江西省临川2020届高三上学期第一次联考 理科数学试题（扫描版含答案）
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2019－2020 届临川一中上学期第一次联合考试
数学答案（理）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A D B B C A A C A B
二、填空题
13．－ 2
21
14．2
3
15． 16．2
三、解答题
17．解（1）∵acosB＝(4c－b)cosA，
由正弦定理得：sinAcosB＝(4sinC－sinB)cosA，…………2 分
即 sinAcosB＋cosAsinB＝4sinCcosA，即 sinC＝4 cosAsinC，…………4 分
在 中， ，所以 cosA＝4
1
…………………………5 分
（2） →
AB
＋ →
AC
＝2 →
AM
，两边平方得： ……6 分
由 b＝4，| →
AM
|＝，cosA＝4
1
得 c2＋b2＋2×c×b×4
1
＝4×10，………………8 分
可得 c2＋16＋2c＝40……………………10 分
解得：c＝4 或 c＝－6（舍） ………………11 分
所以△ABC 的面积 s＝2
1
bcsinA＝2 ………………12 分
18．解：(1)证明：∵AC＝2，BC＝2，AB＝6，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝6
3
＝3
3
.又易知 BD＝2，
∴CD2＝22＋(2)2－2×2×2cos∠ABC＝8，
∴CD＝2，又 AD＝4，
∴CD2＋AD2＝AC2，
∴CD⊥AB.
∵平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAB∩平面 ABC＝AB，CD⊂平面 ABC，
∴CD⊥平面 PAB，又 PD⊂平面 PAB，
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∴CD⊥PD，
∵PD⊥AC，AC∩CD＝C，
∴PD⊥平面 ABC.……………………5 分
(2)由(1)知 PD，CD，AB 两两互相垂直，
∴可建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，
∵直线 PA 与平面 ABC 所成的角为 45°，即∠PAD＝45°，
∴PD＝AD＝4，
则 A(0，－4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,4)，
∴―→
CB
＝(－2，2,0)，―→
AC
＝(2，4,0)，―→
PA
＝(0，－4，－4)．
∵AD＝2DB，CE＝2EB，
∴DE∥AC，由(1)知 AC⊥BC，
∴DE⊥BC，
又 PD⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，
∴PD⊥BC，
∵PD∩DE＝D，
∴CB⊥平面 PDE，
∴―→
CB
＝(－2，2,0)为平面 PDE 的一个法向量．
设平面 PAC 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则―→
AC
―→
PA
＝0，
PA
即－4y－4z＝0，
2x＋4y＝0，
令 z＝1，得 x＝，y＝－1，
∴n＝(，－1,1)为平面 PAC 的一个法向量．
∴cos
＝ 12
－4－2
＝－2
3
，
∴平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角的余弦值为2
3
，
故平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角为 30°.……………………12 分
19．解：由 e＝a
c
＝2
3
，又由于 a＞b＞0，一个长轴顶点在直线 y＝x＋2 上，
可得：a＝2，c＝，b＝1
（1）故此椭圆的方程为 4
x2
＋y2＝1………………5 分
（2）设 P(x1，y1)，Q(x1，y1)，当直线 PQ 的斜率存在时，设其方程为 y＝kx＋m
联立椭圆的方程得： (4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0
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由△＝64k2m2－4(4k2＋1)( 4m2－4)＞0，可得 m2＜4k2＋1
则 x1＋x2＝－4k2＋1
8km
，x1·x2＝ 4k2＋1
4m2－4
|PQ|＝·|x1－x2|＝·
＝4· 4k2＋1
4k2－m2＋1
又点 O 到直线 y＝kx＋m 的距离 d＝k2＋1
|m|
S△OPQ＝2
1
·d·|PQ|＝2|m|· 4k2＋1
4k2－m2＋1
由于 k1·k2＝x1x2
y1y2
＝ x1x2
x1＋x2＋m2
＝－ 4
1
，
可得：4k2＝2m2－1
故 S△OPQ＝2|m|· 2m2
2m2－1－m2＋1
＝1
当直线 PQ 的斜率不存在时，可算得：S△OPQ＝1
