专题2-8 指数式与对数式（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）
一、填空题
1.×0＋×－＝________.
【答案】2
【解析】原式＝＝2.
2．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
【答案】m>n
【解析】∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.
3．(2017·衡水中学模拟改编)若a＝x，b＝x2，c＝x，则当x>1时，a， b，c的大小关系是________(从小到大)．
【答案】c
1时，01，c＝x<0，所以c1，b<0；
②a>1，b>0；
③00；
④0，∴b，
∴a>c，∴b0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)＝________.
【答案】1
7．(2017·南通调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
【答案】[2，＋∞)
【解析】由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在 [2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
8．(2017·安徽江南十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
【答案】e
【解析】f(x)＝
当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)，
当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，
因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.
二、解答题
9．已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
10．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．
因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，
即3t2－2t－1>0，解不等式可得t＞1或t＜－，
故原不等式的解集为.
能力提升题组
11．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
【答案】(－1，＋∞)
【解析】因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－x，
令f(x)＝x－x，
则函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)>f(0)＝0－0＝－1，所以a>－1.
12．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论：
①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；
③2－a<2c；④2a＋2c<2.
其中一定成立的是________(填序号)．
【答案】④
13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________.
【答案】－2x(x<0)
【解析】依题意，f(1)＝，∴a＝，
∴f(x)＝x，x>0.当x<0时，－x>0.
∴g(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x.
14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
