高三数学（理数）总复习练习专题七 三角恒等变换与解三角形
(2015·课标Ⅰ，2，易)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B. C．－ D.
【答案】 D 原式＝sin 20° cos 10°＋cos 20° sin 10°＝sin 30°＝.
1．(2013·重庆，9，易)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B. C. D．2－1
【答案】 C 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－
＝
＝
＝
＝
＝＝，故选C.
2．(2012·重庆，5，易)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】 A 由根与系数关系知
而tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A.
3．(2012·四川，4，易)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝( )
A. B.
C. D.
【答案】 B 方法一：由题意可得sin∠AED＝cos∠AED＝，
sin∠AEC＝＝，
cos∠AEC＝＝，
∴sin∠CED＝sin(∠AED－∠AEC)
＝×－×＝.
方法二：在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝，EC＝，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝＝＝.∴sin∠CED＝，故选B.
4．(2013·四川，13，易)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
【解析】 方法一：sin 2α＝－sin α⇒
2sin αcos α＝－sin α，
∵α∈，
∴sin α≠0，∴cos α＝－，则sin α＝，
∴tan α＝－，而tan 2α＝＝＝.
方法二：同方法一，得cos α＝－，
又α∈，则α＝.
∴tan 2α＝tan＝.
【答案】
5．(2013·课标Ⅰ，15，中)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．
【解析】 由辅助角公式得
f(x)＝
＝sin(x－φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝，
由x＝θ时，f(x)取得最大值得sin(θ－φ)＝1，
∴θ－φ＝2kπ＋，k∈Z，
即θ＝φ＋＋2kπ，
∴cos θ＝cos＝－sin φ＝－.
【答案】 －
6．(2013·课标Ⅱ，15，中)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．
【解析】 tan θ＝tan＝＝－，
∴sin θ＝－cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1得cos2θ＝1，
∴cos2θ＝，易知cos θ<0，
∴cos θ＝－，sin θ＝，
故sin θ＋cos θ＝－.
【答案】 －
7．(2014·江西，16，12分，易)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.
(1)若a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
解：(1)f(x)＝sin＋cos
＝(sin x＋cos x)－sin x
＝cos x－sin x
＝sin，
因为x∈[0，π]，
所以－x∈.
故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由
得
由θ∈知cos θ≠0，
解得
考向 三角函数式的化简与求值
1．两角和与差的三角函数公式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(Sα＋β)
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(Sα－β)
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(Cα＋β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(Cα－β)
tan(α＋β)＝；(Tα＋β)
tan(α－β)＝.(Tα－β)
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；(S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)
tan 2α＝.(T2α)
3．公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
(2)升幂公式
1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2.
(3)降幂公式
sin2α＝；cos2α＝.
(4)其他常用变形
sin 2α＝＝；
cos 2α＝＝；
1±sin α＝；
tan＝＝.
4．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，
其中cos φ＝，sin φ＝.
5．角的拆分与组合
(1)已知角表示未知角
例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，
α＝－＝＋.
(2)互余与互补关系
例如，＋＝π，
＋＝.
(3)非特殊角转化为特殊角
例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.
(1)(2013·浙江，6)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝( )
A. B. C．－ D．－
(2)(2014·课标Ⅰ，8)设α∈，β∈，且tan α＝，则( )
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
(3)(2014·广东，16，12分)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
①求A的值；
②若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.
【解析】 (1)(sin α＋2cos α)2＝，展开得3cos2α＋4sin α·cos α＝，再由二倍角公式得
cos 2α＋2sin 2α＝0，
故tan 2α＝＝－＝－，故选C.
(2)由tan α＝得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin.
∵α∈，β∈，
∴α－β∈，－α∈，
∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
∴2α－β＝，故选C.
(3)①f＝Asin
＝Asin＝A＝，
∴A＝.
②f(θ)＋f(－θ)
＝sin＋sin
＝＋
＝2cos θ·sin
＝cos θ＝.
∴cos θ＝，又θ∈，∴sin θ＝.
∴f＝sin(π－θ)＝sin θ＝.
【点拨】 解题(1)的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用诱导公式进行转化或利用“切化弦”；解题(3)的思路是①由f的值直接求出A的值；②化简f(θ)＋f(－θ)＝可得cos θ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sin θ，再化简f可得答案．
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”
等．
2．三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”．
(2014·江苏，15，14分)已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
故sin＝sincos α＋cossin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin α cos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
所以cos
＝coscos 2α＋sinsin 2α
＝×＋×
＝－.
1．(2015·河南许昌一模，5)已知sin 2α＝，则cos2等于( )
A. B．－ C. D．－
【答案】 C cos2＝＝＝.
2．(2015·安徽阜阳期末，7)化简＝( )
A．1 B. C. D．2
【答案】 C 原式
＝
＝
＝＝＝.
3．(2014·江西新余三模，6)若α∈，且3cos 2α＝4sin，则sin 2α的值为( )
A. B．－
C．－ D.
【答案】 B 由已知得3(cos2α－sin2α)＝2(cos α－sin α)，
∵α∈，∴cosα－sin α≠0，
∴3(cos α＋sin α)＝2，
∴cos α＋sin α＝，1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.
4．(2015·河北邯郸一模，9)已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为( )
A. B.
C．± D．±
【答案】 C ∵θ为第二象限角，
∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，k∈Z，
即kπ＋<
0，
所以A∈.
于是sin A＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1
＝－2＋.
因为0b
解的个数
一解
两解
一解
一解
上表中A为锐角时，a0，∴sin A＝1，即A＝，故选B.
(2)①由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，
又00，∴m＝.