故△OPQ 的面积为定值 1……………………12 分
20．（1）X 可能取值为 3，4，5，6
P(X＝3)＝(3
1
)3 ＝27
1
P(X＝4)＝C31 (3
2
)(3
1
)2 ＝27
6
…………1 分
P(X＝5)＝C32 (3
2
)2(3
1
) ＝27
12
P(X＝6)＝ (3
2
)3 ＝27
8
…………2 分
故其分布列为……………………3 分
X 3 4 5 6
P
27
1
27
6
27
12
27
8
E(X)＝5………………4 分
（2）①总分恰为 m 的概率 Am＝(3
1
)m……………………6 分
故 S6＝3
1
＝729
364
……………………8 分
②已调查过的累计得分恰为 n 分的概率为 Bn，
得不到 n 分的情况只有先得 n－1 分，再得 2 分，概率为3
2
Bn－1，而 B1＝3
1
…………9 分
故 1－Bn＝3
2
Bn－1，即 Bn＝－3
2
Bn－1＋1…………10 分
可得 Bn－5
3
＝－3
2
( Bn－1－5
3
)，B1－5
3
＝－15
4
…………11 分
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可得 Bn＝5
3
＋5
2
·(－3
2
)n……………………12 分
21．解：（1）f / (x)＝xlnx－alnx＋a－x＝(x－a)(lnx－1)，x∈(0，＋∞)………………1 分
①当 a＝e 时，f / (x) ＝(x－e)(lnx－1)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增…………2 分
②当 a≤0 时，x－a＞0，f(x)在(0，e) 上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增…………3 分
③当 0＜a＜e 时， f(x)在(a，e) 上单调递减，在(0，a)，(e，＋∞)上单调递增…………4 分
④当 a＞e 时， f(x)在(e，a) 上单调递减，在(0，e)，(e，＋∞)上单调递增…………6 分
（2）假设存在 a∈(－∞，e]，使得 f(x)＞3＋4
1
sin 4
aπ
对任意 x∈[1，＋∞)恒成立
则 f(1)＝2a－4
3
＞3＋4
1
sin 4
aπ
，即 8a－sin 4
aπ
－15＞0…………7 分
设 g(x)＝8x－sin 4
πx
－15，g/ (x)＝8－4
π
cos 4
πx
＞0，则 g(x)单调递增
由于 g(2)＝0，所以 a＞2
①当 a＝e 时，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以 f(x)min＝f(1)，所以 a ＞2，
从而 a＝e 满足题意…………8 分
②当 2＜a＜e 时， f(x)在(a，e) 上单调递减，在(0，a)，(e，＋∞)上单调递增
所以4
1
4
aπ
4
1
4
aπ
4
aπ
，可 4
aπ
－e2－12＞0
aπ
（1）…………9 分
设 h(x)＝4ex－sin 4
πx
－e2－12，h/ (x)＝4e－4
π
cos 4
πx
＞0，则 h(x)是单调递增函数…………10 分
由于 h(2)＝8e－e2－13＞0
可得 h(x)的零点小于 2，从而不等式组（1）的解集为(2，＋∞)
所以 2＜a＜e…………11 分
综上，存在 a∈(－∞，e]，使得 f(x) ＞3＋4
1
sin 4
aπ
对 x∈[1，＋∞]恒成立，
且 a 的取值范围是(2，e] …………12 分
22．(1)C：x2＋y2＝1，
曲线 C1： y/＝sinα
x/＝2cosα
，得 x/2＋4y/2＝4…………2 分
即 ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4………………5 分
（2）ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4
θ＝β
，有ρ2
1
＝ 4
cos2θ
＋sin2θ…………7 分
∴|OA|2
1
＝ 4
cos2θ
＋sin2θ，…………8 分
同理|OB|2
1
＝2＋sin2(θ＋2
π
)＝ 4
sin2θ
＋cos2θ…………9 分
故|OA|2
1
＋|OB|2
1
＝4
5
………………10 分
23．（ 1）f(x)＝|x－2|＋|x－1|≥5 可解得 x∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)…………5 他
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（2）由|x－ a
a2＋1
|＋|x－1|≤4－|x＋1|在[1，2]上恒成立，
由于 a＞0，可得 a
a2＋1
≥2…………6 分
等价于 a
a2＋1
－x＋x－1≤4－x－1 在[1，2]上恒成立…………7 分
即 a
a2＋1
≤4－x 在[1，2]上恒成立，…………8 分
即 a
a2＋1
≤2，可得 a＝1，…………9 分
故 a 的取值集合为{1}…………10 分
