数学理卷·2018届辽宁省瓦房店市高级中学高三12月月考（2017

数学理卷·2018届辽宁省瓦房店市高级中学高三12月月考（2017

高三模拟考试数学(理科)‎ 时间：120分钟 满分：150分 ‎ 一、选择题（共小题，每题只有一个正确答案，每小题分，共分）‎ ‎1．已知集合， ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知为虚数单位， 为复数的共轭复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3.若为第二象限角，且，那么是（ ）‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎4．下图的程序框图表示求算式之值，则判断框内可以填( )‎ A. B． C． D．‎ ‎5．在中， ，是角A，B，C，成等差数列的（ ）‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分不必要条件 D. 既不充分也必要条件 ‎6．锐角三角形中， 分别是内角的对边，设，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．在中，点是的三等分点（靠近点B），过点的直线分别交直线， 于不同两点，若， ， 均为正数，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎9．设为等差数列，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）‎ A. 720 B. 768 C. 810 D. 816‎ ‎11．已知双曲线的右顶点为A，抛物线的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P使得，则E的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设是定义在的奇函数，其导函数为，且当时， ，则关于的不等式的解集为 ‎ ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题（共小题，每题只有一个正确答案，每小题分，共分）‎ ‎13．已知曲线， ，与轴所围成的图形的面积为，则__________．‎ ‎14．已知，观察下列算式：‎ ‎ ；…‎ 若，则的值为_____________________．‎ ‎15.若，则的值______．‎ ‎16.三棱锥中， 平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是_________________．‎ 三、解答题（共6小题，17—21题12分，选做题10分共70分）‎ ‎17．设向量，其中，且函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）设函数，求在上的零点.‎ ‎18．如图，五面体中，平面,为直角梯形，.‎ ‎（1）若为的中点，求证：//平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19.已知在公差不为零的等差数列中， 和的等差中项为11，且，其前项和为．‎ （1） 求的通项公式；‎ （2） 求证： ．‎ ‎20．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；‎ ‎（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.‎ ‎①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；‎ ‎②求证：线段的长为定值.‎ ‎21．已知函数， .‎ ‎(1)如果对任意， 恒成立，求的取值范围；‎ ‎(2)若函数有两个零点，求的取值范围；‎ ‎(3)若函数的两个零点为，证明： ‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）写出及的极坐标方程；‎ ‎（2）已知，，与交于两点，与交于两点，‎ 求的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为1.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的最大值.‎ ‎ ‎ 高三模拟考试数学（理）参考答案 一、 选择题：‎ ‎1-5 BACCB 6-10 ACDCB 11-12 BD ‎ 二、填空题：‎ ‎13、 14、 15、125 16、‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（1）‎ ‎，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎∴函数的最小正周期为.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎（2）‎ ‎，‎ 由得， ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 当时， ，‎ ‎∴或，‎ 即或.‎ ‎∴函数在上的零点是和.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎18.解:（1）证明：取的中点，连接，‎ 因为分别是的中点，所以且，‎ 因为，所以且，所以,‎ 又平面平面，所以平面.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 不妨设，‎ 则，‎ ‎,‎ 设平面的一个法向量为，则，‎ 令，得，‎ 同理可求平面的一个法向量为，‎ 平面和平面为同一个平面，‎ 所以二面角的余弦值为.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 19. 解（1）由题意可知， ，则，‎ 解得，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 （2） ‎， ‎ ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 ‎，‎ ‎，得证┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎20．解（1），椭圆方程为，‎ 准圆方程为． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ‎（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，‎ 设过点且与椭圆相切的直线为，‎ 所以由得.‎ 因为直线与椭圆相切，‎ 所以，解得， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 所以方程为．‎ ‎， ． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，‎ 则： ，‎ 当： 时，与准圆交于点，‎ 此时为（或），显然直线垂直；‎ 同理可证当： 时，直线垂直┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 ‎②当斜率存在时，设点，其中.‎ 设经过点与椭圆相切的直线为，‎ 所以由 得.‎ 由化简整理得，‎ 因为，所以有.‎ 设的斜率分别为，因为与椭圆相切，‎ 所以满足上述方程，‎ 所以，即垂直． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.‎ 所以线段为准圆的直径， ，‎ 所以线段的长为定值． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12‎ ‎21.解：（1）对， 恒成立 ‎ ，对恒成立 令，则，‎ 易知： 在上递减，在上递增.‎ ‎ ， 的取值范围是┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 ‎（2）有两个零点，等价于与有两个不同的交点，‎ 由 （1）知， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎（3）证明：由（2）知：不妨设，‎ 则， ，即 令， ‎ ‎，即为增函数 ‎ ，即 因为，故 由，得 由（1）知在上递减，‎ 故，即： ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 22. 解：（1）把，代入得，‎ 所以极坐标方程是．‎ 的普通方程是，其极坐标方程是．┅┅┅┅┅5分 ‎（2）：，：，分别代入，得，．‎ 所以．‎ 因为，当时，所以取最大值……10分 ‎23.解：（1）法一：，‎ ‎∵且，‎ ‎∴，当时取等号，即的最小值为，‎ ‎∴，. ‎ 法二：∵，‎ ‎∴，‎ 显然在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为， ‎ ‎∴，. ┅┅┅┅┅5分 ‎ ‎（2）∵恒成立，∴恒成立， ‎ ‎ ‎ 当时，取得最小值，∴，‎ 即实数的最大值为.……10分