2018-2019学年福建省三明市三地三校高一上学期期期中联考数学试题（解析版）

2018-2019学年福建省三明市三地三校高一上学期期期中联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省三明市三地三校高一上学期期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．设，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出，再求出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集与并集的混合运算，求解时根据集合运算的定义进行求解即可，属于基础题．‎ ‎2．已知集合，且，则（ ）‎ A． B． 或 C． 3 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意得到或，解方程求得即可得到答案，解题时注意集合元素的互异性．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，且，‎ ‎∴或．‎ ‎①当时，即，解得或.‎ 若，则，不满足互异性，舍去．‎ 若，则，满足题意．‎ ‎②当时，解得，不合题意．‎ 综上．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键是根据分类讨论的方法求解，注意解题的全面性．另外解答类似问题时，在求出参数的取值后要进行验证，看所得结果是否满足集合元素的互异性．‎ ‎3．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）‎ A． ， B． ，‎ C． ， D． ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】判断每个选项中的两函数的定义域和解析式是否相同，然后可得答案．‎ ‎【详解】‎ 选项A中，，两函数的解析式不同，所以A不正确．‎ 选项B中，，所以两函数的定义域和解析式都相同，所以B正确．‎ 选项C中，函数的定义域为，故两函数的定义域不同，所以C不正确．‎ 选项D中，函数的定义域为，函数的定义域为，故两函数的定义域不同，所以D不正确．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 由定义可得，当两个函数的定义域、解析式和值域都相同时才称为同一函数．但由于函数的定义域和解析式确定后其值域也确定，因此在判断时只判断两函数的定义域和解析式是否相同就可以了．‎ ‎4．已知函数，则（ ）‎ A． B． 0 C． 1 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据自变量所在的范围先求出，然后再求出．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 根据分段函数的解析式求函数值时，首先要分清自变量所属的范围，然后再代入解析式后可得结果，属于基础题．‎ ‎5．当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据条件得到指数函数和对数函数都为增函数，然后再结合选项求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴函数与函数都为增函数．‎ 结合选项可得B满足条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数和对数函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性和熟知常见函数的图象，属于基础题．‎ ‎6．函数（且）的图象恒过点（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】时，总有函数恒过点，故选A.‎ ‎7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】先判断出分别所在的范围，进而可得的大小关系．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ 所以．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 比较幂和对数的大小时，可根据指数函数、对数函数的性质判断出各数所在的范围，特别是各数与1和0的关系，进而可得大小关系，这是解答类似问题的常用方法．‎ ‎8．已知函数，，则函数的最小值为（ ）‎ A． 3 B． 2 C． 6 D． 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数在给定区间上的单调性可求得最小值．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ ‎∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎∴当时，函数取得最小值，且．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 求二次函数在给定区间上的最值时，一般要根据函数图象的开口方向和对称轴与区间的关系，运用数形结合的方法求解，考查分析判断能力和数形结合方法的运用．‎ ‎9．已知，则x的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对数函数的单调性和对数函数的定义域得到关于的不等式组，解不等式组可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ 由，可得，解得．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 解对数不等式时可根据函数的单调性得到不等式组，然后通过解不等式组求解，解题时容易出现的问题是忽视定义域的限制，这也是解决对数问题时常出现的错误之一．‎ ‎10．下列函数中，值域为的函数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结果．‎ ‎【详解】‎ 选项A中，由于，所以函数的值域为，所以A正确．‎ 选项B中，由于，所以函数的值域为，所以B不正确．‎ 选项C中，由于，故函数的值域为，所以C不正确．‎ 选项D中，由于，所以函数的值域为，所以D不正确．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值域的求法，一般根据函数的单调性求解，解题时容易忽视函数定义域的限制，属于基础题．‎ ‎11．定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）‎ A． B． 2 C． 0 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数为奇函数可得，然后由解析式可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数为奇函数，‎ ‎∴．‎ 又当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的应用，解题的关键是将问题转化到所给区间上求解，然后根据解析式可得所求函数值，属于基础题．‎ ‎12．对于函数的定义域中任意的、，有如下结论：‎ ‎①；②；③．‎ 上述结论中正确的有（　　）个．‎ A． 3 B． 2 C． 1 D． 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据指数函数的性质对给出的三个结论分别进行验证、判断，进而可得正确的结论．‎ ‎【详解】‎ 对于①，由于，所以，所以①正确．‎ 对于②，由于，所以，‎ 所以②不正确．‎ 对于③，由于，所以函数为增函数，符合题意，所以③正确．‎ 综上可得①③正确．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对指数函数定义和性质的理解，同时也考查指数的运算，解题的关键是对题意的理解以及运用指数的运算性质进行验证，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据函数解析式的特征得到关于自变量的不等式组，解不等式组可得结果．‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，需满足，解得，‎ 所以函数的定义域为或．‎ 故答案为或．‎ ‎【点睛】‎ 求函数的定义域时，要根据函数解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后即可得到所求的定义域，特别注意要把定义域写成集合或区间的形式．‎ ‎14．已知函数，若函数图象过点，则的值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】先根据函数图象过点求出解析式，然后再求出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数的图象过点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的计算，解题时首先要求出函数的解析式，然后再进行求值，属于简单题．‎ ‎15．已知，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】令，得到，然后再代入中可得．‎ ‎【详解】‎ 令，解得．‎ ‎∴．‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题时还可以先求出函数的解析式，然后再求值，求解析式时可利用换元法或配凑法．‎ ‎16．已知函数 为R上的奇函数，则数 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数 为R上的奇函数 ‎∴，即，∴.‎ 点睛：函数 为R上的奇函数，易得： ， 在对称区间上单调性相同，函数值互为相反数，利用特例及性质本题可以速解，也可以利用函数的奇偶性定义来处理，同样可以得到结果.‎ 三、解答题 ‎17．不用计算器求下列各式的值 ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）-1（2）5‎ ‎【解析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可；（2）根据对数的运算法则、‎ 对数恒等式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式．‎ ‎（2）原式．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂的运算和对数的运算，解题时根据相应的运算性质求解即可，属于基础题．‎ ‎18．已知集合，．‎ ‎（1）求．‎ ‎（2）若集合，，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）解不等式得到集合A，然后可求出；（2）由得到，再分为和两种情况求解可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴ ‎ ‎①当时，满足，此时，解得．‎ ‎②当时，由可得，解得，‎ 综上可得．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 已知求参数的取值时要注意两点：（1）结合题意考虑是否分为和 两种情况求解；（2）解题时要注意把包含关系转化为不等式（组）求解，注意不等式中的等号能否成立，同时转化时要结合数轴进行求解．‎ ‎19．已知指数函数的图象经过点．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若，求x的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据待定系数法求解可得解析式；（2）由（1）得到函数的单调性，根据单调性将不等式化为一般不等式求解可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意设（且），‎ ‎∴的图象经过点 ‎∵，解得，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）得函数在R上为增函数．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ 解得，或，‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的定义和单调性的应用，求解析式时一般用待定系数法．解指数不等式时要根据指数函数的单调性转化为一般不等式求解，解题时若指数函数的底数不确定时要进行分类讨论．‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）判断函数在的单调性，并用定义法证明；‎ ‎（2）求函数在的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）根据单调性的定义进行证明即可；（2）由（1）得到函数在上的单调性，然后利用单调性求出最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在上是增函数．证明如下：‎ 设，且，‎ 则 ‎ ‎∵，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在为增函数．‎ ‎（2）由（1）得函数在上为增函数，‎ ‎∴当时，有最大值，且．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）用定义证明函数单调性的步骤为：取值—作差—变形—确定符号—下结论，证明时可逐步进行即可．‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，则最大值和最小值分别为；若函数在区间上单调递减，则最大值和最小值分别为．‎ ‎21．已知关于的不等式．‎ ‎（1）若时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当为常数时，求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）答案见解析。‎ ‎【解析】（1‎ ‎）结合二次不等式对应的二次函数及二次方程进行求解即可得到所求解集；（2）对参数进行分类讨论，并结合“三个二次”的关系求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，不等式为，‎ 即(，‎ 解得．‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）当为常数时，由题意得原不等式为，‎ 不等式对应方程的两根为，．‎ ‎①当时，则，解得；‎ ‎②当时，不等式为，解得；‎ ‎③当时，则，解得．‎ 综上可得，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．‎ ‎（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据不等式的判别式的符号进行分类，最后在根存在的条件下，再根据根的大小进行分类．‎ ‎22．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理1吨二氧化碳得到价值为100元的可利用化工产品．该单位每月能否获利？如果能获利，求出每月最大利润；如果不能获利，则需要国家每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：求出利润函数式S＝100x－y=100x－，利用配方法，求出函数的最大值，即可确定是否获利及国家每月至少补贴的费用．‎ 试题解析：‎ 设该单位每月获利为S元，‎ 则S＝100x－y＝100x－‎ ‎＝－x2＋300x－80000‎ ‎＝－(x－300)2－35000，‎ 因为400≤x≤600，‎ 所以当x＝400时，S有最大值－40000.‎ 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．‎