， ，则 ， 故 ， 因为 ，所以 ， 所以点 到直线 的距离即为点 到直线 的距离 ， 所 以 ， 因为 ，所以 ，所以 ． 综上， ． 22．【答案】（1） ，单调性见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1） ，由 ，解得 ， ∴ ，∴ ， 2 2 18 4 x y+ = AB | | 2 2CD = 1 2 2 2 2 22ACDS = × × =△ AB CD ( 2)( 0)y k x k= + ≠ 2 2 ( 2) 2 8 y k x x y = +  + = y 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 8 0k x k x k+ + + − = 0Δ > 1 1( , )C x y 2 2( , )D x y 2 1 2 2 2 1 2 2 8 1 2 8 8 1 2 kx x k kx x k  + = − + − ⋅ = + 2 2 2 2 1 2 2 2 2 32 32 4 2(1 )| | 1 | | 1 (1 2 ) 1 2 k kCD k x x k k k + += + ⋅ − = + ⋅ =+ + ( )CD ABλ λ= ∈R  CD AB∥ A CD O CD 2 | 2 | 1 kd k = + 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 2(1 ) | 2 | 4 2 | | 1 (1 )| | 4 22 1 2 1 2 (1 2 )1ACD k k k k k kS CD d k k kk + ⋅ + += × × = × = =+ + ++△ 4 2 4 2 2 2 4 4 12 2 2 2 14 4 1 (1 2 ) k k k k k += = −+ + + 21 2 1k+ > 2 2 10 1(1 2 )k < <+ 0 2 2ACDS< <△ (0,2 2]ACDS ∈△ 2a = 2 1 1( ) ( 0)f x xx ax ′ = − > 1 1(1) 1 2f a ′ = − = 2a = 1( ) ln 2f x x x = + 2 2 1 1 2 1( )= ( 0)2 2 xf x xx x x −′ − = > 令 ，解得 ，故 在 上是单调递减； 令 ，解得 ，故 在 上是单调递增． （2）由 ， 为函数 的两个零点，得 ， ， 两式相减，可得 ，即 ， ， 因此 ， ，令 ，由 ，得 ， 则 ， 构 造 函 数 ， ，所以函数 在 上单调递增， 故 ，即 ，可知 ，故 ．命题得证． ( ) 0f x′ < 10 2x< < ( )f x 1(0, )2 ( ) 0f x′ > 1 2x > ( )f x 1( , )2 +∞ 1x 2x ( )f x m= 1 1 1ln 2x mx + = 2 2 1ln 2x mx + = 1 2 1 2 1 1ln ln 02 2x x x x − + − = 1 1 2 2 1 2 ln 2 x x x x x x −= 1 2 1 2 1 2 2ln x xx x x x −= 1 2 1 1 2 1 2ln x xx x x − = 2 1 2 1 2 1 2ln x xx x x − = 1 2 xt x = 1 2x x< 0 1t< < 1 2 1 111 2ln 2ln 2ln tt t tx x t t t − −−+ = + = 1( ) 2ln (0 1)h t t t tt = − − < < 2 2 2 1 2 ( 1)( ) 1 0th t t t t −′ = + − = > ( )h t (0,1) ( ) (1)h t h< 1 2ln 0t tt − − < 1 12ln t t t − > 1 2 1x x+ >