理数试卷--华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评

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理科数学试题 　 第 １　　　　 页(共 ４ 页) 机密 ★ 启用前 华大新高考联盟 ２０２０ 届高三 ４ 月教学质量测评 理科数学 命题:华中师范大学考试研究院 本试题卷共４页,２３题(含选考题).全卷满分１５０分.考试用时１２０分钟. ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项: １． 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. ２． 选择题的作答:每小题选出答案后,用 ２B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. ３． 填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效. ４． 选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 ２B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. ５． 考试结束后,请将答题卡上交. ઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋ 一、选择题:本题共１２小题,每小题５分,共６０分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. １．已知复数z＝１＋１ i ,则zŰ୵z＝ A．０ B．１ C．２ D．２ ２．设集合 A＝{x|x＞３},B＝{x|log３(x－a)＞０},则a＝３ 是B⊆A 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ３．设等差数列{an }的前n 项和为Sn ,已知a３＝５,a７＋a９＝３０,则S１０＝ A．８５ B．９７ C．１００ D．１７５ ４．魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术,就是以 圆内接正多边形的面积,来无限逼近圆面积．刘徽形容他的割圆术说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以 至于不可割,则与圆合体,而无所失矣．”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形,将 １００ 粒豆子随机撒入 圆盘内,发现只有 ４ 粒豆子不在正十二边形内．据此实验估计圆周率的近似值为 A．１０ ３ 　　　　　B．１６ ５ 　　　　　C．２２ ７ 　　　　　D．２５ ８ ５．已知x＝lg２,y＝ln３,z＝log２３,则 A．x＜z＜y B．z＜y＜x C．x＜y＜z D．z＜x＜y ６．执行如图所示程序框图,设输出数据构成集合 A,从集合 A 中任取一个 元素m,则事件“函数f(x)＝x２ ＋mx 在[０,＋∞)上是增函数”的概率为 A．１ ４ 　　　　　　B．１ ２ 　　　　　C．３ ４ 　　　　　D．３ ５ 理科数学试题 　 第 ２　　　　 页(共 ４ 页) ７．设f(x),g(x)分别为定义在[－π,π]上的奇函数和偶函数,且f(x)＋g(x)＝２e x cosx(e 为自然对数的底 数),则函数y＝f(x)－g(x)的图象大致为 ８．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设 备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列,已知第五实验室比第 二实验室的改建费用高 ４２ 万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高 １６８ 万元,并要求每个实验室改 建费用不能超过 １７００ 万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 A．３２３３ 万元 B．４７０６ 万元 C．４７０９ 万元 D．４８０８ 万元 ９．设点F 为抛物线y２ ＝１６x 的焦点,A,B,C 三点在抛物线上,且四边形 ABCF 为平行四边形,若对角线 |BF|＝５(点B 在第一象限),则对角线 AC 所在的直线方程为 A．８x－２y－１１＝０ B．４x－y－８＝０ C．４x－２y－３＝０ D．２x－y－３＝０ １０．设函数f(x)＝２|sinx|＋sinx＋２cos２,给出下列四个结论:①f(２)＞０;②f(x)在 －３π,－５π ２ æ è ç ö ø ÷ 上单调递 增;③f(x)的值域为[－１＋２cos２,３＋２cos２];④f(x)在[０,２π]上的所有零点之和为 ４π．则正确结论的序 号为 A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ １１．设点F１,F２ 分别为双曲线C: x２ a２ － y２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左、右焦点,点 A,B 分别在双曲线C 的左、右支 上,若F１ B→＝６F１ A→,AF２→２ ＝AB→ŰAF２→,且 |AF２→|＞|BF２→|,则双曲线C 的离心率为 A．１７ ５ B．１３ ５ C．８５ ５ D．６５ ５ １２．