数学理卷·2018届重庆市第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届重庆市第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

秘密★启用前 ‎2017年重庆一中高2018级高二上期期末考试 ‎ 数 学 试 题 卷（理科） 2017.1‎ 数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ 一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。‎ ‎1.椭圆的焦距为（ ）‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎2.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知圆的圆心在直线上，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A.4 B‎.3 C.0 D.2‎ ‎5.下列命题是真命题的是（ ）‎ A.，都有 B.平面直角坐标系中任意直线都有斜率 C.，使得 D.过空间一点存在直线与平面平行 ‎6.人民代表人民选，现从甲地区6名候选人选出3名人大代表、乙地区5名候选人选出2名人大代表，则不同的选法有（ ）‎ A.80种 B.100种 C.150种 D.200种 ‎7.已知平面及平面同一侧外的不共线三点，则“三点到平面的距离都相等”是“平面平面”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎8.如图，点为所在平面外一点，且两两互相垂 直，，点为棱的中点，若三棱锥的体 积为，则异面直线直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.（原创）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，在平面内存在点使得，则直线到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.（原创）已知点是双曲线上异于顶点的一点，是坐标原点，是双曲线的右焦点，且过作直线使得，交双曲线于不同两点，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.（原创）如图，是一个三行两列的数表，现从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任选六个不同的数字填在该数表的6个方格子中，每个方格子中只填一个数字，且在这三行中只有第三行的两个数字之和为6，则不同的排列方法有（　）种 A.2880 B‎.2156 C.3040 D.3544‎ ‎12.（原创）已知抛物线，为过抛物线焦点的弦，的中垂线交抛物线于点。若，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）。‎ ‎13.直线与互相垂直，则实数的值为___________。‎ ‎14.已知等差数列的第4项是二项式展开式中的常数项，则________。‎ ‎15.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_______________。‎ 正（主）视图 左（侧）视图 俯视图 ‎16.（改编）某几何体的三视图如图所示，若该几 何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球 的表面积是________________。‎ 三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）。‎ ‎17.（本小题满分10分）设命题：方程表示双曲线；命题：方程表示焦点在轴的负半轴上的抛物线。‎ ‎（1）若命题为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题是假命题，且命题是真命题，求实数的取值范围。‎ ‎18.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为。‎ ‎（1）求椭圆的离心率的值；‎ ‎（2）若为椭圆的过点且以点为中点的弦，求直线的方程。‎ ‎19.（原创）（本小题满分12分）边长为2的正三角形中，点分别是边的中点，连接，连接交于点。‎ 现将沿折叠至的位置，使 得平面平面，连接。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求点到平面的距离。‎ ‎20.（改编）（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，顶点在底面内的射影恰好是的中点，且。‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值。‎ ‎21.（改编）（本小题满分12分）如图，已知抛物线的准线为，焦点为。的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切。过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且。‎ ‎（1）求和抛物线的方程；‎ ‎（2）设为抛物线上异于顶点的任意一点，过 作交于点，直线交抛物线于另一点 ‎，证明：直线必过定点。‎ ‎22.（原创）（本小题满分12分）已知圆（其中为圆心）‎ 上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线。‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若点为曲线上一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中在的右侧），已知点。‎ ‎①求四边形面积的最大值。‎ ‎②若三角形的外接圆圆心为，试判断与的位置关系并加以证明。‎ 命题：邹发明 审题：张志华 ‎2017年重庆一中高2018级高二上期期末考试数学答案（理科）‎ 一、选择题：（5×12=60分）‎ ‎1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.D 7.C 8.D 9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：（5×4=20分）‎ ‎13. 14. 12 15. 16.‎ 三、解答题：（10+5×12=70分）‎ ‎17.解：若命题真，则；若命题真，则。‎ ‎（1）命题为真，，因此的取值范围为。‎ ‎（2）由条件知：命题一真一假，‎ ‎，因此的取值范围为。‎ ‎18.解：（1）由条件知：，又知，‎ 椭圆，因此。‎ ‎（2）椭圆，易知点在椭圆的内部，设，则 ‎，（1）（2）得：，‎ 易知的斜率存在，‎ ‎，所以直线。‎ ‎19.解：（1）由于为正三角形，中位线，为的中点，易知为的中点，且，又平面平面，平面平面，平面，平面，而平面，。‎ ‎（2）易知，且，以 为原点，分别为轴,轴,‎ 轴的正向，建立如图的空间直角坐标系。‎ 易知，则 ‎，，设平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ 由，令，则，‎ ‎，点到平面的距离。‎ ‎20.（1）证明：由于，平面，平面，，而 ‎，平面，平面，平面，又 平面，平面平面。‎ ‎（2）解：以为原点，分别为轴,轴,轴的正向，建立如图的空间直角坐标系,则 设平面的一个法向量为，‎ 由,‎ 令，则，，‎ 又设平面的一个法向量为，‎ 由,，令，‎ ‎，设二面角为，则，易知二面角为钝角，‎ ‎。‎ ‎21.解：（1）由于，直线 而 ‎，抛物线；‎ 取中点，连接，则 ‎。‎ 综上，；抛物线。‎ ‎（2）易知在轴的异侧，设，由消去得：‎ ‎，设，，‎ 而，由三点共线有：，而 ‎，直线，直线必过定点。‎ ‎22.解：（1）设曲线上任意一点，则为上的点，‎ ‎，曲线。‎ ‎（2）①易知直线的斜率存在，设，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 因为,设点到直线的距离为，‎ 则，，‎ ‎，‎ 由，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 而，，易知，，‎ ‎，，‎ ‎。‎ ‎② 1）当直线的斜率时，验证有；‎ ‎2）当直线的斜率时，则的斜率都存在，‎ 设，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，。‎ 综上知：。‎ 的外接圆圆心即为的中点，‎ 而，与内切。‎