2013届人教A版文科数学课时试题及解析（16）导数的应用
课时作业(十六) [第16讲 导数的应用]
[时间：45分钟 分值：100分]
1．当x≠0时，有不等式( )
A．ex<1＋x
B．当x>0时，ex<1＋x，当x<0时，ex>1＋x
C．ex>1＋x
D．当x<0时，ex<1＋x，当x>0时，ex>1＋x
2．已知点P在函数f(x)＝sinx(x∈[0，π])的图象上，若过该点的图象的切线方程为y＝x＋，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
3．图K16－1都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )
图K16－1
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
4．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是________．
5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f′(x)和y＝f(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )
图K16－2
6．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．[－2,2]
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
7．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是( )
A．lnx>x
B．sinx>x
C．tanx>x
D．ex>x＋2
8．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品数是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
9．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是( )
A．－
0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
11．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离x(千米)成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离x(千米)成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
12．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f′的值为________．
13．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图K16－3，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
图K16－3
14．(10分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)证明：当x>0，x≠1时，f(x)>.
15．(13分) 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求场地一面利用旧墙，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图K16－4所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此场地围墙总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x的值，使修建此场地围墙总费用最小．
图K16－4
16．(12分)已知函数f(x)＝ln.
(1)求函数的定义域，并证明f(x)＝ln在定义域上是奇函数；
(2)若x∈[2,6]时，f(x)>ln恒成立，求实数m的取值范围；
(3)当n∈N*时，试比较f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n)与2n＋2n2的大小关系．
课时作业(十六)
【基础热身】
1．C [解析] 设y＝ex－1－x，∴y′＝ex－1，∴x>0时，函数y＝ex－1－x是递增的，x<0时，函数y＝ex－1－x是递减的，∴x＝0时，y有最小值y＝0.
2．B [解析] 切线的斜率为k＝，设P点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝cosx0＝，因为x0∈[0，π]，所以x0＝，从而y0＝.故选B.
3．C [解析] 导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③④不正确．
4．m<0 [解析] y′＝ex＋m，由条件知ex＋m＝0有实数解，∴m＝－ex<0.
【能力提升】
5．D [解析] D中两个函数图象有升有降，因此导函数图象应有正有负，而图中函数图象恒为正或恒为负，故D不可能正确．
6．A [解析] f′(x)＝3x2－3，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋a，f(x)极小值＝f(1)＝－2＋a，函数f(x)有3个不同零点，则2＋a>0且－2＋a<0，因此－2f(0)＝0；对于D，令f(x)＝ex－x－2，f′(x)＝ex－1>0，故f(x)min>f(0)＝－1，不符合题意．
8．D [解析] 由题意得，总成本函数为
C＝C(x)＝20000＋100x，所以总利润函数为
P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝
而P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，P最大．
9．D [解析] f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即<0，解得－0)，∴由f′(x)>0得：x>a或x<－a，由f′(x)<0得－a.
11．5 [解析] 依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，k1，k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
因此，两项费用之和为y＝＋(x>0)，
y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．
当05时，y′>0.
因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
12.－1 [解析] 因为f′(x)＝－f′sinx＋cosx，所以f′＝－f′sin＋cos，
整理得f′＝－1.
13. ∪[2,3) [解析] 函数在和(2,3)上为减函数，且在x＝－，1,2处均取得极值，因此f′(x)≤0的解集为∪[2,3)．
14．[解答] (1)∵f′(x)＝－，由题意知：即
∴a＝b＝1.
(2)证明：由(1)知f(x)＝＋，
所以f(x)－＝，
设h(x)＝2lnx－(x>0)，则h′(x)＝，
当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，
故当x∈(0,1)时，h(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.得h(x)>0.
从而，当x>0，x≠1时，f(x)－>0，即f(x)>.
15．[解答] (1)设矩形另一边长为a m，则
y＝45x＋180(x－2)＋180×2a
＝225x＋360a－360.
由已知ax＝360，∴a＝.
∴y＝225x＋－360(x＞0)．
(2)y′＝225－，令y′＝0得x1＝－24(舍)，x2＝24.
此时，x＝24是x∈(0，＋∞)内唯一的极值点，即为最小值点，且当x＝24时，y＝225×24＋－360＝10440.
∴当x＝24时，修建围墙总费用最小值为10440元．
【难点突破】
16．[解答] (1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f(－x)＝ln＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)．
∴f(x)＝ln在定义域上是奇函数．
(2)∵x∈[2,6]时，f(x)＝ln>ln恒成立，
∴>>0，∵x∈[2,6]，
∴00)，h′(x)＝－x－1＝，
当x>0时，h′(x)<0，∴h(x)＝ln(1＋x)－在(0，＋∞)上单调递减，
∴h(x)
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