数学理卷·2018届云南省昆明一中高三第五次月考（2018

数学理卷·2018届云南省昆明一中高三第五次月考（2018

昆明第一中学2018届高中新课标高三第五次二轮复习检测 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，（其中为虚数单位，是的共轭复数），则（ ）‎ A． 2 B． C． D．-2‎ ‎2.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.直线是双曲线的一条渐近线，则（ ）‎ A． B． 4 C．12 D． 16‎ ‎4.在中，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中只有两个面相邻的不同的选法共有（ ）‎ A．20种 B．16种 C. 12种 D．8种 ‎6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．8‎ ‎7.执行如图所示程序框图，若输入的取值范围为，则输出的的取值范围为（ ） ‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知样本的平均数为；样本的平均数为（），若样本，的平均数为；其中，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．不能确定 ‎9.若函数的图像关于点对称，且当时，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.函数的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．7‎ ‎11.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则（ ）‎ A．-3 B． -2 C. 2 D．3‎ ‎12.已知双曲线：的左、右焦点为，过点的直线与双曲线的左支交于两点，若，则的内切圆面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 中，角的对边分别为 若，，，则 ．‎ ‎14.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”.在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是 ．‎ ‎15.已知四点在球的表面上，且，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为 ．‎ ‎16.已知函数，，过点作函数图像的切线，切点坐标为，，，，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列满足.‎ ‎（1）证明：是等比数列；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎18. 某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：‎ 微信控 非微信控 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？‎ ‎（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，再随机抽取3人赠送礼品，记这3人中“微信控”的人数为，试求的分布列和数学期望.‎ 参考公式: ，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与均为等边三角形，点为的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）试问在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎20. 已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知，设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线分别交轴于点，证明：.（为坐标原点）‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，求在区间上的最大值；‎ ‎（3）证明：对，不等式成立.（为自然对数的底数）‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线与的交点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若曲线上存在4个点到直线的距离相等，求实数的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B B C B D A A C A D 1. 解析：由题意，有，则，选D．‎ 2. 解析：由题意，，，则，选A．‎ 3. 解析：因为直线的斜率为，所以，所以，选B．‎ 4. 解析：因为，两边平方得，所以，选B．‎ 5. 解析：从一颗骰子的六个面中任意选取三个面有种，其中有三个面彼此相邻的有种，所以只有两个面相邻的不同的选法共有种．选C．‎ 6. 解析：由题意，该几何体是底面积为，高为的一个四棱锥，如图，所以，选B．‎ 7. 解析：关于的函数图象如图所示，由于，则，选D．‎ 8. 解析：由，得，依题意得，所以．选A．‎ 1. 解析：因为 的图象关于点对称，所以，解得，因为，所以，又因为，时，，且，所以，，选A．‎ 2. 解析：‎ ‎，所以最大值为，选C．‎ 3. 解析：因为函数是奇函数，所以，又因为，所以，所以，即，所以是以为周期的周期函数；由可得，则，即，所以，，又因为，，所以，选A．‎ 4. 解析：由题意，，，则，，，所以，；因为，即，所以，因此，从而直角三角形的内切圆半径是，所以△的内切圆面积为，选D．‎ 二、填空题 5. 解析：由余弦定理，得，解得．‎ 6. 解析：假设甲获奖，则甲、乙、丙都回答错误，丁回答正确，符合题意，所以甲获奖．‎ 1. 解析：由题意，△为等腰直角三角形，设斜边的中点为，若四面体的体积的最大，则面，且过球心，所以，解得，故球的表面积为．‎ 2. 解析：由题意得，，则；设切点为，则切线斜率为，所以切线方程为，将点代入切线方程得，即；令曲线，直线，则直线与曲线交点的横坐标即为切点横坐标；又因为直线与曲线均关于点对称，则它们的交点横坐标成对出现，在区间内共有对，每对之和为；所以过点作函数，的切线共有条，即切点共有个，所以．‎ 三、解答题 3. 解：（Ⅰ）由得：，因为 ，‎ 所以，从而由得 ，‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，由，‎ 所以 ． ‎ 4. 解：（Ⅰ）由列联表可得 所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关． ‎ ‎（Ⅱ）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人，‎ 可取的值为，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列是 的数学期望是 ‎ 1. 解：（Ⅰ）证明：连接，由于，点为的中点，，，‎ 所以四边形为正方形，可得，设与相交于点，又△与△均为等边三角形，可得，在等腰△中，点为的中点，所以，且与相交于点，可得平面，又平面，所以平面平面． ‎ ‎（Ⅱ）由，△与△均为等边三角形，四边形为正方形，与相交于点，可知，，所以，又平面平面，所以平面，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．‎ 可得，，，，‎ 设点的坐标为，，由，，可得，故 ，‎ 设为平面的一个法向量，则 ‎，得，平面的一个法向量为，‎ 由已知，解得 所以，在线段上存在点，使二面角的余弦值为，且点为的中点．‎ 1. 解：（Ⅰ）由已知得：，，又因为，所以，‎ 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）因为点关于轴的对称点为，所以，‎ 所以直线的方程为，令得；‎ 直线的方程为，令得． ‎ 因为，而点在椭圆上，‎ 所以，即：，所以，‎ 即，所以，‎ 所以．　　　　　　　 ‎ 2. 解：（Ⅰ）的定义域为，，‎ 由，得．‎ 当时，；当时，．‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减． ‎ ‎（Ⅱ）①当，即时，在上单调递增，‎ 所以．‎ ‎②当时，在上单调递减，‎ 所以．‎ ‎③当，即时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以． ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当时，，所以在上，恒有，即且当时等号成立．‎ 因此，对，恒有．‎ 因为，，所以，‎ 即，‎ 所以．‎ 即对，不等式成立． ‎ 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ 1. 解：（Ⅰ）的直角坐标方程为，可化为 ，‎ 的直角坐标方程为，可化为 ，‎ 从而有，整理得， ‎ 当或时，也满足上式，‎ 故直线与的交点的轨迹的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线表示圆心在，半径为的圆，‎ 点到直线的距离为，‎ 因为曲线上存在4个点到直线的距离相等，‎ 所以，解得，‎ 所以，实数的取值范围为 ‎ 1. 解：（Ⅰ） ，‎ 所以，时，取最小值，且最小值为 ‎（Ⅱ）由，恒成立，‎ 得恒成立，‎ 即恒成立，‎ 令，则恒成立，‎ 由（Ⅰ）知，只需，‎ 可化为或或，‎ 解得，‎ 所以，实数的取值范围为