数学理卷·2018届四川省成都市龙泉驿中学高三1月月考（2018

数学理卷·2018届四川省成都市龙泉驿中学高三1月月考（2018

www.ks5u.com【来源：全,品…中&高*考+网】成都龙泉中学2015级高三上学期1月月考试题 数 学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,，则（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 已知为虚数单位，，复数，若为负实数，则的取值集合为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 已知圆，直线；则：是上恰有不同四点到的距离为”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝( )‎ A. B. C. D. ‎5.在等差数列中，若，则数列的前15项的和为（ ）‎ A．15 B．25 C．35 D．45 ‎ ‎6. 已知函数，则方程 的根的个数不可能为（ ）‎ A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 ‎7.记已知向量，，满足，，，‎ 且，则当取最小值时，（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.榫卯（sŭn măo）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图，其体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．函数y＝（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）‎ ‎10.已知半径为5的求被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（ ）‎ A． B． ‎ C．或 D．或 ‎ ‎11.设a1，a2，…，a2 017是数列1，2，…2 017的一个排列，观察如图所示的程序框图，‎ 则输出的F的值为( )‎ A. 2 015 B. 2 016 C. 2 017 D. 2 018‎ ‎12. 若函数存在正的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。共20分）‎ ‎13. 展开式中，的系数为__________．‎ ‎14.若，满足约束条件则的最小值为 ．‎ ‎15．如图，错误！未找到引用源。是棱长均为1的正四棱锥，顶点错误！未找到引用源。在平面错误！未找到引用源。内的正投影为点错误！未找到引用源。，‎ 点错误！未找到引用源。在平面错误！未找到引用源。内的正投影为点错误！未找到引用源。，则 错误！未找到引用源。　　　　．‎ ‎16.已知是圆上一点，且不在坐标轴上，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的最小值为 ．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本题满分12分)已知数列{an}满足：a1＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn.若对一切n∈N*，都有Sn＜M成立(M为正整数)，求M的最小值．‎ ‎18. （本小题满分12分）如图，在矩形中，，，是平面同一侧面点，，，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分） 某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为（万元）的概率分布列如表所示：‎ 且的期望；若投资乙项目一年后可获得的利润（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为和，乙项目产品价格一年内调整次数（次）与的关系如表所示：‎ ‎ ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的分布列；‎ ‎（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆：（ ）的左右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. ‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）记两极值点分别为已知，若不等式恒成立，求的范围.‎ 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρ cos θ＋3＝0，θ∈.‎ ‎(Ⅰ)求C1的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)曲线C2的参数方程为 (t为参数)．求C1与C2的公共点的极坐标．‎ ‎23.（本题满分10分） 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若对任意正数恒成立，求的取值范围.‎ 成都龙泉中学2015级高三上学期1月月考试题 数 学（理科）参考答案 ‎1—5 CBBCA 6—10 DABDC 11—12 ‎ ‎12.【解析】由，‎ 得，‎ 令，‎ 画出函数的图象，‎ ‎∵函数存在正的零点，‎ ‎∴函数和函数的图象在上有公共点。‎ ‎①由图象知，当时，两函数的图象在上有公共点，满足题意。‎ ‎②当时，若两函数的图象在上有公共点，则需满足 ‎，即，解得。综上。‎ 所以实数的取值范围是。选B。‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】展开式的通项为，‎ 所以展开式中的系数为。‎ ‎14. 15.错误！未找到引用源。 16.8‎ ‎17.【解析】(Ⅰ)因为a1＋＋…＋＝2n－1，则a1＋＋…＋＝2n－1－1(n≥2). ‎ 两式相减，得＝2n－1，即an＝n·2n－1(n≥2)．‎ 由已知，a1＝2－1＝1满足上式．‎ 故数列{an}的通项公式是an＝n·2n－1.(6分)‎ ‎(Ⅱ)由题设，bn＝＝.(7分)‎ 则Sn＝＋＋＋…＋，Sn＝＋＋…＋＋.‎ 两式相减，得Sn＝1＋1＋＋…＋－＝3－－＝3－. (10分)‎ 所以Sn＝6－.‎ 显然，Sn<6，又S5＝6－>5，所以M≥6，故M的最小值为6.(12分)‎ ‎18.【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】：（Ⅰ）由条件可得，，从而可证得平面，根据面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量的运算可求得二面角的余弦值为，进一步可得正弦值为。‎ ‎（Ⅰ）∵四边形是矩形，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ 故.‎ 又，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴平面.‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎19.解：（1）由题意得：，‎ 得：．‎ ‎（2）的可能取值为41.2，117.6，204.0，‎ 所以的分布列为 ‎41.2‎ ‎117.6‎ ‎204.0‎ P ‎（3）由（2）可得：‎ 根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需，即 ‎，得．‎ 因为，所以当时，取到最大值为，所以预测投资回报率的最大值为.‎ ‎20．解：（Ⅰ）由得，，，‎ 由余弦定理得，，‎ 解得，，，‎ 所以椭圆的方程为．　‎ ‎（Ⅱ）存在这样的点符合题意.‎ 设，，，‎ 由，设直线的方程为，‎ 由得，‎ 由韦达定理得，故，‎ 又点在直线上，，所以. ‎ 因为，所以，整理得，‎ 所以存在实数，且的取值范围为．‎ ‎21解：()依题意得函数得定义域为(0,+)，所以方程在(0,+)有两个不同的根，‎ 即方程在(0,+)有两个不同的根. ‎ 问题转化为函数与的图象(0,+)有两个不同的交点.‎ 又即当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 从而 ………………3分 又有且只有一个零点是1，且当时，；当时，. 所以，要想函数与函数的图象(0,+)有两个不同的交点， ‎ 只需. ………………6分 ‎()因为等价于，由()知是方程的两个根，‎ 即，所以原式等价于，‎ 因为，所以原式等价于. …………8分 ‎ 又由作差得，即.所以原式等价于，因为时，原式恒成立，即恒成立.‎ 令，则不等式在上恒成立. ‎ ‎ 令，又，‎ 当时，可见时，，所以上单调递增,‎ 又上恒成立，符合题意. …………10分 当时，可见当时，，当时，所以上单调递增, 在上单调递减，又上不恒成立，不符合题意，舍去.‎ 综上所述，若不等式恒成立，只需，又，所以.…12分 ‎22.【解析】(Ⅰ)将代入ρ2－4ρcos θ＋3＝0得：(x－2)2＋y2＝1.(4分)‎ ‎(Ⅱ)由题设可知，C2是过坐标原点，倾斜角为的直线，‎ 因此C2的极坐标方程为θ＝或θ＝，ρ>0，(6分)‎ 将θ＝代入C1：ρ2－2ρ＋3＝0，解得：ρ ＝ .‎ 将θ＝代入C1：ρ2＋2ρ＋3＝0，解得：ρ ＝－，不合题意．‎ 故C1，C2公共点的极坐标为.(10分)‎ ‎23.【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）存在使不等式成立，等价于，（2）不等式 对任意正数恒成立，化为，解不等式得解.‎ ‎（1） ‎ 已知等价于 所以实数的取值范围 ‎（2），（取等号）‎ 已知可化为 所以 .‎ 因此实数的取值范围.‎