2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版）

兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试试题 数学（理科）‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．抛物线 的准线方程是(　　)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)‎ ‎ A． B． C． D． ‎3．“ ”是“方程 表示椭圆”的(　　)‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．右图是抛物线形拱桥，当水面在位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽( )米 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．椭圆的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2．若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．若两点 ， ，当||取最小值时， 的值等于(　　)‎ ‎ A．19 B．－ C． D． ‎7．已知命题p:∃ ，,命题q: ,则(　　)‎ ‎ A．命题p∨q是假命题 　　　 　B．命题p∧q是真命题 ‎ C．命题p∧()是真命题 　 　D．命题p∨()是假命题 ‎8．设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是(　　)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为(　　) ‎ ‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎10．正方体 的棱长为1，O是底面 的中心，则O到平面 ‎ 的距离为(　　) ‎ ‎ A． B． C． D． ‎11．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点， 若 ‎ ,则＝（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点,使得 ，若这样的直线有且仅有两条,则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.给定下列命题：‎ ‎①“ ”是“ ”的充分不必要条件；‎ ‎②“若sinα≠，则α≠”；‎ ‎③“若 ，则 且y＝0”的逆否命题；‎ ‎④命题“∃ ，使 ”的否定.‎ 其中真命题的序号是　　　.‎ ‎14．已知 ， ， ,若 共面，则 ＝________.‎ ‎15. 已知A是双曲线C:的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线于P，Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围是　　　　. ‎ ‎16. 已知点C（2，2），直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于B点，M为线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题10分）‎ 给出两个命题：命题甲：关于 的不等式 的解集为 ，命题乙：函数 为增函数．分别求出符合下列条件的实数 的范围.‎ ‎(1)甲、乙至少有一个是真命题；‎ ‎(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.‎ 18． ‎（本小题12分）‎ 已知三棱锥S－ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC，SA＝3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；‎ ‎（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.‎ 19． ‎（本小题12分）‎ 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，B B1 的中点，AA1＝AC＝CB＝‎ AB =2. ‎ ‎ (1)求证：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)求二面角D－A1C－E的正弦值.‎ 20． ‎（本小题12分）‎ 已知椭圆C：的离心率e＝，A，B是椭圆C上两点，N(3，1)是线段AB的中点.‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.‎ ‎21.（本小题12分）‎ 已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)是否存在正实数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有· <0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．（本小题12分）‎ 已知椭圆C： ，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），‎ ‎ P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1） 求椭圆C的方程；‎ ‎（2） 设直线不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：过定点.‎ 兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试答案 数学（理科）‎ 一、 选择题：（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D B B A C C C D A D B 二、 填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13.②④ 14. 15.（1,2） 16.x+y-2=0‎ 三、 解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题10分）‎ 解析：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，‎ 即a＞或a＜－1.................................................2分 乙命题为真时，2 a2－a＞1，‎ 即a＞1或a＜－.................................................................................................4分 ‎(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，‎ a的取值范围是...............................7分 ‎(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：‎ 甲真乙假时，＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a<－，‎ ‎∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为 ‎....................................10分 18． ‎（本小题12分）‎ 解析：(1)建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)．‎ ‎∴＝(，1,0)，＝(，1，－3)，＝(0,2，－3)．...........6分 ‎(2)设面SBC的法向量为．‎ 则 令y＝3，则z＝2，x＝，∴．‎ 设AB与面SBC所成的角为θ，则............12分 18． ‎（本小题满分12分）‎ 解析：(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点 ‎，连接DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC.............................4分 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.‎ 设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，‎ ‎．‎ 设是平面A1CD的法向量，‎ 则 可取．‎ 同理，设是平面A1CE的法向量，则可取．‎ 从而，故.‎ 即二面角D－A1C－E的正弦值为................................12分 18． ‎（本小题12分）‎ ‎ 解析：(1)离心率e＝，设椭圆C：x2＋3y2＝a2(a＞0)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为y＝k(x－3)＋1，代入x2＋3y2＝a2，‎ 整理得(3k2＋1)x2－6k(3k－1)x＋3(3k－1)2－a2＝0.①‎ Δ＝4[a2(3k2＋1)－3(3k－1)2]＞0，②且，‎ 由N(3，1)是线段AB的中点，得．‎ 解得k＝－1，代入②得a2＞12，直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0..6分 ‎(2)圆心N(3，1)到直线的距离,.‎ 当时方程①即 ‎，解得.‎ 椭圆方程为....................................................12分 ‎21.（本小题12分）‎ ‎ 解析:　(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足： ‎ ‎(x＞0).化简得y2＝4x(x＞0)..................................................4分 ‎(2)设过点M(m，0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).‎ 设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，‎ Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①‎ 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＜0⇔‎ ‎(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②‎ 又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1＜0⇔‎ ＋y1y2－＋1＜0.③[]‎ 由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④‎ 对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.‎ 由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)...........................12分 ‎22．（本小题12分）‎ ‎ 解析:（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此 ，解得 故C的方程为................................................4分 ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2,‎ 如果l与x轴垂直，设l:x=t,由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（），（t，）则,得t=2，‎ 不符合题设.‎ 从而可设l: ，将代入得 由题设可知 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ 而 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）..................................................12分