2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数 含答案

2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数 含答案

‎2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数 一、选择题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎ ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 ‎【答案】B ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC中, 则 = (A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为 ‎(A) (B) (C)0 (D) ‎ ‎【答案】B ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））在,内角所对的边长分别为且,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数,下列结论中错误的是 ‎(A)的图像关于中心对称 (B)的图像关于直线对称 ‎(C)的最大值为 (D)既奇函数,又是周期函数 ‎【答案】C ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数的图象大致为 ‎【答案】D ‎ ．（2013年高考四川卷（理））函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎ ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间上单调递减的函数是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） ( )‎ A. B. C. D. 【答案】C ．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中,角所对的边长分别为.若 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ．（2013年高考湖北卷（理））将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 二、填空题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））中,,是的中点,若,则________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考新课标1（理））设当时,函数取得最大值,则______‎ ‎【答案】. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_______________ ‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的最小正周期是_____________‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考四川卷（理））设,,则的值是_________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考上海卷（理））若,则 ‎【答案】. ‎ ．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知是第三象限角,,则____________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））函数的最小正周期为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在中,角所对边长分别为,若,则_______‎ ‎【答案】7 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设的内角所对边的长分别为.若,则则角_____.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设为第二象限角,若,则________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考江西卷（理））函数的最小正周期为为_________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的最大值是_______________‎ ‎【答案】5 ‎ 三、解答题 ．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.‎ ‎(I)求cosA的值; (II)求c的值.‎ ‎【答案】解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得 ‎.所以.故. (II)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以. 在△ABC中,. 所以. ‎ ．（2013年高考陕西卷（理））已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) =. 最小正周期. 所以最小正周期为. (Ⅱ) . . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在中,内角的对边分别是,且.‎ ‎(1)求; (2)设,求的值.‎ ‎【答案】 由题意得 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））设向量 ‎(I)若 (II)设函数 ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数,其中常数;‎ ‎(1)若在上单调递增,求的取值范围;‎ ‎(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)因为,根据题意有 (2) , 或, 即的零点相离间隔依次为和, 故若在上至少含有30个零点,则的最小值为. ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））设的内角的对边分别为,.‎ ‎(I)求 ‎(II)若,求.‎ ‎【答案】 ．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.‎ ‎【答案】解:由,得 , 即, 则,即 由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由题知,则,故. 根据余弦定理,有, 解得或(舍去). 故向量在方向上的投影为 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△的内角所对的边分别为,且,,.‎ ‎(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得, 又,,,所以,解得,. (Ⅱ)在△中,, 由正弦定理得 , 因为,所以为锐角,所以 ‎ 因此 . ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的最小正周期为.‎ ‎(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ) .所以 (Ⅱ) 所以 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.‎ ‎(1)求函数与的解析式;‎ ‎(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.‎ ‎(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由函数的周期为,,得 又曲线的一个对称中心为, 故,得,所以 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 ‎ ‎(Ⅱ)当时,, 所以 问题转化为方程在内是否有解 设, 则 因为,所以,在内单调递增 又, 且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点, 即存在唯一的满足题意 (Ⅲ)依题意,,令 当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程, 现研究时方程解的情况 令, 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ,令,得或 当变化时,和变化情况如下表 当且趋近于时,趋向于 ‎ 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以 综上,当,时,函数在内恰有个零点 ‎ ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.已知,.‎ ‎(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵ ∴ 即, 又∵,∴∴∴ (2)∵ ∴即 两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴ ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知函数,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 若,,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 因为,,所以, 所以, 所以. ‎ ．（2013年高考湖南卷（理））已知函数.‎ ‎(I)若是第一象限角,且.求的值;‎ ‎(II)求使成立的x的取值集合.‎ ‎【答案】解: (I). (II) ‎ ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路 长为,经测量,,.‎ ‎(1)求索道的长;‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?‎ ‎(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?‎ C B A ‎【答案】解:(1)∵, ∴∴, ∴ 根据得 (2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则 ∴ ∵即 ∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走‎710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则 ∴∴ ∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内 法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, ‎ AB=52k,由AC=63k=‎1260m, 知:AB=52k=‎1040m. (2)设乙出发x分钟后到达点M, 此时甲到达N点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC=‎500m,甲到C用时:=(min). 若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) . 此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min. 若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) . 此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min. 故乙步行的速度应控制在[,]范围内. C B A D M N ‎ ．（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.‎ ‎(I)求角的大小;‎ ‎(II)若的面积,,求的值.‎ ‎【答案】解:(I)由已知条件得: ,解得,角 (II),由余弦定理得:, ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））△在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若 ‎,求△面积的最大值.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°‎ ‎(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA ‎ ‎【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=; ‎ ‎(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,, ∴=,∴=. ‎ ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分. 在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.‎ ‎(1)若,求点的坐标;‎ ‎(2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.‎ P2‎ ‎0‎ x y A P1‎ P3‎ P4‎ ‎[解](1)‎ ‎ (2)‎ ‎【答案】[解](1)设,根据题意,.由,知, 而, 所以,解得或. 故点的坐标为或. (2)由题意,点的坐标为,. ‎ ‎. 因为,所以, 当且仅当,即时等号成立. 易知在上为增函数, 因此,当时,最大,其最大值为. ‎ ．（2013年高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.‎ ‎(1) 求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围 ‎【答案】解:(1)由已知得 即有 因为,所以,又,所以, 又,所以. (2)由余弦定理,有. 因为,有. 又,于是有,即有. ‎