高中数学第三章 2_2 最大值、最小值问题 课件

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第三章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题 一般地，设函数 y=f(x) 在 x=x 0 及其附近有定义，如果 f(x 0 ) 的值比 x 0 附近所有各点的函数值都大，我们就说 f(x 0 ) 是函数的一个 极大值 ，记作 y 极大值 =f(x 0 ) ， x 0 是极大值点 。如果 f(x 0 ) 的值比 x 0 附近所有各点的函数值都小，我们就说 f(x 0 ) 是函数的一个 极小值 。记作 y 极小值 =f(x 0 ) ， x 0 是极小值点 。极大值与极小值 统称为极值 . 一、函数极值的定义 知 识 回 顾 1 、在定义中，取得极值的点称为极值点， 极值点 是 自变量 (x) 的值， 极值 指的是 函数值 (y) 。 注　意 2 、极值是一个 局部 概念，极值只是某个点的函数值与它 附近点 的函数值比较是最大或最小 , 并 不意味 着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 3 、函数的 极值不是唯 一 的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 4 、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的 极大值未必大于极小值， 如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 3. 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 . 检查 f ′( x ) 在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值 . 二、 求函数 f(x) 的极值的步骤 : 1. 求导数 f′(x); 2. 求方程 f′(x)=0 的根 (x 为极值点 .) 注意 : 如果函数 f(x) 在 x 0 处取得极值 , 意味着 反之不一定成立！！！ 如 y=x 3 一 . 最值的概念 ( 最大值与最小值 ) 新 课 讲 授 如果在函数定义域 I 内存在 x 0 , 使得对任意的 x∈ I , 总有 f(x) ≤f(x 0 ), 则称 f(x 0 ) 为函数 f(x) 在定义域上的 最大值 . 最值是相对函数 定义域整体 而言的 . 1. 在定义域内 , 最值唯一 ; 极值不唯一 ; 注意 : 2. 最大值一定比最小值大 . 二 . 如何求函数的最值 ? 1. 利用函数的单调性 ; 2. 利用函数的图象 ; 3. 利用函数的导数 . 如 : 求 y=2x+1 在区间 [1,3] 上的最值 . 如 : 求 y=(x － 2) 2 +3 在区间 [1,3] 上的最值 . 2. 将 y=f(x) 的各极值与 f (a) 、 f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 1. 求 f(x) 在区间 [a,b] 内极值 ( 极大值或极小值 ) 利用导数求函数 f(x) 在区间 [a,b] 上最值的步骤 : 例 1 求函数 在区间 上的最大值与 最小值． 解： 令 ，有 ，解得 13 4 5 4 13 y + 0 — 0 + 0 — 2 (1,2) 1 (0,1) 0 (-1,0) -1 (-2,-1) -2 x 当 x 变化时， 的变化情况如下表： 从表上可知，最大值是 13 ，最小值是 4 ． y ’ ↘ ↗ ↘ ↗ 练习 1 求函数 f(x)=x 2 -4x+3 在区间 [-1 ， 4] 内的最大值和最小值 解 : f ′(x)=2x- 4 令 f′(x)=0 ，即 2x–4=0 ， 得 x =2 x -1 （ -1,2 ） 2 （ 2 ， 4 ） 4 0 － + 8 3 -1 故函数 f (x) 在区间 [-1 ， 4] 内的 最大值为 8 ，最小值为 -1 60 60 解 : 设箱底边长为 x cm ， 箱子容积为 V=x 2 h 例 2 在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 则箱高 x x V ´ =60x － 3 x ²/2 令 V ´ =0 ，得 x=40, x=0 ( 舍去 ) 得 V (40) =16000 答：当 箱底边长为 x=40 时 , 箱子容积最大， 最大值为 16000cm 3 例 3. 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q, 价格 p 与产量 q 的函数关系式为 求产量 q 为何值 时 , 利润 L 最大。 分析 : 利润 L 等于收入 R 减去成本 C, 而收入 R 等于产量乘价格 . 由此可得出 利润 L 与产量 q 的函数关系式 , 再用导数求最大利润 . 求得唯一的极值点 因为 L 只有一个极值点 , 所以它是最大值 . 答 : 产量为 84 时 , 利润 L 最大 . 求下列函数在指定区间内的最大值和最小值 。 答 案 最大值 f ( － π /2)= π /2 ，最小值 f ( π /2)= － π /2 最大值 f (3/4)=5/4 ，最小值 f ( － 5)= － 5+ 最大值 f (1)= － 29 ，最小值 f (3)= － 61 练习 2 ： ① 求函数 在 内的极值； 1. 求 在 上的最大值与最小值的步骤 : ② 求函数 在区间端点 的值； ③ 将函数 在各极值与 比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值． 小结 2 . 求函数最值的一般方法： ① . 是利用函数性质； ② . 是利用不等式； ③ . 是利用导数