数学文卷·2017届新疆库尔勒市第四中学高三上学期期中考试（2016
库尔勒市第四中学 2016-2017 学年（上）
高三年级期中 数学（文） （学科）试卷（问卷）
考试时间 120 分钟 班级： 姓名： 考号：
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分
1．设全集 U＝{1,2,3,4,5}，集合 A＝{1,2}，B＝{2,3,5}，则(∁ UA)∪B＝
( )
A．{3,5} B．{3,4,5} C．{2,3,4,5} D．{1,2,3,4}
2．若点(1,3)和(－4,－2)在直线 2x＋y＋m＝0 的两侧，则 m 的取值范围
( )
A．m<－5 或 m>10 B．m＝－5 或 m＝10
C．－5
0，则 a 的
取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知 0)(logloglog 237 x ，那么 x=_______
14．已知平面内有 A(－2,1)，B(1,4)，使AC
→
＝1
2
CB
→
成立的点 C 坐标为__________．
15．若函数
)0(),(
)0(,32)( xxg
xxxf 是奇函数，则 g(x)＝__________.
16．已知 p： 12 x ，q：(x－a)(x－a－4)>0，若 p 是 q 成立的充分不必要条
件，则实数 a 的取值范围是________．
三、解答题：本题共 6 题，17 题 10 分，18-22 题 12 分，共 70 分
17．(10 分)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b＝3，
c＝1，△ABC 的面积为 2，求 cos A 与 a 的值．
18.(12 分)在几何体 ABCDE 中，∠BAC＝90°，DC⊥平面 ABC，EB⊥平 面 ABC，
F 是 BC 的中点，AB＝AC
(1)求证：DC∥平面 ABE；
(2)求证：AF⊥平面 BCDE；
19.(12 分)已知向量
a ＝(
2
1 ，
2
3 )，
b ＝(sinx，cosx)，
baxf )( +2
(1)求 f(x)的最值及取得最值时的 x 的取值构成的集合；
(2)求 f(x)在区间 2,0 上的单调减区间．
20．(12 分)在等比数列{an}中，已知 a1＝3，公比 q≠1，等差数列{bn}满足
b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
21．(12 分)(1)求函数 y＝x(a－2x)(x>0，a 为大于 2x 的常数)的最大值；
(2)已知 a>0，b>0，c>0，a2＋b2＋c2＝4，求 ab＋bc＋ac 的最大值．
22．(12 分)已知 a，b 是实数，1 和－1 是函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极
值点．
(1)求 a 和 b 的值；
(2)设函数 g(x)的导函数 )(xg ＝f(x)＋2，求 g(x)的极值点．
高三文科数学期中考试卷答案
二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上)
13．8. 14．(-1,2)
15．g(x)＝2x+3 16．a<-6 或 a>1
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．)
17．【解】 由三角形面积公式，得1
2
×3×1·sin A＝ 2，故 sin A＝2 2
3
.
因为 sin2A＋cos2A＝1， 所以 cos A＝± 1－sin2A＝± 1－8
9
＝±1
3
.
①当 cos A＝1
3时，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×1
3
＝8， 所以 a＝2 2.
②当 cos A＝－1
3
时，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×－1
3
＝12，所以 a＝2 3.
18.证明：(1)∵DC⊥平面 ABC，EB⊥平面 ABC
∴DC∥EB，又∵DC⊄ 平面 ABE，EB⊂平面 ABE，
∴DC∥平面 ABE.
(2)DC⊥平面 ABC，∴DC⊥AF，
又∵AB＝AC，F 为 BC 的中点
∴AF⊥BC，∴AF⊥平面 BCDE.
19.答案：(1)最大值 3，取最大值时 x 的集合为
zkkxx ,62
最小值 1，取最小值时 x 的集合为
zkkxx ,6
52
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D B A C A D C A A C
(2)单调减区间为
6
7,6
20．【解】 (1)设等比数列{an}的公比为 q，等差数列{bn}的公差为 d.
由已知，得
dq
dq
1233
333
2
⇒
dq
dq
41
1
2
⇒q＝3 或 1(舍去)．
所以 d＝2，所以 an＝3n，bn＝2n＋1.
(2)由题意，得 cn＝an＋bn＝3n＋(2n＋1)，
Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(3＋5＋7＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n)
＝n(3＋2n＋1)
2
＋
31
)31(3
n
＝
2
3 1n
＋n2＋2n－3
2
.
21．解(1)∵x>0，a>2x，∴y＝x(a－2x)＝1
2
×2x(a－2x)≤
2
2
)2(2
2
1
xax ＝
8
2a ，
当且仅当 x＝a
4
时取等号，故函数的最大值为
8
2a .
(2)∵a2＋b2＋c2＝4，∴2ab＋2bc＋2ac≤(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)＝2(a2
＋b2＋c2)＝8，∴ab＋bc＋ac≤4，∴ab＋bc＋ac 的最大值为 4.
22．解：(1) baxxxf 23)( 2 .又 1 和－1 是函数 f(x)的两个极值点，
∴
023)1(
023)1(
baf
baf 解之得，a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知， xxxf 3)( 3 ， 23)( 3 xxxg .
由 0)( xg ，得 0)2()1( 2 xx ，
∴ 0)( xg 的根为 x＝－2 或 1.
当 x<－2 时， 0)( xg ；
当－21 时， 0)( xg ，
故 1 不是 g(x)的极值点．
所以 g(x)的极小值点为－2，无极大值点.