在正方体 ABCDＧA１ B１ C１ D１ 中,点 M ,N,P 分别在AA１,A１ D１,D１ C１ 上,M 为AA１ 的中点, A１ N ND１ ＝ C１ P PD１ ＝２,过点 A 作平面α,使得BC１⊥α,若α∩ 平面 A１ B１ C１ D１＝m,α∩ 平面 MNP＝n,则直线 m 与直 线n 所成的角的正切值为 A．３ ２ ７ B．６ ２ ７ C．２ ７ D．２ ２ 二、填空题:本题共４小题,每小题５分,共２０分. １３．在 x－ １ ２x２ æ è ç ö ø ÷ ６ 的展开式中,常数项为 (用数字作答)． １４．在等腰直角 △ABC 中,AB ＝２,∠BAC＝９０°,AD 为 斜 边BC 的 高,将 △ABC 沿 AD 折 叠,使 二 面 角 理科数学试题 第 ３ 页(共 ４ 页) BＧADＧC 为 ６０°,则三棱锥 AＧBCD 的外接球的表面积为 ． １５．在 △ABC 中,AB＝５,AC＝４,BC＝３,已知 MN 为 △ABC 内切圆的一条直径,点 P 在 △ABC 的外接圆 上,则PM→ŰPN→的最大值为 ． １６．用符号[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[０．６]＝０;[２．３]＝２;[５]＝５．设函数f(x)＝ax２ －２ln ２ (２x) ＋(２－ax２ )ln(２x)有三个零点x１,x２,x３(x１＜x２＜x３),且[x１]＋[x２]＋[x３]＝３,则a 的取值范围是 ． 三、解答题:共７０分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第１７~２１题为必考题,每个试题考生都 必须作答.第２２、２３题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共６０分. １７．(１２ 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b２ ＋２ ３acsinB＝(a＋c)２ ,△ABC 的面积为 ２ ３． (１)求角B; (２)设λ,b,|a－c| 成等比数列,求λ 的最小值． １８．(１２ 分) 如图所示,在三棱柱ABCＧA１ B１ C１ 中,侧面ACC１ A１ 为菱形,∠A１ AC＝６０°,AC＝２, 侧面CBB１ C１ 为正方形,平面 ACC１ A１⊥ 平面 ABC．点 N 为线段AC 的中点,点 M 在 线段AB 上,且AM MB ＝２． (１)证明:平面BB１ C１ C⊥ 平面 ACC１ A１; (２)求直线BB１ 与平面B１ MN 所成角的正弦值． １９．(１２ 分) 设以 △ABC 的边AB 为长轴且过点C 的椭圆Γ 的方程为x２ a２ ＋ y２ b２ ＝１(a＞b＞０),椭圆Γ 的离心率e＝ １ ２ ,△ABC 面积的最大值为 ２ ３,AC 和BC 所在的直线分别与直线l:x＝４ 相交于点 M ,N． (１)求椭圆Γ 的方程; (２)设 △ABC 与 △CMN 的外接圆的面积分别为S１,S２,求S２ S１ 的最小值． ２０．(１２ 分) ２０２０ 年寒假期间新冠肺炎肆虐,全国人民众志成城抗击疫情．某市要求全体市民在家隔离,同时决定全 市所有学校推迟开学．某区教育局为了让学生“停课不停学”,要求学校各科老师每天在网上授课,每天共 ２８０ 分钟,请学生自主学习．区教育局为了了解高三学生网上学习情况,上课几天后在全区高三学生中采取 随机抽样的方法抽取了 １００ 名学生进行问卷调查,为了方便表述把学习时间在(０,１２０]分钟的学生称为 A 类,把学习时间在(１２０,２００]分钟的学生称为B 类,把学习时间在(２００,２８０]分钟的学生称为C 类,随机调查 的 １００ 名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示: 理科数学试题 　 第 ４　　　　 页(共 ４ 页) 以频率估计概率回答下列问题: (１)求 １００ 名学生中 A,B,C 三类学生分别有多少人? (２)在 A,B,C 三类学生中,按分层抽样的方法从上述 １００ 个学生中抽取 １０ 人,并在这 １０ 人中任意邀 请 ３ 人电话访谈,求邀请的 ３ 人中是C 类的学生人数的分布列和数学期望; (３)某校高三(１)班有 ５０ 名学生,某天语文和数学老师计划分别在 １９:００—１９:４０ 和 ２０:００—２０:４０ 在线 上与学生交流,由于受校园网络平台的限制,每次只能 ３０ 个人同时在线学习交流．假设这两个时间段高三 (１)班都有 ３０ 名学生相互独立地随机登录参加学习交流．设ξ 表示参加语文或数学学习交流的人数,当ξ 为 多少时,其概率最大． ２１．(１２ 分) 已知函数f(x)＝４ax－sinx＋２axcosx,(a∈R)． (１)若a＝１ ４ ,当x∈(０,π)时,证明:f(x)＜π ２ ; (２)若当x∈[０,＋∞)时,f(x)≥０,求a 的取值范围． (二)选考题:共１０分.请考生在第２２、２３题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分. ２２．[选修 ４—４:坐标系与参数方程](１０ 分) 在直角坐标系xOy 中,曲线C１ 的参数方程为 x＝ ２１ ３ cosθ, y＝２＋ ２１ ３ sinθ ì î í ï ïï ï ïï (θ 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴 的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C２ 的极坐标方程为ρ２ ＝ ８ ５－３cos２α,点P 在曲线C１ 上,点 Q 在曲线 C２ 上． (１)求曲线C１ 的一般方程和曲线C２ 的直角坐标方程; (２)求 |PQ| 的最大值． ２３．[选修 ４—５:不等式选讲](１０ 分) 设a,b,c 都是正数,且a＋b＋c＝１． (１)求 １a＋b＋１c 的最小值; (２)证明:a４ ＋b４ ＋c４ ≥abc．