高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 第65课 课时分层训练9
课时分层训练(九)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
1．已知点A(－1,0)，点B(2,0)，动点C满足AC＝AB，求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程．
[解] 由题意可知：动点C的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x＋1)2＋y2＝9.
设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得
C(2x0－1,2y0－4)，
代入点C的轨迹方程得4x＋4(y0－2)2＝9，
化简得x＋(y0－2)2＝，
故点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝.
2．动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线. 【导学号：62172348】
[解] 设点P(x，y)，
则kAP＝，kBP＝.
由题意得·＝k，即kx2－y2＝ka2.
所以点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)
(1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A，B两点)．
(2)当k≠0时，(*)式即－＝1，
①若k>0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A，B两点)．
②若k<0，(*)式可化为＋＝1.
当－1
，A1(－，0)，A2(，0)，则有
直线A1P的方程为y＝(x＋)，①
直线A2Q的方程为y＝(x－)，②
联立①②，解得∴③
∴x≠0，且|x|<.∵点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，∴－y＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为＋y2＝1(x≠0，且x≠±)．
3．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.
(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A，B两点，若AB＝2，求直线l的方程；
(2)过圆C上一动点M(不在x轴上)作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．
[解] (1)当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，距离为2，满足题意．
若直线l不垂直于x轴，设其方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d，
则2＝2，得d＝1，所以＝1，解得k＝，
故所求直线方程为3x－4y＋5＝0.
综上所述，所求直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
(2)设点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，Q点坐标为(x，y)，
则N点坐标是(0，y0)．因为＝＋，
所以(x，y)＝(x0,2y0)，即x0＝x，y0＝.
又因为M是圆C上一点，
所以x＋y＝4，
所以x2＋＝4(y≠0)，
所以Q点的轨迹方程是＋＝1(y≠0)，
这说明轨迹是中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆，且除去短轴端点．
4．已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P满足·＝2||.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)在直线l：y＝2x＋2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N.问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设P(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)，＝(2,0)．
由·＝2||，得2(x＋1)＝2，化简得y2＝4x.
故动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)直线l的方程为y＝2(x＋1)，设Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
过点M的切线方程设为x－x1＝m(y－y1)，代入y2＝4x，得y2－4my＋4my1－y＝0.
由Δ＝16m2－16my1＋4y＝0，得m＝，所以过点M的切线方程为y1y＝2(x＋x1)．同理过点N的切线方程为y2y＝2(x＋x2)．
因为Q(x0，y0)在切线上，所以所以点M(x1，y1)，N(x2，y2)在直线yy0＝2(x0＋x)上，所以直线MN的方程为y0y＝2(x0＋x)．
又MN∥l，所以＝2，即y0＝1，而y0＝2(x0＋1)，所以x0＝－，故点Q的坐标为.
