北京市通州区2020届高三上学期摸底（期末）考试数学试题

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通州区2019-2020学年第一学期高三年级期末考试 数学试卷 ‎2020年1月 考生须知 ‎1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．‎ ‎2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．‎ ‎3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．‎ ‎4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎2.在复平面内，复数（其中是虚数单位）对应的点位于 A．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 已知点A（2，a）为抛物线图象上一点，点F为抛物线的焦点，则等于 ‎ A.4 B. 3 C. D. 2‎ ‎4. 若，则下列各式中一定正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎5. 某三棱锥的三视图如图所示，‎ 则该三棱锥最长棱的长度为 ‎ A． B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎6. 甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为 A． 24 B. 12 C. 8 D. 6‎ ‎7. 对于向量，， “”是“”的 A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8. 关于函数有以下三个判断 ‎①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；‎ ‎②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；‎ ‎③若是函数的一个极值点，则函数极小值为-1.‎ 其中正确判断的个数有 A．0 个 B. 个 C. 个 D. 个 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9. 已知向量，，若，则___________.‎ ‎10. 在公差不为零的等差数列{an}中，a1=2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{an}的前n项和等于 . ‎ ‎11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为 .‎ ‎12. 在中， ，，，则 . ‎ ‎13.已知均为大于0的实数，给出下列五个论断：‎ ‎①，②，③，④，⑤.‎ 以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题 .‎ ‎14. 如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知，（C、D为垂足），测得OC=0.9，BD=1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m元/千米.在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 元.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎16．（本小题13分）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格. 良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：‎ ‎ 比例 学校 等级 学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H 优秀 ‎8%‎ ‎3%‎ ‎2%‎ ‎9%‎ ‎1%‎ ‎22%‎ ‎2%‎ ‎3%‎ 良好 ‎37%‎ ‎50%‎ ‎23%‎ ‎30%‎ ‎45%‎ ‎46%‎ ‎37%‎ ‎35%‎ 及格 ‎22%‎ ‎30%‎ ‎33%‎ ‎26%‎ ‎22%‎ ‎17%‎ ‎23%‎ ‎38%‎ 不及格 ‎33%‎ ‎17%‎ ‎42%‎ ‎35%‎ ‎32%‎ ‎15%‎ ‎38%‎ ‎24%‎ ‎[键入文档的引述或关注点的摘要。您可将文本框放置在文档中的任何位置。请使用“绘图工具”选项卡更改引言文本框的格式。]‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；‎ ‎(Ⅱ)从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；‎ ‎(Ⅲ)设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小.（只写出结果）‎ ‎17．（本小题14分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，‎ ‎∠SAD =∠DAB=900，SA=3，SB=5，，，. ‎ ‎(Ⅰ)求证：AB平面SAD；‎ ‎(Ⅱ) 求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值； ‎ ‎（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF//平面SCD，‎ 求三棱锥B-AEF的体积.‎ ‎18．（本小题13分）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆 C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点M (4，0)，点N(0，n)，若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．‎ ‎19. （本小题13分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数零点的个数. ‎ ‎20. （本小题14分）‎ 已知项数为的数列满足如下条件：①；②.若数列满足，‎ 其中，则称为的“伴随数列”.‎ ‎（Ⅰ）数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若为的“伴随数列”，证明：；‎ ‎（Ⅲ）已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值.‎ 通州区2019—2020学年度第一学期高三年级期末考试 ‎ 数学试卷参考答案及评分标准 2020年1月 ‎ ‎ 一、选择题：（每小题5分，共40分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A ‎ A B D C ‎ C ‎ B C 二、填空题（每道小题5分，共30分）‎ ‎9． ； 10． ；11．； 12．； 13．①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）； 14．2.1‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题13分） ‎ ‎ 解： ……………4分 ‎（Ⅰ） f(x)的最小正周期T = ……………7分 ‎（Ⅱ）因为，所以， ……………9分 所以当,即时，f(x)取得最小值0； ……………11分 当，即时，f(x)取得最大值. ……………13分 ‎ ‎ ‎16．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ， ……………1分 所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为. ……………3分 ‎（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2. ……………4分 ‎ ‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎……………10分 ‎（Ⅲ）S12=S22 ……………13分 ‎17．‎ ‎（Ⅰ）证明：在中，因为，‎ 所以. ………1分 又因为∠DAB=900‎ 所以， ……………2分 因为 所以平面SAD. ……………4分 ‎（Ⅱ）解：因为 AD，，. ‎ 建立如图直角坐标系 则A（0,0,0）B(0,4,0)， C（2,4,0），D（1,0,0），S(0,0,3). ……………5分 平面SAB的法向量为. ……………6分 设平面SDC的法向量为 所以有 即，‎ 令 所以平面SDC的法向量为 ……………8分 所以. ……………9分 ‎（Ⅲ）因为平面AEF//平面SCD，‎ 平面AEF平面ABCD=AE，平面SCD平面ABCD=CD，‎ 所以，‎ 平面AEF平面SBC=EF，平面SCD平面SBC=SC，‎ 所以 ……………11分 由，AD//BC 得四边形AEDC为平行四边形.‎ 所以E为BC中点. ‎ 又，‎ 所以F为SB中点. ……………12分 所以F到平面ABE的距离为，‎ 又的面积为2，‎ 所以. ……………14分 ‎18 （本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a=4，得a=2‎ 又离心率，所以 所以．‎ 所以椭圆C的方程为；． ……………4分 ‎（Ⅱ）法一：‎ 设点，则 所以PN的中点 ……………5分 ‎，． ……………6分 因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点 所以MQ⊥NP，则 ……………7分 即． ……………8分 又因为，所以 所以. ……………10分 函数的值域为 所以 所以. ……………13分 法二：‎ 设点，则．‎ 设PN的中点为Q 因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点 所以MQ是线段PN的垂直平分线 ……………7分 所以 即 所以． ……………10分 函数的值域为 所以.‎ 所以. ……………13分 若有其他方法请酌情给分.‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题13分） ‎ ‎ 解：（Ⅰ）因为， ……………1分 所以. ……………2分 又因为 ……………3分 所以曲线在点处的切线方程为. ……………4分 ‎（Ⅱ）因为为偶函数， ……………5分 所以要求在上零点个数，‎ 只需求在上零点个数即可. ……………6分 令，得， ……………7分 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ 在单调递减，在单调递增……………8分 列表得：‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎…‎ ‎1‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎…‎ 由上表可以看出在（）处取得极大值，在（）处取得极小值 ……………9分 ‎； . ……………10分 当且时 ‎ ‎ ‎（或，） ………11分 所以在上只有一个零点. ………12分 函数零点的个数为2. ………13分 ‎20．（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）解：数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. ……………1分 ‎ 因为， ‎ ‎ 所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. ……………3分 ‎（Ⅱ）证明：因为， ……………4分 又因为，所以有 ‎ 所以 ……………5分 所以 成立 ……………6分 ‎（Ⅲ）1≤i

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