高中数学选修2-3教学课件:《排列(一)》

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高中数学选修2-3教学课件:《排列(一)》

7.2.1 排列 ( 一 ) 创设情境 , 引出排列问题 探究 在 1.1 节的例 9 中我们看到 , 用分步乘法计数原理解决这个问题时 , 因做了一些重复性工作而显得繁琐 , 能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢 ? 探究: 问题 1 : 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动,其中 1 名同学参加上午的活动,另名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 问题 2 : 从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数中,每次取出 3 个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? 上面两个问题有什么共同特征?可以用怎样的数学模型来刻画? 探究: 问题 1 : 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动,其中 1 名同学参加上午的活动,另名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 分析: 把题目转化为 从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名,按照参加上午的活动在前,参加下午的活动在后的顺序排列,求一共有多少种不同的排法? 上午 下午 相应的排法 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 第一步:确定参加上午活动的同学即从 3 名中任 选 1 名,有 3 种选法 . 第二步:确定参加下午活动的同学,有 2 种方法 根据分步计数原理: 3×2=6 即共 6 种方法。 把上面问题中被取的对象叫做 元素 , 于是问题1就可以叙述为: 从 3 个不同的元素 a,b,c 中任取 2 个,然后按照一定的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法? ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题 2 : 从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数中,每次取出 3 个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? 从 4 个不同的元素 a,b,c,d 中任取 3 个,然后按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法? abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 有此可写出所有的三位数: 123 , 124 , 132 , 134 , 142 , 143; 213 , 214 , 231 , 234 , 241 , 243 , 312 , 314 , 321 , 324 , 341 , 342; 412 , 413 , 421 , 423 , 431 , 432 。 基本概念 1 、排列: 一般地,从 n 个不同中取出 m (m n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 说明: 1 、元素不能重复。 n 个中不能重复, m 个中也不能重复。 2 、 “ 按一定顺序 ” 就是与位置有关,这是判断一个问题是否是排列问题的关键。 3 、 两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同。 4 、 m < n 时的排列叫选排列, m = n 时的排列叫全排列。 5 、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,最好采用 “ 树形图 ” 。 例 1 、下列问题中哪些是排列问题? ( 1 ) 10 名学生中抽 2 名学生开会 ( 2 ) 10 名学生中选 2 名做正、副组长 ( 3 )从 2,3,5,7,11 中任取两个数相乘 ( 4 )从 2,3,5,7,11 中任取两个数相除 ( 5 ) 20 位同学互通一次电话 ( 6 ) 20 位同学互通一封信 ( 7 )以圆上的 10 个点为端点作弦 ( 8 )以圆上的 10 个点中的某一点为起点,作过另一个点的射线 ( 9 )有 10 个车站,共需要多少种车票? ( 10 )有 10 个车站,共需要多少种不同的票价? 2 、排列数: 从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的排列数。用符号 表示。 “ 排列 ” 和 “ 排列数 ” 有什么区别和联系? 排列数,而不表示具体的排列。 所有排列的个数,是一个数; “ 排列数 ” 是指从 个不同元素中,任取 个元素的 所以符号 只表示 “ 一个排列 ” 是指:从 个不同元素中,任取 按照一定的顺序排成一列,不是数; 个元素 问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数,记为 , 已经算得 问题 2 中是求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数,记为  ,已经算出 探究: 从 n 个不同元素中取出 2 个元素的排列数 是多少? 呢 ? 呢 ? …… 第 1 位 第 2 位 第 3 位 第 m 位 n 种 (n-1) 种 (n-2) 种 (n-m+1) 种 (1) 排列数公式( 1 ): 当 m = n 时, 正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 表示。 n 个不同元素的全排列公式: (2) 排列数公式( 2 ): 说明: 1 、排列数 公式 的第一个常用来计算,第二个常用来证明。 为了使当 m = n 时上面的公式也成立,规定: 2 、对于 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条件。 例 1 、计算: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 例 2 、解方程: 例 3 、求证: 例 5 、求 的值 . 例 4 . 若 ,则 , . 1 .计算:( 1 ) ( 2 ) 课堂练习 2 .从 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种植在不同土质的 3 块土地 上进行试验,有    种不同的种植方法? 4 .信号兵用 3 种不同颜色的旗子各一面,每次打出 3 面,最多能 打出不同的信号有(   ) 3 .从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中选出 3 名进行某场比赛, 并排定他们的出场顺序,有    种不同的方法? 排列问题,是取出 m 个元素后,还要按一定的顺序排成一列,取出同样的 m 个元素,只要 排列顺序不同 ,就视为完成这件事的两种不同的方法(两个不同的排列). 小结 由排列的定义可知, 排列与元素的顺序有关 ,也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题.当元素较少时,可以根据排列的意义写出所有的排列. 思考题 三张卡片的正反面分别写着数字 2 和 3 , 4 和 5 , 7 和 8 ,若将这三张卡片的正面或反面并列组成一个三位数,可以得到多少个不同的三位数?
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