【答案】
9．(2015·河北秦皇岛一模，17，12分)在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足2·＝a2－(b＋c)2.
(1)求角A的大小；
(2)求2cos2－sin的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．
解：(1)由已知得2bccos A＝a2－(b＋c)2，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得4bccos A＝－2bc，
∴cos A＝－，
∵0b，则∠B＝( )
A. B. C. D.
【答案】 A 由正弦定理得sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B，即sin Bsin(A＋C)＝sin B，因为sin B≠0，sin(A＋C)＝sin B，所以sin B＝，所以B＝或，又因为a>b，所以∠B＝，故选A.
7．(2015·湖南益阳质检，7)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β等于( )
A. B.
C. D.π
【答案】 C ∵0<β<α<，－<－β<0，
∴0<α－β<，
∴sin α＝，sin(α－β)＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
∴β＝.
8．(2013·天津，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
A. B. C. D.
【答案】 C 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝()2＋32－2××3×＝5，解得AC＝.再由正弦定理得sin ∠BAC＝＝＝，故选C.
9．(2015·福建泉州一模，6)若sin＝，则cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
【答案】 A ∵cos
＝sin＝，
即cos＝，
∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，故选A.
10．(2011·天津，6)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )
A. B. C. D.
【答案】 D 设BD＝1，则AB＝AD＝，BC＝2.在△ABD中，由余弦定理得cos A＝－，所以sin A＝，在△ABC中，由正弦定理＝，得sin C＝，故选D.
11．(2014·四川成都五校联考，5)已知锐角α满足cos 2α＝cos，则sin 2α等于( )
A. B．－ C. D．－
【答案】 A ∵α∈，
∴2α∈(0，π)，－α∈.
又cos 2α＝cos，
∴2α＝－α或2α＋－α＝0，
∴α＝或α＝－(舍)，
∴sin 2α＝sin＝，故选A.
12．(2014·江西南昌三模，8)设α∈，则＋的最小值为( )
A. B. C. D．1
【答案】 D ＋＝
＝
＝－2sin αcos α.
令sin αcos α＝t，则t＝sin 2α.
∵α∈，∴t∈.
令g(t)＝－2t，g(t)在上是减函数，
∴当t＝时，g(t)min＝2－1＝1，故选D.
二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)
13．(2012·北京，11)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________．
【解析】 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得b2＝22＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b＝60，即b＝4.
【答案】 4
14．(2014·福建，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
【解析】 由＝，得sin B＝sin A＝×＝1，
∴B＝90°，故C＝30°，
∴S△ABC＝AC·BCsin C＝×4×2×＝2.
【答案】 2
15．(2011·上海，6)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是________千米．
【解析】 如图，∠C＝180°－60°－75°＝45°.
由正弦定理＝
得AC＝AB·＝2×
＝(千米).．
【答案】
16．(2012·江苏，11)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
【解析】 ∵0<α<，
∴<α＋<.
又cos＝，
∴sin＝＝，
∴sin
＝2sincos
＝2××＝，
cos＝2cos2－1
＝2×－1＝，
∴sin＝sin
＝sincos－
cossin
＝×－×
＝.
【答案】
三、解答题(共6小题，共74分)
17．(12分)(2014·四川，16)已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，
求cos α－sin α的值．
解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z.
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，有sin
＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin
＝(cos2α－sin2α)．
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
18．(12分)(2013·课标Ⅱ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，①
又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，②
由①②和C∈(0，π)，得sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac，
由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos B，
即4＝a2＋c2－2accos.
又a2＋c2≥2ac，
故ac≤＝4＋2，
当且仅当a＝c时，等号成立．
此时S＝×(4＋2)＝＋1，
因此△ABC面积的最大值为＋1.
思路点拨：解本题的思路是先用正弦定理化边为角，求出B，再用基本不等式求面积的最值，注意等号成立的条件．
19．(12分)(2012·重庆，18)设f(x)＝4cossin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω>0.
(1)求函数y＝f(x)的值域；
(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值．
解：(1)f(x)＝4·sin ωx＋cos 2ωx
＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋1，
∵－1≤sin 2ωx≤1，
∴函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋]．
(2)∵y＝sin x在每个闭区间(k∈Z)上为增函数，
∴f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在每个闭区间(k∈Z)上为增函数．
依题意知⊆
对某个k∈Z成立，
此时必有k＝0.∴
解得ω≤，故ω的最大值为.
20．(12分)(2013·四川，17)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－
B)sin B＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
解：(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得
[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，
即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0b，则A>B，故B＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos B＝.
21．(12分)(2015·辽宁沈阳一模，17)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449)．
解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，
所以BD＝BA.
在△ABC中，＝，
即AB＝，
又sin 15°＝sin(60°－45°)
＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°
＝×－×＝，
所以AB＝＝，
因此，BD＝≈0.33(km)．
故B，D的距离约为0.33 km.
22．(14分)(2015·山东滨州一模，16)已知函数f(x)＝2cos2x－sin.
(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(A)＝，b＋c＝2，求实数a的最小值．
解：(1)f(x)＝2cos2x－sin
＝(1＋cos 2x)－
＝1＋sin 2x＋cos 2x
＝1＋sin.
∴函数f(x)的最大值为2.
要使f(x)取最大值，
则sin＝1，
∴2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋，k∈Z.
故f(x)取最大值时x的取值集合为
.
(2)由题意知，f(A)＝sin＋1＝，
化简得sin＝.
∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，
∴2A＋＝，∴A＝.
在△ABC中，根据余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc.
由b＋c＝2，知bc≤＝1，
即a2≥1.
∴当b＝c＝1时，实数a的最小值为1.
