2019-2020学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中考试数学试题

2019-2020学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中考试数学试题

铜陵市一中2019—2020学年度第一学期高二年级学段（期中）考试数学试卷 命题教师：聂鑫 审题教师：鲍光平 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 的位置关系为( )‎ A.相交、平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面 ‎2.已知直线 l1:(k-3)x+(4-2k)y+1=0 与 l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是( )‎ A.1 或 3 B.1 或C.3 或 D.1 或 2‎ ‎3.圆锥的底面半径为 1，高为3 ，则圆锥的表面积为( )‎ A.p B.2p C.3p D. 4p ‎4.在直线 3x-4y-27=0 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标为( )‎ A.(5,-3) B.(9,0) C.(-3,5) D.(-5,3)‎ ‎5.若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( )‎ A.21 B.19 C.9 D.-11‎ ‎6.某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是( )‎ A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3‎ ‎7.若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小 值是( )‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ ‎8.正四面体 ABCD 中，E、F 分别是棱 BC、AD 的中点，则直线 DE 与平面 BCF 所成角的正弦值为（ ）‎ ‎9.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=4 相切于第三象限的直线方程是(‎ A.x+y+22=0 B.x+y+2=0 C.x+y-2=0 D.x+y-2 2=0‎ ‎10.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4,长为 1 的线段 PQ 在棱 AA1上移动,长为 ‎3 的线段 MN 在棱 CC1上移动,点 R 在棱 BB1上移动,则四棱锥 R-PQMN 的体积是 ( )‎ ‎)‎ A.12 B.10 C.6 D.不确定 ‎11.已知 A(-2,0),B(0,2),实数 k 是常数,M,N 是圆 x2+y2+kx=0 上两个不同点,P 是圆 x2+y2+kx=0‎ 上的动点,如果点 M,N 关于直线 x-y-1=0 对称,则△PAB 面积的最大值是( )‎ A.3-2 B.4 C.3+2 D.6‎ ‎12.设圆C : x2 + y2 = 3，直线l : x+3y -6 = 0 ，点P(x0, y0)Îl ，若存在点QÎC ，使得ÐOPQ = 60°（O 为坐标原点），则 x0的取值范围是( ) ‎ 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)‎ ‎ ‎ 二、 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分 10 分)已知直线l : y = 3x+3.‎ ‎(1)求点P(4,5)关于直线l的对称点坐标；‎ ‎(2)求直线l关于点P(4,5)对称的直线方程.‎ ‎18.(本小题满分 12 分)如图,AA1B1B 是圆柱的轴截面,C 是底面圆周上异于 A,B 的一点,AA1=AB=2.‎ ‎(1)求证:平面 A1AC⊥平面 BA1C;(2)求 1-鏸ୋ的最大值.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点.求证:‎ ‎(1)AP∥平面 BEF;(2)BE⊥平面 PAC.‎ ‎20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 M(0,-2),N(3,1),且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上.‎ ‎(1)求圆 C 的方程;‎ ‎(2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=2,E 为 PA 的中点.‎ ‎(1)求证:PC∥平面 EBD;‎ ‎(2)求三棱锥 C-PAD 的体积 VC-PAD;‎ ‎(3)在侧棱 PC 上是否存在一点 M,满足 PC⊥平面 MBD,若存在,求 PM 的长;若不存在,说明理由. ‎ ‎22.(本小题满分 12 分)已知以点 C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O 和点 A,与 y 轴交于点 O 和点 B,其中 O 为原点.‎ ‎(1)求证:△OAB 的面积为定值;‎ ‎(2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程.‎ 数学答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C C A C B C B A C C B 13. ‎ 1 14.或 15. 16. ‎ 17. ‎(1) ----------------------5分 ‎ (2) ----------------------10分 ‎18.(1)证明：∵C是底面圆周上异于A,B的一点,且AB为底面圆的直径,∴BC⊥AC.‎ 又AA1⊥底面ABC,∴BC⊥AA1,‎ 又AC∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AC.‎ 又BC⊂平面BA1C,‎ ‎∴平面A1AC⊥平面BA1C. ----------------------6分 ‎(2)解：在Rt△ACB中,设AC=x,‎ ‎∴BC=AB‎2‎-AC‎2‎‎=‎‎4-‎x‎2‎(00,‎ 即-2a>0,解得a<0.‎ 则实数a的取值范围是(-∞,0).‎ 由于‎1‎‎2‎∉(-∞,0),‎ 故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB. ----------------------12分 ‎21.(1)证明：设AC,BD相交于点F,连接EF,‎ ‎∵四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,‎ ‎∴F为AC的中点,‎ 又∵E为PA的中点,∴EF∥PC.‎ 又∵EF⊂平面EBD,PC⊄平面EBD,‎ ‎∴PC∥平面EBD. ----------------------4分 ‎(2)解：∵底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,‎ ‎∴△ACD是边长为2的正三角形,‎ 又∵PA⊥底面ABCD,‎ ‎∴PA为三棱锥P-ACD的高,‎ ‎∴VC-PAD=VP-ACD=‎1‎‎3‎S△ACD·PA=‎1‎‎3‎‎×‎‎3‎‎4‎×22×2=‎2‎‎3‎‎3‎. ----------------------8分 ‎(3)解：在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.‎ ‎∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ ‎∴BD⊥PA.‎ ‎∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,‎ ‎∴BD⊥PC.‎ 在△PBC内,可求PB=PC=2‎2‎,BC=2,‎ 在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,‎ 设PM=x,则有8-x2=4-(2‎2‎-x)2,‎ 解得x=‎3‎‎2‎‎2‎<2‎2‎.‎ 连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM.‎ ‎∴PC⊥平面BDM.‎ ‎∴满足条件的点M存在,此时PM的长为‎3‎‎2‎‎2‎. ----------------------12分 ‎22.(1)证明：∵圆C过原点O,‎ ‎∴OC2=t2+‎4‎t‎2‎.‎ 设圆C的方程是(x-t)2+y-‎‎2‎t‎2‎=t2+‎4‎t‎2‎,‎ 令x=0,得y1=0,y2=‎4‎t;‎ 令y=0,得x1=0,x2=2t,‎ ‎∴S△OAB=‎1‎‎2‎OA·OB=‎1‎‎2‎‎×‎‎4‎t×|2t|=4,‎ 即△OAB的面积为定值. ----------------------6分 ‎(2)解：∵OM=ON,CM=CN,‎ ‎∴OC垂直平分线段MN.‎ ‎∵kMN=-2,∴kOC=‎1‎‎2‎.‎ ‎∴‎2‎t‎=‎‎1‎‎2‎t,解得t=2或t=-2. ----------------------8分 当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=‎5‎,‎ 此时,C到直线y=-2x+4的距离d=‎1‎‎5‎‎<‎‎5‎,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.‎ 符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.‎ 当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=‎5‎,此时C到直线y=-2x+4的距离d=‎9‎‎5‎‎>‎‎5‎.‎ 圆C与直线y=-2x+4不相交,‎ 因此,t=-2不符合题意,舍去.‎ 故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. ----------------------12分